Интенция | Все о философии

20.03.2009 - Ограниченность формальной логики

1. Символическая (математическая) логика


1. Что такое математическая логика

Впервые логика вышла за классические рамки в XVII столетии, но по-настоящему новая эпоха в ее развитии началась в середине XIX столетия, когда некоторые логики и математики стали пользоваться символическими обозначениями для простых логических операций подобно используемым в математике символическим обозначениям арифметических действий. Это дало возможность представлять некоторые логические закономерности в виде математических соотношений. Так возникла “алгебра логики”, из которой развилась математическая логика, позволяющая изучать строение рассуждений значительно полнее и глубже, чем традиционная «аристотелевская».

Недостаточность дедуктивных рассуждений была замечена лишь в Новое время, приблизительно в конце XVI – начале XVII в. Вскоре ученые начали осознавать и недостаточность аристотелевской теории для описания самих дедуктивных рассуждений. Великий философ и математик Г. В. Лейбниц (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646–1716) выдвинул идею построения «универсальной характеристики» (Characteristica universalis) – математизированной логической системы, которая могла бы служить не только для теоретического описания рассуждений, но и для их практического выполнения. Эта система должна была состоять из знаков, соответствующих мыслям, и правил оперирования с этими знаками, построенных таким образом, что всякий раз, когда некоторая мысль является следствием другой, знак первой получается из знака второй по этим правилам. Лейбниц мечтал о времени, когда философы вместо того, чтобы спорить, будут говорить: «Посчитаем!» Сам Лейбниц не построил развернутой формально-логической системы, но под его влиянием мысль ученых начала работать в этом направлении.

Новый этап в развитии формальной логики наступил с конца 19 – начала 20 в., когда стала интенсивно развиваться математическая (символическая) логика на месте прежней силлогистики. В современной науке большую роль играют формализованные логические системы и содержательные формально-логические теории, изучающие отдельные стороны и задачи мышления. Символическая логика (или математическая логика) – область знания, которая сложилась в результате применения в логике формальных методов математики и логического исследования математических рассуждений и доказательств. Так что, как сказал российский математик Платон Сергеевич Порецкий: «Математическая логика есть логика по предмету, математика по методу».

Современная логика, как правило, формализована:

– она работает с символами, правилами для операций с ними и правилами для выведения истинных заключений;

– она стремится выработать строгую теорию формальных выводов и интерпретаций.

– ее результаты находят применение в математике и технике, особенно в электронике и компьютерной технике.

Как самостоятельная дисциплина мат. логика оформилась в середине 19 в. благодаря работам Джорджа Буля (1815–64) по алгебре логики. Создание “алгебры логики”, т. е. пропозициональной части символического языка, явилось первым серьезным успехом на этом пути. Основные идеи, которые легли в основу алгебры логики, впервые появились в опубликованных в 1847 г. работах А. де Моргана и Дж. Буля и были развиты рядом других исследователей в течение второй половины XIX в. (МОРГАН (De Morgan) Огастес (Августус) (1806-71), шотл. математик и логик. Труды по алгебре, теории рядов. Независимо от Дж. Буля пришел к основным идеям мат. логики).

2. Булевы функции

Пусть имеется некоторый набор высказываний, о которых можно определённо говорить, что они истинны или ложны. Для обозначения этих высказываний будем использовать латинские буквы А, В, С и т. д. Если у нас есть 2 простых предложения, то из них можно образовать новое, сложносочинённое предложение с помощью союзов «или» либо «и». В математической логике для аналогичной цели используют специальные символы: знак дизъюнкции V; знак конъюнкции &. Таким образом, из утверждений А, В с помощью знаков дизъюнкции и конъюнкции получим новые утверждения: A v B? (читается «А или B»), А & В (читается «A и В»). Утверждение A v В считается истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных утверждений; утверждение А & В -когда истинны оба утверждения. Дизъюнкцию и конъюнкцию можно рассматривать как особые операции, определённые не на числах, а на логических значениях ИСТИНА и ЛОЖЬ. Для этих операций существуют таблицы, подобные таблице умножения.

ИСТИНА v ИСТИНА = ИСТИНА, ИСТИНА v ЛОЖЬ = ИСТИНА, ЛОЖЬ v ИСТИНА = ИСТИНА, ЛОЖЬ v ЛОЖЬ = ЛОЖЬ, ИСТИНА & ИСТИНА = ИСТИНА, ИСТИНА & ЛОЖЬ = ЛОЖЬ, ЛОЖЬ & ИСТИНА = ЛОЖЬ, ложь & ложь = ложь.

Более традиционной для таких таблиц истинности является следующая (табличная) форма записи:

……………………..

Примеры: «Люблю футбол и люблю хоккей», «Или я никого не обижаю, или мне плохо».



Логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ называют также булевыми значениями – в честь Джорджа Буля. Функции, аргументами и значениями которых являются ИСТИНА и ЛОЖЬ, называются булевыми функциями. Операции конъюнкции и дизъюнкции – это два примера булевых функций от двух аргументов.

Булевы операции можно представить в виде электрических цепей:

……………………..

«Я поеду домой, если я сдам все экзамены и меня отпустит ректор».

… Эта операция называется логическим следованием или импликацией. Функцию А => В можно выразить словами «из A следует В» или «если A, то В». Наряду со знаком => используется знак =>. Обратите внимание, что импликация А => В является ложной, только если A истинно, а В – нет. Если А ложно, то о В ничего не утверждается, и потому в данном случае импликация считается истинной вне зависимости от значения В. В отличие от конъюнкции и дизъюнкции в импликации аргументы нельзя поменять местами. Так верно, что «всякий семинарист – мужчина», но высказывание «всякий мужчина – семинарист» ложно.

«Если я сдам все экзамены на отлично, то мне дадут повешенную стипендию».

А <=> В соответствует фразе «А тогда и только тогда, когда В».

Операция ^ называется логическим отрицанием. Для передачи отрицания в русском языке используется частица «не». Она может стоять перед разными членами предложения, и от этого зависит смысл высказывания. Напр.: Петя не купил мороженое. Не Петя купил мороженое. Петя купил не мороженое. Логическое отрицание соответствует «не», стоящему перед сказуемым, как в первом предложении. Другой способ выразить логическое отрицание – добавить к высказыванию-аргументу слова «неверно, что». Сравните первое предложение со следующим: Неверно, что Петя купил мороженое.

3. Связь логических операций между собой

2. Логические операции связаны между собой следующим образом:

A => B = ~A V B ~ (A V B) = ~A & ~B

~ (A & B) = ~A V ~B A <=> B = (A & B) v (¬A & ¬B),

~~A = A Л => A
4. Некоторые законы математической логики

Закон противоречия. Высказывание Л не может быть одновременно истинным и ложным: ¬ (а & ¬А).



Закон исключённого третьего. Либо верно, что А, либо неверно, что Л, третьего не дано: A v ¬A = И.



Закон двойного отрицания. Если неверно, что неверно А, то А истинно: ¬¬A =>А.



Закон тройного отрицания. Если неверно, что неверно, что неверно А, то А ложно: ¬¬¬A => ¬A.



Закон контрапозииии. Если из А следует В и неверно, что В, то неверно, что А: (А=>B) => (¬B => ¬А).



Закон приведения к абсурду. Если из А следует, что верно В и что неверно B, то А ложно: (А=>B) => ((A =>¬B) => ¬А).

Закон Дунса Скотта. Если ложного утверждения следует всё что угодно: Л => А

Правило Дунса Скота на первый взгляд кажется менее очевидным, чем предыдущие правила, но в действительности даже люди, далекие от науки, интуитивно уверены в его справедливости. Когда кто-нибудь, желая показать, что убежден в ложности некоего утверждения, говорит: «Если это верно, то я китайский император», он пользуется правилом Дунса Скота. Именно в силу этого правила условное утверждение считается истинным, когда его посылка опровергнута.

2. Аксиоматический метод построения систем


1. Аксиома и теорема

Аристотель учил, что изложение теории должно начинать с первоначальных предложений – аксиом, из которых выводятся дальнейшие факты (теоремы). Вот две аксиомы, сформулированные Евклидом: «через две точки можно провести прямую»; «порознь равные третьему равны между собой».

Современный подход к аксиоматическому построению некоторой теории состоит в следующем. Во-первых, указываются первоначальные (неопределяемые) понятия. В геометрии к ним относятся: точка, прямая, расположение точки на прямой, равенство фигур и др. Дальнейшие понятия вводятся с помощью определений. Правда, Евклид попытался определить все понятия, включая и первоначальные. Например: «точка есть то, что не имеет частей», т. е. идеализированная, геометрическая точка лишена размеров. Но, конечно, это не точное математическое определение, а наглядное описание точки, как чего-то предельно малого. Столь неясным определением точки Евклид нигде не пользуется.

Во-вторых, после перечисления первоначальных (неопределяемых) понятий формулируются аксиомы – первоначальные положения, указывающие на связь между понятиями. Вопрос об «очевидности» аксиом не рассматривается (к тому же нечто, очевидное одному человеку, может показаться другому совсем не очевидным). Дальнейшие факты – теоремы доказываются на основании аксиом и уже доказанных теорем. Это означает, что, в-третьих, должны быть чётко сформулированы правила вывода – те логические средства, которые используются при доказательствах.



Разумеется, аксиомы (а также понятия) – плод многовекового опыта человечества. Потому-то абстрактно сформулированные аксиомы и выводимые из них теоремы тесно связаны с жизнью. Однако при чисто аксиоматическом построении теории вопрос о происхождении аксиом, об их практической значимости не рассматривается.

Исторически аксиоматический метод построения математики начался с геометрии. В классической работе «Начала» Евклид предпринял попытку дать полный список требуемых аксиом. В последующие столетия было обнаружено, что этих аксиом не хватает, т. е. где-то в доказательствах происходит апелляция к зрительным образам. Этого недостатка смог избежать Д. Гильберт, предложивший в конце XIX в. свою аксиоматику элементарной геометрии. Широко известной стала фраза Гильберта: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках».

2. Непротиворечивость аксиоматической системы

Что такое непротиворечивость – понятно …

Ник. Ив. Лобачевский, пользуясь материалом своей «воображаемой» геометрии, смог построить модель геометрии Евклида на поверхности, которую назвал орисферой. Однако Лобачевского прежде всего интересовал противоположный результат, если мы не сомневаемся в непротиворечивости геометрии Евклида, то непротиворечива и «воображаемая» геометрия. То есть надо было из материала евклидовой геометрии построить модель геометрии Лобачевского. Но он такую модель создать не смог. Её построили (уже после смерти гениального математика) Феликс Клейн и другие учёные. И тем самым установили, что обе геометрии – и Евклида, и Лобачевского – одинаково непротиворечивы. Если непротиворечива одна, то же верно и для другой, и наоборот.

Непротиворечивость евклидовой геометрии была доказана путем указания модели.

3. Полнота аксиоматики

Кроме непротиворечивости есть ещё одна важная характеристика системы аксиом – т. н. полнота. Непротиворечивая система аксиом называется полной, если всякое истинное суждение в ней (касающееся ее объектов) является в ней теоремой или аксиомой (т. е. выводимо).

Для полной системы все ее модели изоморфны. Грубо говоря, полная система аксиом определяет, с точностью до изоморфизма, только одну теорию.

Оказалось, что гильбертова аксиоматика является полной. Иначе говоря, она определяет (с точностью до изоморфизма) единственную теорию – евклидову геометрию.

В качестве ещё одного примера рассмотрим так называемую абсолютную геометрию, т. е. систему теорем, которые вытекают из всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы параллельности. Очевидно, что система аксиом абсолютной геометрии неполна. Добавив к её аксиомам аксиому параллельности, мы получаем одну теорию – евклидову геометрию. Включив в систему тех же аксиом отрицание аксиомы параллельности, приходим к другой, неизоморфной первой теории – геометрии Лобачевского.

4. Независимость

Любая система аксиом должна обладать свойством независимости (хотя оно менее существенно, чем непротиворечивость и полнота). Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом невозможно доказать как теорему исходя из остальных аксиом. Напр., аксиома параллельности независима от остальных аксиом геометрии (поскольку не только система аксиом, в которой данная аксиома выполняется, непротиворечива, но и система аксиом, в которой выполняется отрицание аксиомы параллельности, также непротиворечива). Вообще, чтобы доказать независимость какой-либо аксиомы от остальных, надо построить две модели, в одной из которых выполняются все аксиомы, включая и выбранную, а в другой модели выполняются все аксиомы, кроме выбранной – она не выполняется.

3. Теоремы Курта Гёделя (1906–1979) как указание на ограниченность формальной логики


1. Отсутствие механической процедуры определения общезначимости логической формулы

Если некоторая замкнутая формула является общезначимой, то в этом можно убедиться за конечное число шагов с помощью исчисления предикатов. А что делать, если формула не общезначима? Здесь кончается аналогия с пропозициональными формулами, нетавтологичность которых, по крайней мере в принципе, устанавливается перебором конечного количества возможных значений переменных. Одно из важнейших достижений математической логики состоит в том, что было доказано:

Не существует универсального метода, который позволял бы по произвольной замкнутой формуле исчисления предикатов узнавать, является ли эта формула общезначимой. Иными словами: определение общезначимости – дело не механическое.



Для того чтобы доказать этот факт, потребовалось создать новый раздел математической логики – теорию алгоритмов. Она занимается изучением не того, что можно и что нельзя доказать, а того, что можно и что нельзя вычислить.

2. Неполнота арифметики

Раньше верили, что полнота любой системы достижима путем добавления нужного числа аксиом. Но оказалось, что это – не так.

Оказалось, для любой не слишком простой аксиоматической теории, напр. уже для арифметики натуральных чисел, полнота аксиоматики – вещь недостижимая, как утверждает знаменитая первая теорема Гёделя о неполноте арифметики (1931, Kurt Godel, 1906–1979). Её можно сформулировать в усиленной форме следующим образом:

Для любой непротиворечивой системы аксиом А1, А2, ..., Аn можно указать многочлен М от многих переменных с целыми коэффициентами, такой, что уравнение

M(x1, х2, … xn) = 0

не имеет решений в целых числах, но это нельзя вывести из А1, А2, ..., Аn.

Т. обр., один из видов деятельности математиков – выработка систем аксиом – никогда не будет исчерпан.

3. В непротиворечивость можно только верить

Казалось бы, это несложная работа (в отличие от доказательства теорем), но в действительности соблюсти требование непротиворечивости аксиоматики очень непросто. В самом деле, как доказать, что данный набор аксиом непротиворечив? Само доказательство непротиворечивости некоторого набора аксиом А1 А2, ..., Аn можно было бы попытаться провести на основе некоторого другого множества аксиом А'1 А'2 ..., А'n. К сожалению, новая аксиоматика должна быть не слабее той, непротиворечивость которой хотелось бы доказать. Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте:

Непротиворечивость никакой нетривиальной аксиоматической системы не может быть доказана средствами самой этой системы.

Т. обр., развитие мат. логики, создатели которой в значительной мере вдохновлялись идеями Лейбница, не оправдало его надежд на замену рассуждений вычислениями.

4. Обсуждение философских следствий теорем Геделя

Итак, даже наиболее фундаментальные разделы математики (напр., арифметика) несводимы к формальной логике. Значит, невозможно обойтись без предельных (трансфинитных) переходов.

Фактически первая теорема Геделя гласит: «Если развитая (не ниже арифметики) логическая система строится исключительно рациональным путем (т. е. минуя интуитивные “предельные переходы”), и если она при этом непротиворечива (что является естественным требованием к системе), то она заведомо неполна. Т. е. в ней непременно найдется такое утверждение (может быть и не очевидное), оценка истинности или ложности которого невыводима из заложенных в ней аксиом».

Когда Спиноза разрабатывал свою философскую систему, то он исходил из того, что ее рациональное постижение и даже изложение – дело вполне возможное. Теорема, открытая 200 лет спустя австрийским логиком К. Гёделем положила предел всем такого рода притязаниям.

4. Интуиционистская логика и конструктивная математика.


Совр. этап М. л. характеризуется исследованием разнообразных видов логических исчислений, интересом к проблемам семантики и вообще металогики, к вопросам специальных математических и технических приложений логики. В связи с задачами обоснования математики наряду с работами в области классической логики разрабатывается интуиционистская и конструктивная логика. С анализом оснований логики связаны исследования по комбинаторной логике. Создается теория многозначных логик. Попытки решить проблему формализации логического следования привели к созданию исчислений строгой и сильной импликации. Построен ряд систем модальной логики. Вместе о тем М. л. оказывает большое влияние на совр. математику. Из М. л. выросли такие существенные разделы последней, как теория алгоритмов и рекурсивных функций. М. л. находит приложение в электротехнике (исследование релейно-контактных и электронных схем), вычислительной технике (программирование), кибернетике (теория автоматов), нейрофизиологии (моделирование нейронных сетей), языкознании (структурная лингвистика и семиотика.

Сомнению был подвергнут закон исключённого третьего: А v ¬А. Правомерно ли считать эту дизъюнкцию истинной, если мы не можем установить, которое из двух утверждений, А или ¬А, истинно? В результате были предложены логические системы без закона исключённого третьего – интуиционистская логика (в начале XX в., основоположник интуиционистской математики – Ян брауэр (1881–1966)) и конструктивная математическая логика (в середине XX в., с развитием теории алгоритмов) и на их основе построены математические теории, существенно отличающиеся от классических.
Опубликовано на сайте: http://intencia.ru
Прямая ссылка: http://intencia.ru/index.php?name=FAQ&op=view&id=62