 13.05.2009 - Джузеппе Пеано и его школаК направлению, идущему от Готлоба Фреге, идейно был весьма близок известный итальянский математик Джузеппе Пеано. Как известно, одна из важнейших задач метода аксиоматической систематизации математики состояла в выявлении всех допустимых средств вывода новых предложений из предложений данной аксиоматики. Именно за решение этой задачи Пеано и взялся в первую очередь, действуя хотя и независимо от Фреге, но, в сущности, в одном с ним русле. Правда, в законченном виде логистический метод у Пеано еще не встречается.Результаты Пеано имели и определенные национальные корни. Укажем коротко на тех итальянских ученых, которые до Пеано были в той или иной степени близки к логико-математическим концепциям. 1. Джароламо Саккера (Giorlamo Saccheri; 1667—1733) Наибольший интерес представляет работа Саккери “Euclides ad omni naevo vindicatus” (“Евклид без родимых пятен”) (Милан, 1733). Она позволяет видеть в нем отдаленного предшественника идей, характерных для концепции неэвклидовых геометрий. Правда, Саккери начинает с попыток доказать пятый постулат Евклида о параллельных. Он исходит из рассмотрения четырехугольника, у которого боковые стороны равны друг другу, а нижние углы при этих сторонах равны каждый по одному d. Сначала Саккери доказывает, что верхние углы при тех же сторонах должны быть равны между собой, а затем последовательно анализирует три следующих допущения: (1) каждый из этих углов >d, (2) каждый из этих углов <d, (3) каждый из этих углов =d. Из гипотез (1) и (2) он выводит противоречие, что и заставляет его принять допущение (3) в качестве доказанного. Как замечает Г. Вилейтнер, тонкость аргументов Саккери, остроумие его логических выкладок состояла в том, что он заметил эквивалентность приведенных выше гипотез следующим возможностям для углов треугольника: II. Людовике Ришери (Ludovico Richeri; XVIII в.) в своей работе 1761 г. находился под влиянием идей Лейбница об “универсальной характеристике” и прикладной пазиграфии. Заметка Ришери привлекла внимание И. Ламберта. III. К разработке и пропаганде идей вероятностной логики обращался неаполитанец Ф. Пагано (Раgапо; XVIII-XIX вв.) IV. Настойчивые попытки реформировать традиционную логику предпринимал Паскуале Галуппи (Galuppi Pasquale; 1770— 1846 гг.). С 1831 г. он преподавал логику в Неаполе. В методологической области опирался на Лейбница, критиковал Канта, пытался критически переработать результаты скоттизма и французского сенсуализма. Переходим теперь к характеристике логических достижений Дж. Пеано и его школы. Пеано перестал считать арифметику базисной математической дисциплиной и в качестве таковой (на которой он надеялся воздвигнуть остальное здание математики) стал рассматривать некую науку, родственную теории множеств. Отметим вклад Псано в разработку логической символики и терминологии. В частности, им были введены следующие употребительные и ныне символы: 1. Знак “ ” (читается: “содержится в”; употребляется для выражения отношения присущности элемента множеству). 2. Знак “ ” для выражения включения одного множества в другое. 3. Знак “ ”, символизирующий небулево объединение множеств. 4. Знак “ ” для обозначения операции пересечения множеств. Два последних знака широко применяются теперь в теории структур. Пеано ввел также часто используемую в наши дни (хотя и в адаптированном Уайтхедом, Расселом и другими авторами виде) систему символических обозначений для так называемых сентенциальных связок (служащих для образования новых предложений из числа заданных, которое, в частном случае, может равняться единице). В смысле удобства способа символизации итальянский представитель математической логики Джузеппе Пеано и его сотрудники превосходили Фреге. С 1895 г. они приступили к изданию “Математического сборника” (“Formulario Mathematico”), в котором математические дисциплины должны были отобразиться в специальном логическом исчислении. Рассел отлично понял достоинства символики Пеано, и его собственный язык (представленный в “Ргincipia Mathematica”, 1910—1913) был в значительной мере синтезом строгости языка Фреге и удобства языка Пеано и его школы. В целом, достижения Пеано явились переходным звеном от алгебры логики (в том виде, какой ей придали Буль, Шредер, Пирс и Порецкий) к современной форме математической логики. Опубликовано на сайте: http://intencia.ru Прямая ссылка: http://intencia.ru/index.php?name=FAQ&op=view&id=73 |