Август Де Морган — основоположник логической теории отношений - Основы философии - Интенция

13.05.2009 - Август Де Морган — основоположник логической теории отношений

1. Вехи творческого пути

Хотя начатки исчисления отношений восходят еще к И. Ламберту и Г. Плукэ, однако именно английский логик и математик Де Морган может быть назван подлинным основоположником логического анализа отношений.
По происхождению шотландец, Август Де Морган родился в июне 1806 г., в Индии, в округе Мадрас. Обучался математике в качестве общника (fellow) в Тринити Колледже в Кембридже. В 1828 г. Морган становится профессором математики при только что открывшемся Лондонском университетском колледже, который является ныне частью лондонского университета. Профессура Моргана падает на время с 1828 по 1831 гг. и с 1836 по 1866 гг. Видный педагог и страстный библиограф, он с 1847 г. выполнял также обязанности секретаря королевского астрономического общества и, кроме того, явился основателем и первым президентом (1866) Лондонского математического общества. А. Морган известен и как отец Уильяма Френда Моргана (1839—1917) — английского писателя, артиста и изобретателя. Любопытно отметить, что в числе учеников А. Де Моргана была дочь Байрона леди Августа Лавлейс, автор пространных комментариев к итальянскому описанию универсальной вычислительной машины Чарльза Бэббиджа.
Длительное время (с 1846 по 1855 г.) А. Морган полемизировал с У. Гамильтоном по вопросам математической обработки дедуктивной логики (в том числе по проблеме квантификации предиката). По признанию самого Моргана, его дискуссия с Гамильтоном была похожа на “спор кошки с собакой”. Однако, учитывая слабое здоровье своего оппонента, Морган зачастую смягчал формы выражения своего полемического задора. Гамильтон, в конце концов, вынужден был капитулировать и перестал оспаривать приоритет Моргана в математической трактовке приемов классической логики. К сожалению, оба спорщика были мало осведомлены о своих предшественниках (например, о И. Ламберте и Г. Плукэ) и изображали лишь себя создателями символического языка для выражения отношений.
А. Де Морган отчетливо сознавал оперативный характер алгебраической символики и был твердо убежден в возможности построения алгебры, отличной от общепринятой. Его работа “Формальная логика или исчисление необходимых и вероятностных умозаключений” вышла в одном году с “Математическим анализом логики” Джорджа Буля. Работа содержит развитую систему исчисления отношений. Морган употребляет здесь термин “calculus of inference” как синоним для выражения “формальная логика”. Особая глава в посвящена теории логических ошибок.
Одной из причин, подготовивших оформление символической логики в Британии 40-х гг. XIX в., явилось то обстоятельство, что наиболее крупные английские логики этого периода (Дж. Буль, А. Де Морган) были математиками, работавшими в области операционного исчисления. Это формальное символическое исчисление, над разработкой которого трудились и А. Де Морган и Дж. Буль, за пределами математики не находило приложений, а в самой математике наталкивалось на ряд трудностей. Естественно предположить, что поэтому Морган и Буль и попытались найти приложение этого исчисления в логике (причем каждый из них интерпретировал в логике свой собственный вариант операционного метода). Так логика и послужила, пожалуй, опытным полем для операционного исчисления британских математиков. В дальнейшем, впрочем, логическое творчество приобрело для них и самостоятельный интерес.

2. Основоположения логики отношений

Исходным моментом в реформе Моргана классической логики явился его анализ трудностей в трактовке связки в суждениях. Согласно Моргану, связка должна рассматриваться как носитель отношений. Бесконечное множество последних не может служить препятствием для формального анализа типов выражающих их связок, для выявления общих свойств связок. Эти свойства суть свойства типа симметричности, транзитивности и т. п. Их описание (т. е. анализ видов отношений) потребовало от Моргана построения развитого символического языка, различающего объекты (обозначаются буквами X, Y, Z,...) и отношения (обозначаются буквами L, М, N...), а также знаки для логических функторов, которые в различных работах Моргана изображаются по-разному.
Алгебра отношений Моргана включала в себя следующие шесть основных операций :
(1) МN' (логическая сумма отношений М и N),
(2) МN (логическое произведение тех же отношений),
(3) п (операция получения дополнительного для N отношения; словесно: не-N; Морган именовал п “контрарным” отношением),
(4) N-1 (операция получения конверсного отношения или конверсии N),
(5) MN(операция порождения относительной суммы отношений М и N).
(6) М (N) (операция порождения относительного произведения отношений M и N или “композиции” тех же отношений).
Вот текст, где Морган вводит выражения с отношениями, необходимыми в теории силлогизма: “Мы имеем также три символа для сложных отношений; LМ, т. е. L от некоторого M; LМ', т. е. L от каждого М; L, М, т. е. L только от М. Никакие другие сложные отношения не нужны в силлогистике, за исключением того случая, когда посылки сами содержат связанные отношения”. У Моргана в некоторых его работах выражение Х.LY означает, что Х не стоит в отношении L к Y. Теперь приведем отрывок, в котором вводятся операции конверсного и дополнительного отношений: “Конверсия отношения L, а именно L-1, обычно определяется так: если Х..LY, то Y..L-1X: если Х есть L от Y, то Y есть L-1 от X. Выражение L-1Х можно прочесть так: “L — конверсия от X”.
Если Х не является каким-нибудь L от Y, то Х стоит к Y в отношении не-L; это контрарное отношение может быть обозначено через l; таким образом, если задано X. LY, то задано и X. lL. Контрарные отношения могут быть сложными. Выражение Хх, т. е. одновременно Х и не-Х, невозможно. Однако lLх, т. е. L от не-L от Х возможно. Так, может быть какой-то приверженец противников х”.
И, наконец, Морган так определяет понятие “композиции” отношений: “Когда предикат некоторого отношения сам является субъектом другого отношения, то тогда имеет место композиция отношений: итак, если X.. L(МY), причем Х есть L от М от Y, то мы можем рассматривать Х как “L от М”, выражая это обстоятельство через X..(LМ) Y или просто через X.. L М Y”.
Установив основные операции своей алгебры отношений, Морган переходит затем к формулировке ряда теорем этой алгебры. Он пишет: “Контрарные отношения от конверсных отношений суть конверсные отношения: так, не-L и не-L-1 взаимно конверсны. Ибо выражения Х..LY и Y..L-1 Х тождественны, следовательно, Х…-LY и Y.. (не-L-1) Х также тождественны как их простые отрицания; итак, не-L и не-L-1 взаимно конверсны. Конверсные отношения от контрарных отношений суть контрарные отношения: так, L-1 и (не-L)-1 взаимно конверсны. Ибо Х..LY и X.. не-LY суть простые отрицания друг друга так же, как и их конверсные отношения Y..L-1X и Y… (не-L)-1Х; итак, L-1 и (не-L)-1 взаимно контрарны. Отрицание конверсии есть конверсия отрицательного отношения: не-L-1 есть (не-L)-1. Ибо X.. LY тождественно с Y. не-L-1 Х и с Х (не-L) Y, что также тождественно с Y (не-L -1)Х”.
Итак, Морган утверждает, что: 1) отрицание взаимно конверсных отношений дает взаимно конверсные отношения, 2) конверсия взаимно дополнительных отношений дает взаимно дополнительные же отношения и 3) дополнение к конверсии есть конверсия дополнительного отношения.
Морган делит отношения, прежде всего, на два больших класса: транзитивные (переходные) и нетранзитивные (непереходные).
Дав вполне строгое определение понятия транзитивности отношения, Морган далее заключает: “Если данное отношение транзитивно, то и его конверсия также транзитивна, однако его отрицательное отношение не обязано, вообще говоря, быть транзитивным”. В самом деле, если, например, отношение “больше” транзитивно, то и отношение “меньше” также транзитивно, в то время как, например, из посылок “х не отец у” и “у не отец z” не следует, что “х не отец z”.

3. Разработка проблем и обогащение традиционной логики

Морган выступил инициатором применения логических исчислений к обоснованию теорем теории вероятностей, предварив аналогичное стремление Дж. Буля. На этом пути Морган хотел продемонстрировать работоспособность своего исчисления, понятия которого он прежде всего “переводит” на теоретико-вероятностный язык.
Моргану принадлежит также идея трактовки отрицания понятия как дополнения до существующего “универсума рассуждения” (аналог современного понятия об универсальном классе). Это последнее понятие, которое стало играть в дальнейшем столь важную роль в логических системах Дж. Буля и П.С. Порецкого, также было впервые выдвинуто Де Морганом. Дополнение к данному классу рассматривается им как совокупность предметов, не содержащихся в этом данном классе, но отграниченных вместе с последними рамками определенного универсального класса, выделяемого (посредством внелогических критериев) обычно для системы понятий некоторой научной дисциплины или ее отдельного фрагмента.
Важное место в логических исследованиях Де Моргана занимает также изучение выводов из количественно определяемых предложений, не укладывающихся в силлогистические рамки. Такие выводы анализируются Морганом вслед за И. Ламбертом. Элементарным примером этого типа умозаключений может служить следующий вывод: “большая часть М есть Р” и “большая часть М есть S”, отсюда с необходимостью вытекает, что некоторые S суть Р. Таким образом, Морган приходит к выводу об ограниченности сферы действия традиционного правила: “из частных посылок ничего не следует”. Он рассматривает комбинации из таких частных суждений, устанавливает некоторые формальные критерии для составляемых из них умозаключений и т. д. Тем самым, строится нечто вроде логики оперирования с частными посылками.
В математической логике известны законы Моргана, согласно которым конъюнктивные выражения могут быть переформулированы в эквивалентные им дизъюнктивные; равным образом и наоборот. Правда, в последующем отрылось, что эти соотношения были известны логикам еще очень отдаленного времени.
Работы Моргана не были в достаточной степени поняты его современниками. Сложная и не всегда единообразная символика отпугивала многих читателей, склонных прагматически требовать от новой теории немедленных практических приложений. Основное историческое значение системы Де Моргана сводится главным образом к тому, что она стимулировала развитие алгебры отношений Ч. С. Пирса и дала толчок Дж. Булю к созданию исчисления классов, которое у Моргана было представлено явно недостаточно.

Опубликовано на сайте: http://intencia.ru
Прямая ссылка: http://intencia.ru/index.php?name=FAQ&op=view&id=79