 24.03.2009 - Декарт. Рождение “Аналитической геометрии”Декарт"Геометрия греков может быть сравнима с изящной ручной работой, алгебра арабов — с автоматическим производством. Мы можем сказать, что современная математика началась три столетия назад, когда алгебраические механизмы стали применять в геометрии и изучение кривых, поверхностей, геометрических фигур стало переводиться в изучение определенных уравнении" (Л. ЛомбардоРадиче). Эта революционная идея обязана своим возникновением Декарту; и, "как все действительно великое, она обладает той простотой, которая граничит с очевидностью" (Э. Т. Белл). Центральная идея аналитической геометрии — Декарт излагает ее в небольшом трактате, озаглавленном "Геометрия" (1638 г.), — поистине носилась в воздухе. Ее применял в те же годы, и, возможно, раньше, другой гениальный француз, юрист Ili.cp Ферма, который в часы, свободные от судебной практики, развлекался математикой. Фундаментальную идею аналитической геометрии можно пояснить следующим образом. Проведем (как на рис. 1) две перпендикулярные оси, горизонтальную и вертикальную, берущие начало из одной точки О, кроме того, выберем единицу измерения расстояния. Рассмотрим часть поверхности, заключенную между этими двумя линиями (квадрат). Тогда: 1) в одной точке квадрата могут соединиться два определенных числа (координаты): абсцисса и ордината, которые соответственно измеряют расстояние Р от вертикальной и горизонтальной оси, т. е. длину сегментов OPi и 0?2; 2) паре чисел (1,2) соответствует одна и только одна точка Р квадрата, та, которая имеет абсциссу 1 и ординату 2, т. е. та единственная точка, которая имеет расстояние 1 от вертикальной оси и расстояние 2 от горизонтальной. Предположим, точка смещается по поверхности. Ясно, что координаты (х, у) всех точек кривой, порожденной перемещающейся точкой, задаются уравнением, которое называется уравнением кривой. Теперь решим алгебраически наше уравнение и переведем результаты всех расчетов в эквивалентные формы координат точек, на диаграмму, которую мы на время этих расчетов добровольно отложили в сторону. Очевидно, что гораздо лучше и с большей быстротой можно ориентироваться в алгебре, нежели в сложной паутине элементарной геометрии греков. Процедура, выработанная Декартом, позволяет нам отталкиваться от уравнений какой угодно степени сложности и геометрически интерпретировать алгебраические и аналитические свойства. В сущности, мы пользуемся алгеброй, чтобы раскрыть и изучить геометрические теоремы. И, таким образом, "мы не только больше не пользуемся геометрией как руководством, но и повесили ей камень на шею, прежде чем сбросить в море. С этого момента алгебра и математика будут нашими вожатыми в морях без компаса «пространства» и его геометрии. Все то, что мы сделали, может получить пространственное выражение с любым числом измерений; для плоскости требуются две координаты; для обычного пространства твердых тел — три; для геометрии механики и относительности — четыре координаты. <...> Декарт не пересматривал геометрию, он ее создал" (Э. Т. Белл). Декарт был поражен мощью своего метода и вполне понял его новизну и важность; и "он был прав, когда гордился, что создал геометрию более высокого уровня, нежели та, что существовала до него, намного выше, чем риторика Цицерона по сравнению с алфавитом" (J. Hadamard). В сущности, Декарт обнаружил, что существующая геометрия слишком зависит от изображений, которые, помимо прочего, бесполезно утомляют воображение; алгебра же представлялась ему путаной и неясной. В своей "Геометрии " он поставил перед собой двойную цель: 1) освободить геометрию от фигур с помощью алгебраических действий; 2) придать алгебраическим операциям значение геометрической интерпретации; перевести геометрическую проблему на язык алгебраического уравнения, а затем, после упрощения уравнения, насколько возможно, решить его геометрическим способом" (К. Б. Бойер). Метод декартовых координат не производит на нас ныне впечатления, поскольку стал неотделимой частью нашего научного наследия. Но в то время он был событием огромной важности. Греки, утверждал Декарт, не заметили идентичности алгебры и геометрии, "иначе они не стали бы утруждать себя написанием стольких книг, в которых уже расположение их теорем показывает, что они не владели верным методом, с помощью которого решаются все теоремы". "Концепция Декарта наносит последний удар по концепции греков, геометрия окончательно утратила свой титул королевы математики, и на место геометрической математики приходит математика алгебраическая" (Э. Колерус). Это убеждение ясно выражено картезианцем Эразмом Бартолином, который в предисловии к "Геометрии" 1659 г. написал: "Вначале было полезно и необходимо поддержать наши способности абстрактно мыслить; поэтому геометры прибегли к фигурам, арифметики — к цифрам. Но эти методы недостойны великих людей, которые претендуют на звание ученых. Единственным великим умом был Декарт". Следуя за баварским войском холодной зимой 1619 г., Декарт размышлял над решением математических задач. Именно тогда он открыл формулу полиэдров (многогранников), которая ныне носит имя Эйлера: v + f = s + 2, где v, f и s обозначают соответственно число вершин, граней и углов выпуклого полиэдра. Отталкиваясь от алгебраических формул, которые не потеряли своей актуальности и поныне, Декарт сделал и другие технические открытия в области математики. Но его интересовали не только технические результаты. Сразу после опубликования "Геометрии" он пишет отцу Мерсенну: "Что касается геометрии, не ждите от меня большего. Вы знаете, что я уже давно прекратил заниматься ею". И действительно, "Геометрия" — лишь приложение к гораздо более обширному проекту, "Размышлению о методе". "Алгоритм и символ, исследование наиболее общей формы арифметики и геометрии — таковы предпосылки, обеспечивающие движение Декарта вперед. <...> Он выбирает по собственному усмотрению основные линии, свои оси, устанавливает, опять таки по своему усмотрению, начало координат и соотносит с этими осями координат анализируемую фигуру по точкам. Однако оси — не что иное, как градуированные линии, которые могут представлять любое число, если вспомнить, что числа — всегда линии, независимо от операции. Сумма, разницы, степени, корни — все это длины и ни что другое. <...> Теперь, когда число и форма сведены к единому общему знаменателю — длине, их можно комбинировать по свойственным им законам. С помощью уравнений можно производить расчеты на основании арифметических и алгебраических методов, как если бы это были нормальные числовые выражения; с фигурами — по геометрическим правилам. Несмотря на разную трактовку, в любой момент должно быть четкое соответствие между кривой и уравнением. Так родился двойной алгоритм. Это детище Декарта, именуемое «аналитической геометрией», направляет математическую мысль вплоть до наших дней. Западная цивилизация, посредством применения двойного алгоритма в физике и механике, трансформировала облик Земли" (Э. Колерус). Из фазы ручного труда математика перешла в фазу промышленного развития. Опубликовано на сайте: http://intencia.ru Прямая ссылка: http://intencia.ru/index.php?name=Pages&op=view&id=427 |