Анализируя характер пифагорейской математики, большинство историков считают, что основная заслуга Пифагора и его последователей заключается в возведении этой специальной области знания на ступень чистой, абстрактно-теоретической науки.
Не только геометрия египтян и арифметика вавилонян и финикиян, но и математические познания мыслителей Милета имели преимущественно практический характер, обусловленный практическими потребностями измерения земельных участков, расстояний между объектами, счетом товаров и денег в торговых предприятиях. «Пифагор первый положил начало умозрению об общих свойствах чисел и геометрических фигур, и у него впервые математика приобретает демонстративный характер. Демонстрация, какую мы встречаем у Эвклида и которая осталась до наших дней самым характеристичным признаком математических наук, которая характеризует их более, нежели природа изучаемых ими объектов, была впервые введена Пифагором». Такая точка зрения на характер пифагорейской математики восходит к Диогену Лаэртскому. Что же касается объема пифагорейской математики, то, как полагают многие исследователи, он составлял полностью содержание первых трех книг «Начал» Евклида, т. е. был довольно внушительным.
В результате формирования теоретической математики у греков произошло отделение арифметики, теории чисел, от логистики, практического искусства счета, формулирующего правила действий над числами, необходимые для применения последних в жизни. Далее, наметилось разграничение геометрии — теоретического учения о пространстве от геодезии — практического искусства измерения земли. Учитывая то обстоятельство, что пифагорейцы придали теоретико-математический характер своей астрономии и акустике — учению о музыкальных интервалах и их соотношениях, многие исследователи полагают, что к Пифагору восходит знаменитый quadrium: арифметика, геометрия, астрономия и музыка, не только положенный Платоном в основу классификации частных наук, но и составивший в эпоху средневековья один из основных элементов средневековой науки и образования.
Возведя арифметику в ранг теоретической науки, пифагорейцы внесли значительный вклад в разработку ее содержания. По всей вероятности, Пифагор ввел в употребление точечный способ представления чисел. Дело в том, что в первоначальном пифагореизме числа еще не выражались посредством геометрических фигур, а использовался более древний способ представления самих геометрических фигур через совокупность точек. Этот способ лежал и в основе изображения чисел. Точки изображали у Пифагора единицы, линии, образованные из рядов точек, изображали другие числа. Несколько линий, соединяясь между собой, образовывали плоские фигуры, в частности простейшую из них — треугольник. Несколько плоских фигур, соединяясь, образовывали геометрические тела. Например, соединение треугольников давало пирамиду. Точечно-геометрический способ представления чисел запечатлелся, как мы увидим, в их названиях.
В соответствии с этим способом изображения чисел пифагорейцы осуществили разделение чисел на несколько видов в зависимости от особой формы их изображения. Прежде всего они различили числа простые и сложные. Простые числа изображались точками, расположенными по прямой линии, и получили название линейных, или прямоугольных. Сложные числа подразделялись на два основных вида: плоские и телесные. Плоским считалось число, получаемое посредством умножения друг на друга двух чисел, отличных от единицы; телесным — число, получаемое от соответствующего умножения трех чисел. Плоские числа делились далее на квадратные и прямоугольные (продолговатые). Квадратным называлось число, получаемое от умножения двух одинаковых чисел (например, 4=2-2). Прямоугольным называлось число, являющееся произведением двух неодинаковых чисел (например, 6=2-3). Телесные числа также разделялись на виды. Особое значение приписывалось кубическим числам, т. е. числам, являющимся произведением трех одинаковых чисел, отличных от единицы (например, 8=2-2-2).
Пифагорейцы делили числа на четные, нечетные и четно-нечетное (единица). Этому тройному делению соответствовали три открытых ими вида чисел: квадратные, прямоугольные и треугольные. Квадратные и прямоугольные числа помимо указанной выше интерпретации их в терминах операции умножения имели истолкование в терминах операции сложения. Квадратные числа получались в результате сложения нечетных чисел: 1+3=22, 1+3 + 5=32 и т. д. Прямоугольные числа являлись результатом сложения четных и нечетных чисел:
1+2+3+…+n = n(n+1)/2
Пифагорейцы открыли, далее, взаимоотношение квадратов чисел; (учение о сумме квадратов чисел).
Пифагор исследовал также суммы рядов последовательных чисел и пришел к следующим результатам. Если последовательно прибавлять к единице все числа по порядку, как четные, так и нечетные, то сумма натурального ряда принимает вид треугольника. В данном случае операция сложения осуществляется как последовательная линейная запись чисел-точек одной линии под другой. Причем этот треугольник можно продолжить до бесконечности. Соответствующие получаемым суммам числа были названы поэтому треугольными. Суммы последовательных треугольных чисел были названы пирамидальными (например, 4 есть первое пирамидальное число, являющееся суммой первых треугольных чисел 1 и 3). Суммы, образованные последовательным прибавлением к единице нечетных (по порядку) чисел, образовывали фигуру квадрата и были названы соответственно квадратными (4, 9, 16 и т. д.). Сложение же по порядку четных чисел давало фигуру продолговатого прямоугольника, поэтому эти суммы были названы прямоугольными, или продолговатыми, числами. Таким образом, важным вкладом пифагорейцев в арифметику явилось учение о суммах рядов чисел.
Следует отметить, что если первоначально арифметические числа получали геометрическую интерпретацию, что отразилось в названиях как самих чисел, так и их последовательных сумм (квадратные, продолговатые, треугольные и т. д.), то позднее это взаимоотношение было перевернуто: геометрические понятия и представления, как мы увидим, при рассмотрении геометрии пифагорейцев, сами оказались истолкованными на основе понятий арифметики.
Пифагорейцы разработали теорию средних величин, т. е. пропорций и отношений величин. Средними величинами считались группы таких трех величин, средняя из которых есть функция двух крайних. Насчитывалось десять видов таких «средних величин», три из которых — среднее арифметическое, геометрическое и гармоническое — вошли в современную математику под названием непрерывных пропорций. Арифметическая непрерывная пропорция а—с = с—b; геометрическая — а:с = с:b; гармоническая — (а—b) : (b—с)=а : с. В результате среднее арифметическое двух величин равно (a+b)/2; среднее геометрическое — √ab и среднее гармоническое — 2ab/(a+b). Пифагорейцы разработали также таблицу умножения, вписанную в четырехугольник.
Надточаев А. С
|
