Интенция | Все о философии

07.10.2010 - Атомистическая математика

Как и большинство древнегреческих мыслителей той эпохи, Демокрит уделял значительное внимание исследованию проблем математики. Различные источники приписывают Демокриту такие сочинения, как «О различии между (законнорожденной и незаконнорожденной) мыслью, или О касании круга и шара», «О несоизмеримых линиях и телах», несколько книг «Геометрии», «Актинография» и др.

Демокрит не только хорошо изучил современную ему математику и прекрасно владел приемами математического доказательства, но и попытался дать атомистическое обоснование и интерпретацию математического знания, хотя в ряде случаев это вело к прямому конфликту с существовавшими в его время взглядами на природу некоторых математических объектов. Так, предпочитая сохранить верность атомистическим принципам, в истинности которых он был абсолютно убежден, Демокрит счел необходимым пожертвовать трактовкой линии и плоскости, основанной не на принципе дискретности (чего требовала атомистическая доктрина), а на идее непрерывности.

Отмечая эту особенность атомистического понимания природы ряда математических объектов, Аристотель писал: «Сверх того (атомистам) необходимо считать, что не всякое тело может быть разделено, и противоречить этим самой точной из наук: ибо эта наука — математика — принимает, что и умопостигаемая величина может быть разделена (пополам), а они не принимают этого даже для всякой чувственно воспринимаемой величины из желания спасти свою (атомистическую) предпосылку. Действительно, тем, которые придают каждому из элементов определенную форму и этим определяют его сущность, необходимо представлять себе элементы неделимыми: ведь при разделении неким способом пирамиды или шара то, что останется, уже не будет шаром или пирамидой. Таким образом, либо частью огня не будет огонь, либо придется (признать) существование чего-то, еще более первичного, чем элемент, так как все (существующее) либо элемент, либо составлено из элементов, либо (придется допустить, что) не всякое тело делимо» [170, с. 246].

Сознавая это противоречие атомистических принципов с геометрической предпосылкой о бесконечной делимости линий и тел, Демокрит и его последователи стремились преодолеть его. Рассмотрим прежде всего первоначальный способ решения проблемы делимости различных геометрических объектов. Конкретное описание этого способа мы находим в свидетельстве Симпликия: «Это доказательство направлено одновременно и против образующих первотела из плоскостей, и против образующих их, как Д... Ведь как те, которые определяют сущность элементов их формами (т. е. образующие первотела из ограничивающих их плоскостей), так и те, которые считают их неделимыми (т. е. сторонники Демокрита), вынуждены считать, что не всякое тело может быть разделено, и вступают в противоречие с математической наукой... Если же, чтобы избежать таких последствий, они говорят, что эти тела делятся, причем «пирамида» или «шар» — ибо сторонники Демокрита считают (элемент) огня шаром — «делятся как-то», т. е. (рассекаются) неким (определенным) способом: пирамида — плоскостью, параллельной основанию, а шар так, что он со всех сторон снимается одинаково, то то, что отрезается в направлении к центру, остается шаром, а в направлении к вершине — пирамидой, остальная же часть шара не будет шаром и остальная часть пирамиды не будет пирамидой». Остаток пирамиды, обращенной к основанию, атомисты назвали «бесхвостой (т. е. усеченной) пирамидой» . Таким образом, атомисты допускали возможность деления различных тел, однако при этом признавали, что по крайней мере значительная часть результатов такого деления не сохраняет уже исходной, изначальной формы подлежащего делению тела.



Однако при этом вставал еще один существенный вопрос: возможно ли деление линий и тел до бесконечности, как это признает математика, или же деление должно, в конце концов, остановиться на каких-то далее неделимых элементах? На основании некоторых имеющихся свидетельств можно считать, что Демокрит и его последователи решили этот вопрос, в согласии со своими атомистическими принципами признав невозможность бесконечного деления и необходимость существования далее неделимых элементов. Однако при этом они должны были в известном смысле признать нефундаментальность самих атомов, сложность их структуры, в основе которой лежат элементы, более фундаментальные, нежели атомы. Ибо, как свидетельствует Аэций, «те, которые (изобрели) атомы, говорят, что деление останавливается на амерах и не продолжается до бесконечности» (Вопрос о том, принадлежит ли концепция амер учению Демокрита или же ее впервые ввел в систему атомистики Эпикур, является, на наш взгляд, не выясненным до конца. В зарубежной литературе, а также среди некоторых отечественных исследователей принята точка зрения, согласно которой включение в атомизм концепции амер — заслуга не Демокрита, а Эпикура)

Введение понятия «амер» приписывается Диодору Крону. Как свидетельствует Аэций, «Диодор, по прозвищу Крон, (принимает) бесчисленные, не имеющие частей тела, о которых говорят, что они в то же время и наименьшие, бесконечные по числу, но ограниченные по величине, (за начало сущего)». Таким образом, в отличие от демокритовых атомов, различающихся между собой не только по форме, порядку и положению, но и имеющих, согласно некоторым свидетельствам, еще и другие свойства (крючки, острые углы, круглую поверхность), амеры признавались частицами, не имеющими частей. По всей вероятности, понятие «амер» было введено именно с целью преодоления тех трудностей, с которыми столкнулась атомистическая доктрина при трактовке проблемы бесконечной делимости.

На основании имеющихся свидетельств можно считать установленным тот факт, что Демокрит и последующие атомисты ассимилировали концепцию амер, включив ее в атомистическое учение. Согласно имеющимся свидетельствам, амеры были положены в основу понимания атомов. Атомы делились на семь частей, которые, далее, уже не подлежали делению вследствие отсутствия у них более мелких частей и являлись не чем иным, как амерами. Как свидетельствует Александр, «Аристотель говорит о Левкиппе и Демокрите... Ведь амеры, мысленно усматриваемые в атомах и являющиеся частями их, по их словам, не имеют веса. Ср. Эпикур, Письма 1, 58:. Фемистий конкретизирует, далее, количественное взаимоотношение амер и атома: «Те, которые принимают неделимые, но говорят, что они чрезвычайно малы, поскольку в них находится (нечто), что мысленно допускает (дальнейшее) деление на семь частей: они говорят еще, что это не делится на более мелкие части». Возможное основание, согласно которому Левкипп и Демокрит приняли положение, что атом состоит из семи амер, указывает Дж. Бруно, мыслитель, достаточно далеко отстоящий от античных атомистов: «На площади Демокрита, как это очевидно, с одним минимумом... соприкасаются не более чем шесть других, равных ему точек... На поле Левииппа... как мы знаем, вокруг шарообразного атома сходятся, заполняя пространство, только шесть (атомов), равных первому... Эта (площадь состоит) из семи частей».

Надточаев А. С

Опубликовано на сайте: http://intencia.ru
Прямая ссылка: http://intencia.ru/index.php?name=Pages&op=view&id=688