Интенция | Все о философии

25.11.2010 - Математика Аристотеля

Все «частные науки» Аристотель отличает от «первой философии» в двух смыслах: в экстенсивном и интенсивном. В первом смысле всякая «частная наука» исследует ту или иную, но всегда «часть сущего», «какую-нибудь (отдельную) область» бытия, в отличие от философии, рассматривающей сущее как таковое, в его целом.

Во втором смысле все «частные науки» предпосылочны, поскольку они «не дают никакого обоснования для сути предмета». «Первая философия» же беспредпосылочна, поскольку она исследует сущее в его первых началах или причинах, дальше которых познание идти не может.

В области теоретических наук наиболее близкой к философии у Аристотеля (как и у Платона) является математика, занимающая промежуточное положение между философией и физикой. Следует отметить, что среди имеющихся аристотелевских сочинений мы не обнаруживаем трудов, специально посвященных систематическому рассмотрению математического знания, его сущности, специфики его объектов, особенностей метода математического исследования, места математики в классификации наук и ее значения для познания в целом. Напротив, что касается большинства других «частных наук» — физики, астрономии, биологии, психологии, экономики, этики, политики и т. д., то их рассмотрение может опираться на соответствующие сочинения Аристотеля. Тем не менее в целом ряде своих работ — в «Метафизике», «Категориях», «Аналитике», «Физике», «Механических проблемах» — Аристотель достаточно определенно высказывается по важнейшим проблемам, затрагивающим сущность математического познания, и это позволяет дать целостную теоретическую реконструкцию его трактовки математики. Анализ его суждений по тем или иным вопросам математики свидетельствует прежде всего о том, что он прекрасно знал как состояние современной ему математики, так и основные философско-методологические подходы к интерпретации наиболее существенных проблем математического познания (пифагорейскую доктрину математики, атомистическую концепцию математики Демокрита, Платонову концепцию математики). Будучи крупным мыслителем, Аристотель не ограничился простой констатацией существующего положения дел, а по всем наиболее существенным пунктам выразил свою собственную точку зрения, явившуюся результатом критического осмысления всех предыдущих подходов к истолкованию математики. Аристотелевская концепция математики в целом основывается на началах, принципах его «первой философии».

Это проявляется прежде всего в трактовке Аристотелем центральной философской проблемы математического познания — проблемы существования математических объектов. В решении этой проблемы Аристотель существенно расходится не только с Платоном, объективно-идеалистически интерпретировавшим статус математических объектов как мыслительных сущностей, самостоятельных по отношению к единичным материальным вещам, но и с пифагорейцами, исходившими из признания тезиса «число есть сущность всех вещей». «Теперь, если существуют математические предметы, — рассуждает Стагирит, — они должны либо находиться в чувственных вещах, как утверждают некоторые, либо быть отдельно от чувственных вещей (и это тоже некоторые говорят); а если они не существуют ни тем, ни другим путем, тогда они либо (вообще) не существуют, либо существуют в ином смысле: таким образом, (в этом последнем случае) спорным у нас будет (уже) не то, существуют ли они, но каким образом (они существуют)». В противоположность платоникам, гипостазировавшим математические предметы подобно идеям, Аристотель исходит из того, «что предметы математики нельзя отделять от чувственных вещей, как это утверждают некоторые, и что начало вещей —не в них». С другой стороны, в противоположность пифагорейцам он утверждает, что математические предметы не существуют и в самих вещах в качестве сущности последних. Согласно Аристотелю, в реальных, физических вещах существуют определенные свойства, акциденции, являющиеся своего рода «прообразами» математических предметов, которые формируются из них посредством абстрагирующей деятельности теоретического мышления. «[Свойства же], неотделимые от тела, но, с другой стороны, поскольку они не являются состояниями определенного тела и [берутся] в абстракции, [изучает] математик». Помимо объективности свойств вторая существенная характеристика математических предметов заключается в том, что они «чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астрономии». Последнее суждение следует оценивать конкретно-исторически: в ту эпоху математика, существовавшая преимущественно в форме арифметики и геометрии, действительно не исследовала природу движения, процессов изменений, что стало возможным лишь в Новое время в связи с введением Декартом понятия переменной величины.



Поскольку математические предметы не тождественны физическим вещам, а формируются из тех или иных свойств вещей посредством их отвлечения от всех других характеристик вещей, постольку Аристотель специально высказывается по поводу метода мышления математика, способа конституирования математических сущностей. Характеризуя специфику математического познания, он пишет: «И в отношении сущего примером служит то рассмотрение, которому математик подвергает объекты, полученные посредством отвлечения. Он производит это рассмотрение, сплошь устранивши все чувственные свойства, например тяжесть и легкость, жесткость и противоположное (ей), далее — тепло и холод и все остальные чувственные противоположности, а сохраняет только количественную определенность и непрерывность, у одних — в одном направлении, у других — в двух, у третьих — в трех, а также — свойства этих объектов, поскольку последние количественно определены и непрерывны, но не с какой-нибудь другой стороны; и у одних предметов он разбирает те положения, в которых они стоят друг к другу, и то, что связано с этими положениями, у других — их соизмеримость и несоизмеримость, у третьих — их (взаимное) соотношение, но все-таки мы принимаем одну и ту же науку для всех этих предметов (именно) — геометрию». Таким образом, хотя содержание математического знания (количественные свойства физических вещей) в целом объективно, однако мыслительный способ рассмотрения этого содержания математиком существенно отличается как от способа рассмотрения физика, исследующего те же вещи в единстве их свойств и в движении, так и от способа рассмотрения метафизика, исследующего сущее как таковое в его собственных различиях и противоположностях.

В «Метафизике» и «Категориях» Аристотель подверг специальному рассмотрению проблему количества. Количество он трактует как одну из основных категорий, раскрывающих общий характер реальности. Анализ категории количества Аристотель предпосылает анализу категории качества, хотя он прекрасно сознает, что начальная ступень познания связана с познанием посредством чувств различных качественных характеристик вещей.

Согласно Аристотелю, количеством «называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых, будет ли их две или несколько, является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это — величина, если его можно измерить». В терминах категории количества, дифференцируемой, далее, на количества прерывные и непрерывные, Аристотель определяет такие основные математические (арифметические и геометрические) предметы, как множество, число, линия, плоскость и тело. «Множеством, — пишет он, — при этом называется то, что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною — то, что (делится) на части непрерывные; а у величины протяжение, непрерывное в одном (направлении), есть длина, непрерывное в двух (направлениях) — ширина, непрерывное в трех (направлениях) — глубина. Из (всех) этих количеств ограниченное пределом множество есть число, ограниченная длина — линия, ограниченная ширина — плоскость, ограниченная глубина — тело». Таким образом, основные арифметические и геометрические понятия, будучи определены в терминах категории количества и актуального и потенциального бытия, получают тем самым философское осмысление и обоснование, истолкование с точки зрения основополагающих принципов, сформулированных в «Метафизике».



На первый взгляд представляется, что разделение количества на прерывное (множество) и непрерывное (величину) у Аристотеля служит основанием разграничения предмета арифметики и предмета геометрии. Ибо число, основа арифметики, трактуется им как ограниченное пределом множество, следовательно, в терминах прерывного количества. Линия, плоскость и тело (что касается точки, то Аристотель истолковывает ее как общую границу, в которой приходят в соприкосновение части линии) — основные понятия геометрии — определяются им в терминах непрерывного количества (линия, плоскость, тело есть непрерывные количества, различающиеся между собой числом направлений протяжения). В «Категориях», в частности, отмечается, что примерами прерывных (раздельных) количеств служат «число» и «речь», тогда как примерами непрерывных — линия, поверхность, тело. Основанием истолкования чисел и речи в качестве прерывных количеств является отсутствие общей границы, в которой соприкасались бы, становясь непрерывными, части этого рода количеств. Согласно Аристотелю, все числа «всегда стоят раздельно», «у числа нельзя найти общую границу его частей, но они всегда стоят раздельно, поэтому число принадлежит к раздельным количествам» . Разъясняя эту мысль, он пишет: «Если пять есть часть десяти, то пять и пять не соприкасаются ни у какой общей границы, но они стоят раздельно». Прерывной является и речь, которая в качестве количества измеряется коротким и долгим слогом. Эти последние, подобно числам, не имеют общей границы, в которой они могли бы прийти в соприкосновение (следовательно, стать непрерывными). Ибо каждый слог «стоит раздельно — сам по себе».

Что же касается геометрических объектов (линии, плоскости, тела), то в отличие от числа и речи для них характерно наличие общей границы, превращающей их в непрерывные количества. В частности, непрерывность линии состоит в том, что части ее смыкаются в общей границе, которой является точка. Общей границей для плоскости является линия, в которой соприкасаются, сходятся части поверхности. Наконец, общей границей для тела является плоскость, в которой соприкасаются части тела.

Это чисто формально-логическое различение объектов арифметики и геометрии на основании дихотомии прерывных и непрерывных величин имеет у Аристотеля и определенное методологическое обоснование, заключающееся в том, что при исследовании категории количества невозможно принимать одновременно противоположные его определения. «Количеству, — пишет он, — нет ничего противоположного... разве только, если сказать, что многое противоположно малочисленному или большое — малому»

В противном случае «окажется, что одно и то же принимает вместе противоположные определения и что предметы бывают противоположными сами себе... но, конечно, ничто не бывает вместе белым и черным; а также и среди всего остального нет ничего, что принимало бы вместе противоположные определения». Утверждая здесь универсальность принципа противоречия, согласно которому ни вещь, ни наше понятие о ней не должны иметь одновременно противоположных определений, Аристотель тем самым будто бы признает справедливость этого принципа и для понимания природы математических объектов — числа, линии, плоскости и т. д.


Зафиксировав объективное противоречие в содержании основных математических объектов, Аристотель предложил способ его разрешения, заключающийся в различении потенциального и актуального бытия, с одной стороны, и идее перехода потенциального бытия в актуальное — с другой, тем самым в своеобразной форме раскрыв диалектику прерывного и непрерывного. Согласно Стагириту, линия, как и время, потенциально делима до бесконечности, хотя актуально она не может быть разделена до бесконечности. Как и в случае физических объектов, бытие объектов математических характеризуется тем, что они приобретают противоположные исходным качества при переходе из потенциального состояния в актуальное, т. е. в процессе движения.



Помимо анализа количественных величин с точки зрения их прерывных и непрерывных характеристик, Аристотель провел различие между объектами, для которых количество составляет их сущность, их природу (в конечном итоге собственно математическими объектами), и объектами, для которых количество является лишь привходящим, случайным свойством, а не выражением сущности. Согласно Стагириту, «одно именуется количеством согласно его природе, другое — случайным образом, — например линия есть некоторое количество, как такое, а образованное — случайным образом. Из числа того, что обозначается как количество согласно его природе, одно является таковым по своей сущности, подобно тому как линия, например, есть некоторое количество (ибо в понятие, выражающее суть линии, входит понятие некоторого количества); а в других случаях мы имеем дело с (некоторыми) состояниями и свойствами подобной (количественно определяемой) сущности — таковы, например, многое и немногое, длинное и короткое, широкое и узкое, глубокое и мелкое, тяжелое и легкое, и все остальные подобные свойства. Точно так же большое и малое, большее и меньшее, если о них говорить и как о таких и в их отношении друг к другу, (все) это — свойства количества как такие; а в переносном смысле эти наименования относятся и к другим вещам». Количественные характеристики присущи и нематематическим объектам, например времени и движению. Ими измеряется длительность процессов или состояний, пройденные расстояния и т. д. Однако в этих и других случаях они не составляют сущность рассматриваемых предметов, а являются лишь привходящим их свойством.

Аристотелевское разграничение количеств на количества по природе, по сущности и количества привходящие подводят нас к вопросу о значении математики для познания реальности. Аристотель резко разошелся с Платоном не только в трактовке природы математических объектов, но и в оценке познавательного значения математики в целом, и в понимании соотношения математики с философией, в частности. Как известно, поздний Платон настолько высоко стал ценить математические знания, что в своей натурфилософии (в «Тимее») предпринял попытку теоретически осмыслить строение космоса на основе идей, математических понятий и их соотношений. Более того, саму материю Платон стал характеризовать с математической, количественной точки зрения как заключающую в себе противоположность большого и малого. Аристотель выступил прежде всего против платоновской попытки использовать математические соотношения для уточнения содержания философских начал, принципов. В частности, подвергая критике платоновскую теорию идей в связи с обсуждением вопроса о месте и значении целевой причины в философском познании, он подчеркивает неправомерность абсолютизации Платоном математического знания: «Равным образом, что касается той причины, которая, как мы видим, имеет (основное) значение для наук, — той, ради которой творит всякий разум и всякая природа,— к этой причине, которую мы признаем одним из начал, идеи также никакого отношения не имеют, но математика стала для теперешних (мыслителей) философией, хотя они говорят, что ею нужно заниматься ради других целей. Далее, относительно сущности, которая (у платоновцев) лежит в основе как материя, можно бы признать, что она имеет слишком математический характер (курсив мой. — А. Н.) и, сказываясь о сущности и материи, скорее образует отличительное свойство той и другой, нежели материю: именно так обстоит с большим и малым, подобно тому как и исследователи природы («физиологи») говорят о редком и плотном, признавая их первыми отличиями основного вещества; ибо это есть некоторый избыток и недостаток».

Не ограничиваясь этим, Аристотель пошел дальше, высказав положение об ограниченности области применения математического знания, о неприменимости его в науках о природе. «А точность, — пишет он, — именно математическую точность, нужно требовать не во всех случаях, но лишь для предметов, у которых нет материи. Таким образом, этот способ не подходит для науки о природе, ибо природа во всех, можно сказать, случаях связана с материей». В другом месте Аристотель весьма критически оценивает превозносимую в наше время точность математического знания следующим образом: «Есть у точности что-то такое, из-за чего она как при сделках, так и в рассуждениях кажется некоторым недостойной свободного человека». В согласии с этим тезисом о неприменимости математического знания в исследовании природы он трактует содержание наук о природе — физики, биологии, психологии, астрономии и т. д. — без какого-либо использования математического аппарата, не с количественной, а преимущественно с качественной точки зрения, в исследовательской литературе получившей наименование квалитативизма.

Надточаев А. С

Опубликовано на сайте: http://intencia.ru
Прямая ссылка: http://intencia.ru/index.php?name=Pages&op=view&id=710