В сущности, Декарт обнаружил, что существующая геометрия слишком зависит от изображений, которые, помимо прочего, бесполезно утомляют воображение; алгебра же представлялась ему путаной и неясной. В своей "Геометрии " он поставил перед собой двойную цель: 1) освободить геометрию от фигур с помощью алгебраических действий; 2) придать алгебраическим операциям значение геометрической интерпретации; перевести геометрическую проблему на язык алгебраического уравнения, а затем, после упрощения уравнения, насколько возможно, решить его геометрическим способом" (К. Б. Бойер).
Метод декартовых координат не производит на нас ныне впечатления, поскольку стал неотделимой частью нашего научного наследия. Но в то время он был событием огромной важности. Греки, утверждал Декарт, не заметили идентичности алгебры и геометрии, "иначе они не стали бы утруждать себя написанием стольких книг, в которых уже расположение их теорем показывает, что они не владели верным методом, с помощью которого решаются все теоремы". "Концепция Декарта наносит последний удар по концепции греков, геометрия окончательно утратила свой титул королевы математики, и на место геометрической математики приходит математика алгебраическая" (Э. Колерус). Это убеждение ясно выражено картезианцем Эразмом Бартолином, который в предисловии к "Геометрии" 1659 г. написал: "Вначале было полезно и необходимо поддержать наши способности абстрактно мыслить; поэтому геометры прибегли к фигурам, арифметики — к цифрам. Но эти методы недостойны великих людей, которые претендуют на звание ученых. Единственным великим умом был Декарт".
Следуя за баварским войском холодной зимой 1619 г., Декарт размышлял над решением математических задач. Именно тогда он открыл формулу полиэдров (многогранников), которая ныне носит имя Эйлера: v + f = s + 2, где v, f и s обозначают соответственно число вершин, граней и углов выпуклого полиэдра. Отталкиваясь от алгебраических формул, которые не потеряли своей актуальности и поныне, Декарт сделал и другие технические открытия в области математики. Но его интересовали не только технические результаты. Сразу после опубликования "Геометрии" он пишет отцу Мерсенну:
"Что касается геометрии, не ждите от меня большего. Вы знаете, что я уже давно прекратил заниматься ею". И действительно, "Геометрия" — лишь приложение к гораздо более обширному проекту, "Размышлению о методе". "Алгоритм и символ, исследование наиболее общей формы арифметики и геометрии — таковы предпосылки, обеспечивающие движение Декарта вперед. <...> Он выбирает по собственному усмотрению основные линии, свои оси, устанавливает, опять таки по своему усмотрению, начало координат и соотносит с этими осями координат анализируемую фигуру по точкам. Однако оси — не что иное, как градуированные линии, которые могут представлять любое число, если вспомнить, что числа — всегда линии, независимо от операции. Сумма, разницы, степени, корни — все это длины и ни что другое. <...> Теперь, когда число и форма сведены к единому общему знаменателю — длине, их можно комбинировать по свойственным им законам. С помощью уравнений можно производить расчеты на основании арифметических и алгебраических методов, как если бы это были нормальные числовые выражения; с фигурами — по геометрическим правилам. Несмотря на разную трактовку, в любой момент должно быть четкое соответствие между кривой и уравнением. Так родился двойной алгоритм. Это детище Декарта, именуемое «аналитической геометрией», направляет математическую мысль вплоть до наших дней. Западная цивилизация, посредством применения двойного алгоритма в физике и механике, трансформировала облик Земли" (Э. Колерус). Из фазы ручного труда математика перешла в фазу промышленного развития.
|
