Декарт
"Геометрия греков может быть сравнима с изящной ручной работой, алгебра арабов — с автоматическим производством. Мы можем сказать, что современная математика началась три столетия назад, когда алгебраические механизмы стали применять в геометрии и изучение кривых, поверхностей, геометрических фигур стало переводиться в изучение определенных уравнении" (Л. ЛомбардоРадиче). Эта революционная идея обязана своим возникновением Декарту; и, "как все действительно великое, она обладает той простотой, которая граничит с очевидностью" (Э. Т. Белл). Центральная идея аналитической геометрии — Декарт излагает ее в небольшом трактате, озаглавленном "Геометрия" (1638 г.), — поистине носилась в воздухе. Ее применял в те же годы, и, возможно, раньше, другой гениальный француз, юрист Ili.cp Ферма, который в часы, свободные от судебной практики, развлекался математикой. Фундаментальную идею аналитической геометрии можно пояснить следующим образом. Проведем (как на рис. 1) две перпендикулярные оси, горизонтальную и вертикальную, берущие начало из одной точки О, кроме того, выберем единицу измерения расстояния. Рассмотрим часть поверхности, заключенную между этими двумя линиями (квадрат). Тогда: 1) в одной точке квадрата могут соединиться два определенных числа (координаты): абсцисса и ордината, которые соответственно измеряют расстояние Р от вертикальной и горизонтальной оси, т. е. длину сегментов OPi и 0?2; 2) паре чисел (1,2) соответствует одна и только одна точка Р квадрата, та, которая имеет абсциссу 1 и ординату 2, т. е. та единственная точка, которая имеет расстояние 1 от вертикальной оси и расстояние 2 от горизонтальной.
Предположим, точка смещается по поверхности. Ясно, что координаты (х, у) всех точек кривой, порожденной перемещающейся точкой, задаются уравнением, которое называется уравнением кривой. Теперь решим алгебраически наше уравнение и переведем результаты всех расчетов в эквивалентные формы координат точек, на диаграмму, которую мы на время этих расчетов добровольно отложили в сторону. Очевидно, что гораздо лучше и с большей быстротой можно ориентироваться в алгебре, нежели в сложной паутине элементарной геометрии греков. Процедура, выработанная Декартом, позволяет нам отталкиваться от уравнений какой угодно степени сложности и геометрически интерпретировать алгебраические и аналитические свойства. В сущности, мы пользуемся алгеброй, чтобы раскрыть и изучить геометрические теоремы. И, таким образом, "мы не только больше не пользуемся геометрией как руководством, но и повесили ей камень на шею, прежде чем сбросить в море. С этого момента алгебра и математика будут нашими вожатыми в морях без компаса «пространства» и его геометрии. Все то, что мы сделали, может получить пространственное выражение с любым числом измерений; для плоскости требуются две координаты; для обычного пространства твердых тел — три; для геометрии механики и относительности — четыре координаты. <...> Декарт не пересматривал геометрию, он ее создал" (Э. Т. Белл). Декарт был поражен мощью своего метода и вполне понял его новизну и важность; и "он был прав, когда гордился, что создал геометрию более высокого уровня, нежели та, что существовала до него, намного выше, чем риторика Цицерона по сравнению с алфавитом" (J. Hadamard).
|
