Интенция | Все о философии
Регистрация или вход Регистрация или вход Главная | Профиль | Рекомендовать | Обратная связь | В избранное | Сделать домашней
Меню
Основы
Онтология
Гносеология
Экзистенциология
Логика
Этика

История философии
Досократики
Классический период античной философии
Эллинистическая философия
Cредневековая философия
Философия эпохи возрождения
Философия Нового времени
Философия Просвещения
Классическая философия
Постклассическая философия

Философия общества
Проблемы устройства общества
Философская антропология

Философия религии
Буддизм
Ислам
Христианство

Опрос
Ваше отношение к Науке:

В целом положительное
Роль науки завышена
Категорически отрицательное


Результаты
Другие опросы

Всего голосов: 129
Комментарии: 0
Спонсоры

Основы философии

Поиск

[ Главная | Лучшие | Популярные | Список | Добавить ]

Логистика Готлоба Фреге (1848—1925)

В значительной степени независимо от направления Буля — Шредера идеи математической логики в последней четверти XIX в. формировались в силу внутренних потребностей самой математики (в первую очередь в виду необходимости аксиоматической трактовки ее основ). Пальма первенства здесь принадлежит немецкому ученому Готлобу Фреге, которому пришлось заняться выяснением самых глубоких и основных логических связей между наиболее элементарными понятиями и предложениями математики.
С именем Фреге обычно связывают возникновение нового этапа в развитии математической логики, который характеризуется аксиоматической трактовкой пропозиционального исчисления, закладкой основ теории математического доказательства, формулировкой начатков логической семантики.


1. Методологическая позиция

Алонзо Черч характеризует Фреге как "последовательного платоника" или "крайнего реалиста". Б.В. Бирюков находит у Фреге элементы материализма. Как направления в логике. В своей работе “Основания арифметики. Логико-математическое исследование понятия числа” иенский математик выступил с критикой взглядов одного из лидеров логического психологизма Д. С. Милля. Фреге выступает против грубо эмпирической трактовки предмета арифметики Миллем. Против миллевского утверждения о том, что общие законы арифметики суть индуктивные истины, Фреге выставляет тот тезис, что сама индукция нуждается для своего обоснования в некоторых общих предложениях арифметического характера. Согласно иенскому мыслителю, ошибка Милля состояла в том, что он рассматривал знак сложения как относящийся к процедуре физического присоединения. Сам Фреге склонен обосновывать индукцию на теоретико-вероятностных принципах.
Фреге критикует кантовский способ различения между аналитическим и синтетическим суждениями (в основном за его неконструктивный характер). Сам Фреге был близок к мысли о том, что аналитическим следует называть суждение, вытекающее из одних только определений и аксиом логики. Тогда суждение, не являющееся в этом смысле аналитическим, можно рассматривать как синтетическое.
Итак, Фреге в целом не согласен ни с субъективистским априоризмом И. Канта, ни с наивным эмпиризмом и психологизмом Д. Милля. Расхождения между Фреге и Миллем напоминают разницу в подходах к логике, которую можно выявить, сравнивая методологические позиции Милля и Дж. Буля. Однако, в противоположность Булю, почти на всем протяжении своего творчества считавшему, что логика является частью математики, Фреге задумал вывести всю содержательную математику из формальной логики. Определяемая этим замыслом его общая концепция о соотношении математики и логики получила в литературе наименование “логицизма” и представляла собой попытку, по существу, родственную “универсальной характеристике” Г. Лейбница. Свою логику Фреге приложил к обоснованию арифметики, которая предстала у него в виде некоторого формализованного языка. Чрезмерная усложненность формализованного языка Фреге длительное время отталкивала математиков от изучения его работ. Пожалуй, лишь Рассел первый дал себе труд основательно разобраться в логическом наследии иенского мыслителя.
У Фреге возникла иллюзия того, что ему вполне удалось как определить неопределяемые понятия арифметики, так и доказать не доказываемые арифметические аксиомы путем редукции их к понятиям и законам логики. Несостоятельность логицизма Фреге (несмотря на массу выявленных в его системе интересных логических связей) была продемонстрирована Бертраном Расселом, когда он в начале XX в. открыл парадоксы расширенного исчисления предикатов.


2. Двумерная идеография с одномерным эквивалентом


Фреге вводит свою логическую символику, которая носит двумерный характер. На языке этой символики он записывает теоремы, относящиеся как к логике предложений, так и к логике предикатов (следует заметить, что именно Фреге в 1879 г. впервые в логике символизирует кванторы общности и существования. Он устанавливает различие между формулировкой суждения и утверждением, что это суждение может быть принято в качестве доказанного. Так, символ “В” означает знак суждения, а символ “ В” означает: “утверждается, что имеет место В”, где “ ” есть знак утверждения. Отрицание суждения В Фреге передает записью: “ В”, что соответствует современному обозначению “ ” (словесно: не-В).
Логическое следование Фреге трактует в смысле материальной импликации и записывает в следующем виде:
(1)

Здесь А является антецедентом, В — консеквентом, так что приведенный символ Фреге родственен современному способу записи материальной импликации посредством А В. Согласно Фреге, аппарат условных суждений достаточен для формализации каузальных высказываний. С помощью функторов импликации и логического отрицания Фреге выражает остальные связки логики предложений. Конъюнкция (союз “и”) предстает у него в виде:
B

A

Легко видеть, что здесь символизируется выражение , являющееся эквивалентной формой записи конъюнкции А  В. Дизъюнкция записывается схемой:

B


A

Здесь графически представлена импликация , являющаяся другой формой записи дизъюнкции А / В. Несколько более сложна запись строгой (булевой) дизъюнкции, которая, как известно, равносильна конъюнкции двух таких импликаций: , и :


Утверждение о тождестве имен В и А некоторых объектов записывается у Фреге так: ? (В A), что означает: имя В и имя А имеют идентичное понятийное содержание.




3. Логистический метод и его приложение


Фреге построил первую аксиоматическую систему для исчисления суждений, базирующуюся лишь на импликации и отрицании в качество неопределяемых логических функторов.
Эта система имеет следующий вид (приводим ее, для простоты, на современном формализованном языке):
(1) А (B A),
(2) (С (A B)) ((C A) (C B)),
(3) (А (В С)) (В (А С)),
(4) (А В) ( ),
(5) .
(6) .
Первая аксиома выражает закон утверждения консеквента импликации, вторая — закон самодистрибутивности функтора “ ”, третья аксиома формулирует закон коммутации, четвертая есть принцип контрапозиции, а две последние аксиомы (пятая и шестая) в совокупности выражают теорему о равносильности утверждения двойному отрицанию. Из системы аксиом (1) — (6) Фреге формально выводит ряд теорем исчисления суждений, таких, например, как:
(7) .
(8) .
и подобных им. Правилами вывода у Фреге были правило подстановки равнозначного на место равнозначного и модус поненс. Аксиоматическая трактовка Фреге логики суждений, однако, довольно долго после опубликования натыкалась на барьер непонимания, а конкретные связи пропозиционального исчисления развивались в русле первоначального подхода к нему в школе Буля.
Эта система аксиом удовлетворяет критерию непротиворечивости. Однако, как показал Я. Лукасевич, она не является независимой, так как аксиома (3) логически следует из конъюнкции первых двух аксиом. В связи с этим Лукасевич предлагает свой вариант аксиоматики для исчисления высказываний (с импликацией и отрицанием), который является упрощением аксиоматики (1) — (6). Аксиоматика Лукасевича состоит из следующих трех аксиом:
(1) (А В) ((B C) (A C)).
(2) .
(3) .
Аксиоматика Фреге послужила образцом для последующих способов аксиоматической трактовки исчисления высказываний. Так, Ф. Брентано кладет в основу последней конъюнкцию и отрицание, Б. Рассел — отрицание и дизъюнкцию.
Вводя в употребление кванторы и понятие, родственное понятию графика функции, Фреге осуществляет переход от чистого исчисления суждений к логике предикатов. На основе этого базиса он рассчитывает формализовать всю содержательную арифметику. Начинать ему, понятно, приходится с попытки логического определения количественного числа. Естественно, он старается так определить понятие числа, чтобы это определение было независимо от каких-либо иных понятий, помимо связанных с истолкованием его исчисления как логистической системы. В основе определения числа у Фреге лежит использование им понятия взаимно однозначного соответствия. В § 72 его “Оснований арифметики” мы читаем: “(1) Выражение “понятие F равночисленно с понятием G” означает то же самое, что и “существует отношение f , которое устанавливает взаимно-однозначное соответствие между объектами, подпадающими под понятие F, с одной стороны, и объектами, подпадающими под понятие G, с другой стороны”. (2) Число, которое принадлежит к понятию F, является объемом понятия “равночисленно с понятием F”.(3) “N есть число” означает то же самое, что и “существует понятие такое, что N есть присущее этому понятию число””.
Следует заметить, что в этом определении выражение “равночисленность” по смыслу совпадает с понятием “равномощность множеств” у основоположника теории множеств Георга Кантора.
Итак, “натуральное число” рассматривается Фреге как “свойство понятия”, а не как свойство предмета. Другими словами, число есть некоторый предикат от предиката. Иенский математик специально подчеркивал, что понятие взаимно однозначного (по другой терминологии, “одно-однозначного”) соответствия отнюдь не подразумевает использование понятия “единица”, и, таким образом, оно не содержит порочного круга. Попутно Фреге устанавливает строгое различие между предметом и классом, сводящимся к одному этому предмету. Мы находим у Фреге определение кардинального числа множества А как множества всех множеств, равномощных этому А. Но, однако, именно с этим принципиальным определением была связана “ахиллесова пята” формализма Фреге: дело в том, что множество множеств, равномощных множеству А, оказалось обладающим парадоксальными свойствами. Это последнее обстоятельство и было установлено в 1905 г. Бертраном Расселом, выявившим противоречивость понятия о множестве всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Логические парадоксы в системе Фреге выступили как камень преткновения для его попыток обоснования математики.


4. Начатки логической семантики


Предметом особых забот у Фреге было выяснение вопроса о приложимости так называемого тезиса объемности к высказываниям, включающим собственные имена. В этой связи он различает “прямое” и “косвенное” употребление имен. От косвенного употребления имен следует, впрочем, отличать “упоминание” выражений, что видно из следующего текста Фреге: “При прямом употреблении имен предмет называния (Nominatum) представляет собой значение имени. Однако возможна ситуация, при которой намереваются говорить о самих именах или об их смысле. Например, это случается, когда цитируют слова другого лица... При этом собственные имена обозначают, прежде всего, слова другого человека так, что лишь эти последние употребляются прямо. Здесь мы имеем дело со знаками знаков. Поэтому в письменной речи соответствующие обозначения имен заключают в кавычки. Вследствие этого графическое начертание имени, стоящего в кавычках, недопустимо рассматривать с точки зрения его прямого употребления”. Проиллюстрируем разницу между “прямым” и “косвенным” употреблением выражений. Например, в высказывании (1) “Тегусигальпа — столица Гондураса” и подлежащее (“Тегусигальпа”), и сказуемое (“столица Гондураса”) употребляются прямо, в то время как в высказывании: (2) “Ученик Шмидт интересовался: “Является ли Тегусигальпа столицей Гондураса?”” те же имена (“Тегусильгальпа” и “столица Гондураса”) употребляются косвенно. Поскольку “Тегусигальпа” на самом деле есть имя столицы Гондураса, мы можем считать их взаимозаменимыми (то есть применить к ним тезис объемности (для понятий): ведь они имеют один номинат). Высказывание (1) при такой замене переходит в тавтологию: (1)* “Тегусигальпа есть Тегусигальпа”. В то время как фраза (1) содержит географическую информацию, полученная из (1) по тезису объемности фраза (1)*, по-видимому, не содержит никакой полезной информации. Однако, как (1), так и (1)*— истинные фразы. Посмотрим, что произойдет, если аналогичная замена равнообъемного на равнообъемное будет произведена в высказывании (2). В результате получаем фразу: (2) “Ученик Шмидт интересовался: “Является ли Тегусигальпа Тегусигальпой?”” Эту фразу (2*) естественно рассматривать как ложную. Причину того обстоятельства, что здесь тезис объемности терпит фиаско, надо усматривать в специфике косвенного употребления собственных имен. Эта специфика состоит в том, что номинатом при косвенном употреблении имени становится смысл того же имени при прямом употреблении.
Трудности, связанные с отношением именования, до сих пор являются объектом оживленной дискуссии в современной логической семантике, а семантические идеи Фреге все еще достаточно актуальны.
Разместил: czaar Дата: 13.05.2009 Прочитано: 2934
Распечатать

Дополнительно по данной категории

13.05.2009 - Филон
13.05.2009 - Стоики - творцы античной формы пропозиционального исчисления
13.05.2009 - Август Де Морган — основоположник логической теории отношений
13.05.2009 - Исчисление классов Джорджа Буля
13.05.2009 - Эрнст Шредер

Нет комментариев. Почему бы Вам не оставить свой?

Вы не можете отправить комментарий анонимно, пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь.

философский камень
Полезное
Главная | Основы философии | Философы | Философская проблематика | История философии | Актуальные вопросы