Методологические идеи Джорджа Буля
Вопрос о методологических воззрениях Дж. Буля достаточно сложен. В большинстве случаев о них судят, основываясь лишь на его ранних высказываниях. Анализируя их, обычно приходят к выводу о том, что Буля можно рассматривать как предшественника формализма гильбертовского типа, с элементами психологизма в духе Д. С. Милля. Так, немецкий исследователь его творчества Г. Шольц, в частности, замечает: “Буль предвосхищает гильбертову идею математической теории и связанное с ней понятие о математике как о чисто структурном исследовании с такой степенью точности, которая вряд ли могла быть превзойдена самим Гильбертом”. В подтверждение своей точки зрения Шольц ссылается, в частности, на следующее, принадлежащее Булю высказывание: “Тот, кто знаком с современным состоянием символической алгебры, знает, что правильность процесса анализа не зависит от интерпретации употребляемых в нем символов, но исключительно от законов их комбинирования. Каждая система интерпретации, которая не нарушает истинности предположенных отношений, равнодопустима, и благодаря этому один и тот же прием может, применительно к схеме интерпретации, представлять собой решение вопроса относительно свойств некоторых чисел, рассматриваемых одно относительно другого, если речь идет, например, о математической задаче, или же в отношении к определенному третьему объекту, если имеют в виду, например, динамические или оптические задачи”.
Полезно также обратить внимание на то, как Буль определяет замысел своих “Законов мысли”: “Цель настоящего исследования состоит в том, чтобы изучить основные законы тех операций ума, посредством которых осуществляются рассуждения; — в том, чтобы дать выражение этих законов в символическом языке логического исчисления, и на этом основании утвердить логику как науку и ее методы, — в том, чтобы сделать эти методы базисом еще более общего метода в целях приложения его к математической теории вероятностей; и, наконец, в том, чтобы, объединив различные элементы истины, проложить путь к выдвижению некоторых вероятностных указаний, касающихся природы и структуры человеческого мышления”.
Итак, превращение логики в точную науку мыслится Булем с помощью трактовки ее предмета средствами математического аппарата. Уже в своей работе “Математический анализ логики” (1847) Буль писал: “Руководствуясь принципом правильной классификации, необходимо теперь связать логику не с философией, а с математикой”.
По Булю, общие взгляды на логику должны проливать свет и на выяснение природы интеллектуальных способностей. Отсюда можно лишь заключить, что Буль не игнорировал практический аспект логических исследований. Особое значение в этом отношении приобретает, с его точки зрения, раскрытие природы умозаключения. Изложение логики в форме исчисления отнюдь нс является, по Булю, произвольным актом, а продиктовано тождеством формальных особенностей логических преобразований и математических операций. С другой стороны, неправильно мнение о том, что предмет “математики ограничивается лишь понятиями числа и количества”. Несколькими строками ниже Буль категорически заявляет: “Занятие идеями числа и количества не составляет сущности математики”.
3. Основные черты логической системы Буля
Сначала мы изложим исчисление Буля в том виде, в каком оно сформулировано им самим. Многое покажется при этом современному читателю довольно странным и искусственным. Прежде всего, удивительна та легкость, с которой Буль переносит на логику законы арифметики и правила арифметических действий. Эта легкость приводила в недоумение уже современников Буля, которых особенно удивляло при этом то обстоятельство, что Буль всегда получал правильные результаты. Для того, чтобы понять ход мысли Буля, нам представляется необходимым изложить его исчисление по возможности ближе к оригиналу.
Основными операциями в логике Буля являются:
1. Сложение, обозначавшееся у него знаком “+”, в исчислении классов булевой формуле х + у соответствует объединение классов x и y с исключением их общей части, в исчислении высказываний - так называемая строгая дизъюнкция. Через объединение (соответственно, дизъюнкцию) “v”, пересечение (соответственно, конъюнкцию) “•” и дополнение (соответственно, отрицание) “—”, булево сложение может быть выражено следующим образом:
х + у = ху v x ,
где выражение заменяет отрицание y, о чем см. дальше.
2. Умножение, обозначавшееся знаком “•” или просто записью одного выражения рядом с другим (без знаков между ними); в исчислении классов этой операции соответствует пересечение, в исчислении высказываний — конъюнкция.
Неразделительное “или” может быть выражено через булево сложение с помощью следующих двух формул: х v у = x + y + xy и х v у = х + ху.
3. Дополнение х до единицы, обозначавшееся записью “1 - x”; в исчислении классов формула 1 - х означает дополнение к классу х, в исчислении высказываний — отрицание .
Буль рассматривает также вычитание, понимая его как операцию, обратную по отношению к операции сложения. Определение вычитания таково: х - у = х (1 - у).
Основным отношением, употребляемым в логической системе Буля, является отношение равенства. Через посредство этого отношения определяются в ней другие отношения и, в первую очередь, с его помощью определяется отношение включения для классов. Буль пользуется несколькими определениями отношения включения. Одно из них гласит: (х  y)  (х (1 - y) = 0), где 0 есть символ нулевого (пустого) класса.
Буль выясняет свойства введенных им операций, устанавливая коммутативный закон умножения: ху = ух, ассоциативный закон умножения: х(уz) = (ху)z, а также аналогичные законы для операции логического сложения. Он также формулирует дистрибутивный закон умножения относительно сложения: z(х + у) = zх + zу, дистрибутивный закон умножения относительно вычитания: z(х - у) = zх - zу. Основными свойствами равенства Буль считает следующие его свойства: (т) если х = у, то zх = zу и (п) если х = у, то z + х = z + y.
Перейдем теперь к описанию булевых способов решения логических уравнений. Эти методы, по Булю, соответствуют обобщенному представлению классических логических процедур. “Наиболее общая проблема логики, — замечает он, — может быть сформулирована так: задано логическое уравнение, содержащее символы x, y, z, w. Требуется найти логически интерпретируемое выражение для выяснения отношения класса, обозначенного через w, к классам, обозначенным через x, y, z и т. д.”. В другом месте Буль формулирует ту же проблему еще более кратко так: “Задано (логическое) уравнение; найти выражение одного термина и функции остальных”.
Приведем пример того, как Буль решает логические задачи, согласно предписаниям своего метода. Например, им сформулирована такая задача: условие — ответственные существа суть такие разумные существа, которые либо обладают свободой, либо добровольно от нее отказались. Что можно сказать о разумных существах в терминах существ ответственных, обладающих свободой или добровольно от нее отказавшихся? Обозначим через х ответственные существа, у — разумные существа, z — обладающие свободой и w — добровольно от нее отказавшиеся. Условие задачи тогда можно записать уравнением: х = у(z + w). Требуется определить y в терминах х, z, w, т. е. решить исходное уравнение относительно y. Проведенные Булем преобразования требуют для понимания серьезной математической подготовки, так как они используют так называемый ряд Маклорена и потому довольно сложны; мы не будем приводить их здесь. Их итоговым результатом является выражение, y = xz + xw + , которое получено из исходного уравнения.
Ответ задачи, таким образом, гласит: разумные существа суть либо ответственные существа, обладающие свободой и не пожертвовавшие ею, либо же такие ответственные существа, которые не обладают свободой и добровольно ею пожертвовали, либо, наконец, некоторые такие неответственные существа, которые не обладают свободой и добровольно от нее не отказались.
Из других методов можно упомянуть метод элиминации (исключения), при котором исходное уравнение путем преобразований освобождается от какой-то переменной и затем итоговое выражение получает интерпретацию. Рассмотрев технические аспекты процесса элиминации, Буль считает возможным квалифицировать этот процесс как силлогистический по своей формальной природе. Однако, по его мнению, дедукция не может быть во всех случаях сведена к элиминационным процессам.
Логические достижения Буля не были в достаточно ясной степени поняты его современниками, в частности, потому, что булево определение сложения наталкивало на построение логического исчисления, подобного арифметическому. Впервые такое построение было осуществлено советским математиком И.И. Жегалкипым, который в достаточно ясной форме показал существование связи между булевой алгеброй и кольцами характеристики два.
Принципы, положенные в основу логических исчислений выдающегося ирландского математика, позволили позднее выделить целый класс подобных алгебро-логических систем. В отдельную науку это направление исследований оформилось уже в начале XX в. В настоящее время под булевыми алгебрами имеют в виду такие непустые множества, для которых определены операции: объединения, пересечения и дополнения.
Самым важным применением теории булевых алгебр считается ее использование в математических доказательствах. Булев метод позволяет проще и легче доказывать многие фундаментальные теоремы исчисления предикатов. Булевы алгебры находят также широкое применение во многих неклассических системах логики.
|
