Интенция | Все о философии
Регистрация или вход Регистрация или вход Главная | Профиль | Рекомендовать | Обратная связь | В избранное | Сделать домашней
Меню
Основы
Онтология
Гносеология
Экзистенциология
Логика
Этика

История философии
Досократики
Классический период античной философии
Эллинистическая философия
Cредневековая философия
Философия эпохи возрождения
Философия Нового времени
Философия Просвещения
Классическая философия
Постклассическая философия

Философия общества
Проблемы устройства общества
Философская антропология

Философия религии
Буддизм
Ислам
Христианство

Опрос
Хорошо сформулированный вопрос - половина ответа?

Да, это кратчайший путь к ответу
Это повод задуматься
Это повод не думать
Это выраженное намерение


Результаты
Другие опросы

Всего голосов: 602
Комментарии: 1

Формальная логика

Поиск

[ Главная | Лучшие | Популярные | Список | Добавить ]

Природа логики
Нормативный характер логики
Основания формальной логики
Ограниченность формальной логики
Логические ошибки и парадоксы

Природа логики

1. О двух способах приобретения знания


Как мы приобретаем знания о мире, в котором живем? Для этого есть 2 способа:

– получение принципиально новых знаний – непосредственное наблюдение (интуиция)

– и вторичное получение знаний из уже имеющихся путем рассуждений над известным.

Деление истин на непосредственные (интуитивные) и опосредствованные встречается у Платона и Аристотеля.

2. Интуитивное познание


Первый – интуитивный – способ познания практически никогда не используется «в чистом виде»: чтобы стать знанием, результат наблюдения должен быть как-то соотнесен со «старыми» знаниями, должен войти в их систему. Даже у ребенка, не успевшего еще накопить «своих собственных» знаний, наблюдения вкладываются в систему «врожденных знаний», добытых в ходе эволюции и передающихся от поколения к поколению генетическим путем. Представление о первоначальном состоянии человеческой души как «чистой доске» – tabula rasa – опровергнуто современной биологией. Да и при выборе объектов наблюдения мы, как правило, исходим из каких-то гипотез, строящихся на основе того, что мы уже знаем.

Тем не менее можно говорить об интуиции как непосредственном наблюдении. Иногда при этом человек не может отдать себе отчета, как у него возникло новое знание («догадался»). Та человеческая способность, благодаря которой мы в состоянии догадываться, называется интуицией. (Этот термин, происходящий от лат. intueor – «внимательно смотрю», отражает типичную картину «догадки»: человек пристально всматривается во что-то – возможно, «умственным взором», – и вдруг его «осеняет»).

Недостаток механизма интуиции связан с тем, что он недоступен прямому наблюдению, он происходит втёмную.

[pagebreak]

3. Познание посредством рассуждения


Зато второй способ – получение новых (опосредованных) знаний из других, уже имеющихся, без обращения к непосредственному наблюдению действительности – применяется «в чистом виде» очень часто. Это есть дискурсивный (лат. discursus – рассуждение) метод познания (или метод рассуждений), а наука пользования дискурсивным методом есть логика.

Тут мы сознательно «выводим» из имеющихся у нас знаний новые. Например, если мы знаем про кого-то, что близкие друзья называют его Колей, а отца его зовут Иваном Петровичем, мы делаем отсюда вывод, что по имени и отчеству его следует называть Николаем Ивановичем.

4. Рассуждение как метод проверки


При интуитивной догадке мы никогда не застрахованы от ошибок. Поэтому всякое вновь полученное знание желательно проверить. Для подтверждения догадки часто прибегают к рассуждениям. Решая, напр., математическую задачу, мы, как правило, сначала догадываемся, как получить ее решение (или даже угадываем окончательный результат), а потом проводим строгое рассуждение, и только тогда задача считается решенной.

Причина, по которой рассуждению обычно доверяют больше, чем интуитивной догадке, очевидна: в отличие от интуиции рассуждение происходит «на свету» и выражается словами; поэтому мы можем составить себе определенное представление о том, как должно быть построено правильное рассуждение, и это позволит нам отличать правильные рассуждения от неправильных. Преимущество рассуждения перед догадкой состоит, т. обр., в его лучшей проверяемости.

Эмпирические факты – всегда неполны, всегда есть вероятность хотя бы одного факта (в миллионном или миллиардном опыте), который отменит все предыдущие положительные наблюдения. Логика же оперирует не эмпирическими, не индуктивными понятиями, а совсем другими – идеальными и априорными, а не апостериорными (не выводимыми из опыта, а существующими в самом разуме). Эта сверх-опытная точность всегда присутствует именно в логике и является ее синонимом.

Поэтому логика – важнейший фундамент науки, в т. ч. и философии.

5. Ценность логики


Отношение к логике бывало различным: она очень высоко ценилась в древности. Великое значение логики послужило к некоторому искушению логицизмом (свести всё к логике).

Но уже в XIV веке Роджер Бэкон заявляет, что ценность логики невысока, поскольку она не дает настоящего прироста знания, а лишь различным образом его комбинирует.

Ценность логики значительно упала в XX веке в связи с развитием математической логики. Оказалось, что сфера охвата знания логикой невелика: даже наиболее фундаментальные разделы математики (напр., арифметика) несводимы к логике (теорема Гёделя).
Подробнее Разместил: rat Дата: 20.03.2009 Прочитано: 6394 Комментарии
Распечатать

Нормативный характер логики

1. Законы


Слово «закон» (греч. nomoV, лат. lex) имеет 2 значения: оно означает либо некоторую писаную или неписаную норму, регулирующую поведение людей, либо некоторый “закон природы” – иначе “естественный закон”, – т. е. утверждение о каких-то общих свойствах «вещей» или явлений природы. Общим для законов в том и другом смысле является то, что те и другие что-то запрещают. Напр., закон всемирного тяготения запрещает яблокам, падающим с яблони, лететь вверх и в стороны. Закон сохранения энергии запрещает вечный двигатель.

Но в то время как “естественные” законы в принципе не могут быть нарушены, – нарушение законов, регулирующих поведение, возможно, но влечет за собой наказание.

2. Логические законы


Логика говорит о том, каким мышление должно быть, она предписывает законы мышлению, а не исследует его; поэтому логика – наука нормативная, а не эмпирическая. Не истина выводится из фактов, а все факты и вообще весь мир существуют только в истине и в силу логической истины, ее законов.

Исследуя строение рассуждений, логика выявила некоторые простые законы, которым подчиняется всякое правильное рассуждение. К какому из этих 2-х типов относятся законы правильности рассуждения? Несомненно, к первому: ведь рассуждение есть один из видов человеческого поведения. Нарушения этих законов происходят довольно часто; что же касается наказания за нарушение, то оно состоит в ошибочности рассуждения. – Ошибочность рассуждения не следует смешивать с ошибочностью доказываемого утверждения. Случайно может оказаться, что рассуждение неверно, а доказываемое утверждение верно; но тогда справедливость этого утверждения нуждается в другом обосновании.

[pagebreak]

В широком смысле Логика – это наука о формах мышления и познания.

Поскольку рассуждение есть один из видов умственной деятельности человека, логика относится к гуманитарным наукам. Она имеет некоторые точки соприкосновения с психологией – наукой, изучающей психическую деятельность человека, в том числе и умственную. Однако логика не является частью психологии, т. к. ее подход к изучению рассуждений коренным образом отличается от психологического: психолог, изучая рассуждение, стремится понять внутренние психические механизмы, благодаря которым оно происходит, в то время как логик интересуется строением уже готового рассуждения, его формой. (Стоит заметить, что слово рассуждение имеет два разных смысла: оно может означать как процесс рассуждения, так и результат этого процесса. (Тем же свойством обладает ряд других русских слов – например, решение, работа, постройка. Можно сказать, что рассуждение в первом смысле есть предмет изучения психологии, во втором – логики.)

3. Источник логической истины


Почему так получилось, что в мире существует логическая истина, которая так сильна – это действительно вопрос. Большинство великих философов (Платон, блж. Августин, Декарт) приходили, в конце концов, к признанию бытия Бога как единственного гаранта существования этой истины, будь то идея блага у Платона, или Бог-Троица у Августина, или некий деистически понимаемый Бог, получаемый в результате онтологического доказательства у Декарта.

Немецкий философ Гуссерль говорит, что источником логики является наличие человеческого Я (сознания) и его феноменов. ––––– ( … чистое Я – единое целое, и у него есть различные аспекты. Ноэсис, ноэма, интенциональность – это различные аспекты единого чистого я, чистого ego. Найдя такие основания в чистом Я, Гуссерль утверждает, что он взошел к сущности, к эйдосу предмета. Т. е. предмет конституируется сознанием, и поэтому он априорен, и знание истинно [действительно конституируется (гносеологически) предмет, но не его бытие!]. Именно это существование чистого Я и феноменов в чистом Я, в его сложной структурированности, позволяет обеспечить существование такой науки как логика.)
Подробнее Разместил: rat Дата: 20.03.2009 Прочитано: 7798 Комментарии
Распечатать

Основания формальной логики

1. О формальной логике


1. Формальный подход к умозаключениям

Некоторые представления о том, как можно рассуждать и как нельзя, имеются у каждого; все мы, начиная с какого-то возраста, что-то знаем о строении правильных рассуждений – точно так же, как все мы что-то знаем об устройстве окружающих нас «вещей». Однако человечество не удовольствовалось теми знаниями о «вещах», которые есть у каждого: оно создало естественные науки – физику, химию и другие, – позволившие узнать об этих «вещах» несравненно больше и изучить их несравненно глубже.

Подобно этому и строение рассуждений стало предметом особой науки, которая называется философской (формальной) логикой. Долгое время вся логика отождествлялась с логикой формальной, это были синонимы. Формальная логика – это наука, изучающая формы мысли – понятия, суждения, умозаключения, доказательства – со стороны их логической структуры, т. е. отвлекаясь от конкретного содержания мыслей и вычленяя лишь общий способ связи частей этого содержания. Осн. задача Ф. л.– сформулировать законы и принципы, соблюдение к-рых является необходимым условием достижения истинных заключений в процессе получения выводного знания.

Начало формальной логики было положено трудами Аристотеля, разработавшего силлогистику. Дальнейший вклад в развитие Ф. л. внесли ранние стоики, в Средние века – схоласты (Петр Испанский, Дунс Скот, Оккам, Луллий и др.); в Новое время – прежде всего, Лейбниц.

2. Аристотель (384–322 до н. э.) – основоположник формальной логики

Здесь логика излагается в том виде, который она приобрела в результате развития по западному пути. Этот путь берет начало от Аристотеля (AristotelhV, 384–322 до н. э.) который не только заложил основы логики, но и разработал ряд ее разделов настолько глубоко и с такой полнотой, что потом она в течение 2 тыс. лет практически не выходила в своем развитии за рамки очерченного Аристотелем круга идей и понятий. (Одним из немногих исключений были труды философов стоической школы, в особенности Хрисиппа (CrusippoV, 280–207 до н.э.). Их лог. идеи во многом сходны с теми, кот. много веков спустя легли в основу логики предложений. Однако эти идеи стоиков не были поняты в то время (и вызывали недоумение историков логики еще в сер. XIX в.). Кстати, самый термин «логика» (по-древнегр. logikh, от logoV – слово, речь, суждение, разумение) введен стоиками. (Слово logikh представляет собой субстантивированное прилагательное; подразумевается существительное tecnh – «искусство».).

2. Понятие


1. Что такое понятие?

Наряду с изучением рассуждений к логике по давней традиции относят изучение понятий. Эта традиция вполне оправдана, поскольку именно понятия представляют собой тот материал, которым мы оперируем во всякой мыслительной деятельности, в том числе в рассуждениях.

Понятие – это мысль, выделяющая некоторый класс «предметов» по некоторым признакам. Напр.: понятие «прозрачный» выделяет класс предметов, не препятствующих видеть то, что находится за ними; понятие «часы» выделяет класс предметов, представляющих собой приборы для измерения времени; понятие «студент» выделяет класс людей, обучающихся в высших учебных заведениях; понятие «треугольник» выделяет класс геометрических фигур, состоящих из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки; понятие «кентавр» выделяет класс мифических существ с конским туловищем и человеческой головой; понятие «бежать» выделяет класс способов передвижения человека и животных с резким отталкиванием от земли или быстрым перебиранием лапами; понятие «удивление» выделяет класс чувств, вызываемых чем-либо странным или неожиданным.

Из приведенных примеров видно, что слово «предметы» мы не случайно взяли в кавычки. Это были у нас то настоящие материальные предметы, то сказочные существа, то геометрические фигуры, являющиеся идеальными образами реальных предметов, то чувства, то способы передвижения. В общем случае «предмет» может означать здесь, в сущности, все, о чем только мы можем помыслить.(Калька от лат. objectum).

Не менее условно здесь и употребление слова «класс». Обычно этим словом обозначают совокупность, элементы которой четко отделены друг от друга. Но, напр., в случае «удивления» такой совокупности нет: чувства, подпадающие под это понятие, образуют непрерывный спектр, который вряд ли можно естественным образом разделить на отдельные элементы. (Если же мы попытаемся выйти из затруднения, заявив, что удивление есть некое единое чувство, так что класс, выделяемый соответствующим понятием, состоит из одного «предмета», то это не спасет положения: ведь тот, кто не владеет этим понятием, не может представить себе удивление как нечто единое.) Примерно так же обстоит дело с понятием «бежать». А с понятием «кентавр» возникает затруднение иного рода, еще более серьезное: здесь «предметам», которые должны были бы войти в «класс», в реальности вообще ничто не отвечает. И даже с понятием «студент» не все так просто, как может показаться. Ведь оно, несомненно, относится не только к нынешним студентам, но также и к прежним и к будущим. Следует ли отсюда, что в «класс студентов» входит не только первокурсник Ваня Иванов, но и его отец, окончивший университет двадцать лет назад? А как быть с его младшим братом, который, может быть, станет со временем студентом, а может быть, не станет? И с вымышленными студентами – персонажами литературных произведений, – например, тургеневским Беляевым или чеховским Петей Трофимовым? Ответить на эти вопросы совсем не просто.

Естественнее всего, видимо, считать, что класс, выделяемый понятием, состоит не из предметов как таковых, а из представлений о них – имея в виду, что каждый элемент этого класса есть представление об одном предмете, рассматриваемом «в целом» (а не о каких-то его отдельных сторонах или свойствах). Тогда в числе элементов класса, отвечающего понятию «студент», будут и представление о Ване Иванове, и представление о его отце в молодости, и представление о его младшем брате в будущем, если он станет студентом, и представления о Беляеве и Трофимове. Элементами класса, отвечающего понятию «кентавр», будут, напр., представления о коварном Нессе и мудром Хироне. Впрочем, всех трудностей такое уточнение не устранит (останется, напр., отмеченная выше трудность, связанная с понятиями «удивление» и «бежать»).

[pagebreak]

Т. обр., приведенное выше «определение» понятия содержит слова, смысл которых довольно расплывчат и с трудом поддается уточнению. (Это относится, конечно, и к слову «признак», и к слову «представление».) Отсюда следует, что на самом деле это не определение, а всего лишь приблизительное разъяснение смысла термина «понятие».

2. Содержание и объем понятия

Совокупность признаков, по которым выделяется понятие, называется его содержанием (интенсионалом), а тот класс «предметов», который оно выделяет (или, точнее, выделяемая им совокупность представлений о “предметах”) – его объемом (экстенсионалом).

Напр., содержание понятия «часы» состоит из признаков «быть прибором» и «служить для измерения времени», содержание понятия «студент» – из признаков «быть человеком» и «обучаться в высшем учебном заведении», содержание понятия «кентавр» – из признаков «быть мифическим существом», «иметь конское туловище» и «иметь человеческую голову».

Соответственно, объем понятия «часы» состоит из представлений о всевозможных часах – старинных, современных и таких, которые мы только воображаем, объем понятия «студент» – из представлений о нынешних, прежних, будущих и вымышленных студентах, объем понятия «кентавр» – из представлений о нескольких кентаврах, которым мифология дала имена и индивидуальные характеры, и неиндивидуализированных представлений о «кентаврах вообще».

3. Равнозначные понятия

2 понятия, различающиеся по содержанию, могут иметь один и тот же объем. Напр., «равнобедренный треугольник» и «треугольник, имеющий 2 равных угла» – разные понятия, хотя их объемы совпадают: они выделяют один и тот же класс, но по разным признакам. (Противоположный случай – чтобы 2 понятия имели одно и то же содержание, но разные объемы, – очевидно, невозможен.) Понятия, объемы которых совпадают, называются равнообъемными или равнозначными. Таковы, напр., понятия «число, делящееся на 6» и «число, делящееся на 2 и на 3», «нынешняя столица России» и «город, в котором родился А. С. Пушкин».

4. Обобщение (генерализация)

Если из содержания понятия устранить один или несколько признаков или заменить их более слабыми, получается новое понятие, о котором принято говорить, что оно является более общим понятием.

Напр., устраняя из содержания понятия «кентавр» признаки «иметь человеческую голову» и «иметь конское туловище», мы получаем более общее понятие «мифическое существо». Заменяя в содержании понятия «часы» признак «служить для измерения времени» более слабым признаком «служить для измерения чего-либо», получаем более общее понятие «измерительный прибор». Заменяя в содержании понятия «студент» признак «обучаться в высшем учебном заведении» более слабым признаком «обучаться в каком-либо учебном заведении», получаем более общее понятие «учащийся». Точно так же понятия «многоугольник» и «геометрическая фигура» являются обобщениями понятия «треугольник» (а также понятий «четырехугольник», «пятиугольник» и т.д.); понятия «хищное животное», «млекопитающее», «позвоночное», «животное» являются обобщениями понятия «волк».

Мыслительная операция, с помощью которой из понятия образуется его обобщение, т.е. устранение из содержания понятия одного или нескольких признаков или замена их более слабыми, также называется обобщением.(генерализацией). Мы можем сказать, напр., что понятие «многоугольник» можно получить, обобщая понятие «треугольник».

5. Ограничение

Мыслительная операция, обратная обобщению, т. е. добавление к содержанию понятия одного или нескольких признаков или замена одного или нескольких признаков более сильными, называется ограничением понятия; так же называется и ее результат. Напр., понятие «кентавр» является ограничением понятия «мифическое существо», понятие «часы» – ограничением понятия «измерительный прибор», понятие «треугольник» – ограничением понятий «многоугольник» и «геометрическая фигура», понятие «квадрат» – ограничением понятий «прямоугольник» и «ромб» (а также «четырехугольник», «многоугольник», «геометрическая фигура»).

При обобщении понятия его объем расширяется, а при ограничении сужается. Напр., в объем понятия «мифическое существо» наряду с кентаврами входят сирены, гарпии, Кербер и т. п.; в объем понятия «многоугольник» наряду с треугольниками входят четырехугольники, пятиугольники и т.д.

Более общее понятие часто называют родовым по отношению к менее общему, а менее общее – видовым по отношению к более общему.
6. Определение понятия

Мыслительная операция над понятием, состоящая в том, что оно выражается через какие-либо другие понятия, называется определением, или дефиницией. (Оба эти термина произведены – первое калькированием, второе прямым заимствованием – от латинского слова definitio, происходящего от finis – граница, предел. Слово «дефиниция» употребляется преимущественно в философской литературе, а также в некоторых специальных случаях (так называют, например, первое предложение статьи в энциклопедическом словаре); в остальных случаях предпочтительнее пользоваться словом «определение».) Так же называют и предложение, с помощью которого одно понятие выражается через другие («Прозаик – это писатель, пишущий прозой», «Несостоятельный должник – это человек, не имеющий средств для уплаты своих долгов», «Равнобедренным треугольником называется треугольник, имеющий две равных стороны», и т.п.).

Чаще всего определение понятия состоит в том, что указываются некоторое более общее – родовое – понятие («писатель», «треугольник», «человек», «прибор») и дополнительные признаки, которые нужно добавить к его содержанию («пишущий прозой», «имеющий две равных стороны», «обучающийся в высшем учебном заведении», «служащий для измерения времени»). Если при этом родовое понятие является ближайшим для определяемого (т. е. между ними нет никакого достаточно естественного промежуточного понятия), то говорят об определении через ближайший род и видовое отличие (definitio per genus proximum et differentiam specificam). Таковы, напр., приведенные выше определения понятий «прозаик» и «равнобедренный треугольник» (в то время как определения понятий «студент» и «часы» не таковы: для «студента» ближайшее родовое понятие – не «человек», а «учащийся», для «часов» – не «прибор», а «измерительный прибор»). Определение понятия через ближайший род и видовое отличие не обязано быть единственным. Напр., квадрат можно определить либо как прямоугольник, у кот. все стороны равны, либо как ромб, у кот. все углы прямые.

Для «обиходных» понятий – тех, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни, – дать определение нередко оказывается очень трудно, и далеко не всегда его удается сформулировать сколько-нибудь точно. Это хорошо известно составителям толковых и энциклопедических словарей. – Гораздо более важную роль играют определения научных понятий. Научное мышление имеет дело с такими предметами, явлениями и закономерностями, кот. обнаруживаются только путем систематической, упорядоченной и целенаправленной работы мысли. При этом результаты научного мышления должны быть проверяемыми и иметь объективный характер, т. е. не зависеть от личности того, кто их получил, от его верований, вкусов, склонностей, симпатий и антипатий. (3десь не идет речь, разумеется, о тех качествах человека, благодаря которым он оказался в состоянии получить научный результат: силе интеллекта, интуиции, знаниях, настойчивости и т.д.). Этого можно добиться лишь при условии, что для каждого используемого понятия имеется критерий, позволяющий достаточно надежно решать, входит ли тот или иной «предмет» в его объем (иначе станет невозможным соблюдение закона тождества). А такой критерий – поскольку «предметы» в этом случае, как правило, недоступны непосредственному созерцанию – может основываться только на раскрытии содержания понятия, т. е. на его определении.

7. Древо Порфирия (232–301)

Порфирий (ученик Плотина) учил, что любое тело, любая вещь существует, будучи причастна к 5-ти характеристикам, которые ее описывают. Это:

1) род,

2) вид,

3) видовое отличие,

4) устойчивый признак и

5) неустойчивый (или случайный) признак (акциденция).

В соответствии с этим Порфирий строит свою знаменитую классификацию, вошедшую в историю логики под названием «Древо Порфирия». Благодаря этому древу можно восходить к более общим сущностям – родам и, наоборот, нисходить к более частным.

[pagebreak]

Скажем, наиболее общая сущность – это субстанция, род. Можно разделить этот род на некоторые виды. Субстанция бывает или телесной, или бестелесной. Телесные существа в свою очередь бывают одушевленные и неодушевленные. Рассмотрим одушевленные существа: они бывают чувствующие и не чувствующие (скажем, животные и растения). Рассмотрим чувствующие существа: они бывают разумные и неразумные. Рассмотрим разумные существа: среди них есть люди, а среди людей уже есть индивиды. Т. обр., нисходя по древу Порфирия, можно увидеть увеличение количества видовых отличий. Некоторый индивид, напр., Сократ обладает сущностью, он имеет тело, он живое существо, одушевленное, разумное и т. д. Можно восходить дальше: скажем, отрицая наличие какой-то сущности у Сократа, вы восходите к некоему виду. Убирая некоторые индивидуальные отличия Сократа (напр., лысину на голове), мы приходим к пониманию человека вообще. Убирая случайные признаки и оставляя неслучайные, мы приходим к идее человека. Убирая разумное понимание, восходим к одушевленному и т.д. Каждый раз восхождение по древу Порфирия идет за счет того, что мы убираем некоторые характеристики – акциденции.

Понятно, что самая высшая божественная сущность может быть описана только на апофатическом языке – потому что мы отбросили все акциденции. Только отбросив все акциденции, мы приходим к пониманию Бога, – т. е. того, что никак нельзя определить. Само слово «определить» означает «положить предел».

Древо Порфирия было очень популярным в Средние века.

8. Неопределяемые понятия

Ни одна наука не может определить все свои понятия. Ведь определить понятие значит выразить его через какие-то другие понятия; если мы и эти понятия захотим определить, это будет значить, что нам придется выразить их через какие-то третьи, и т.д. Такой процесс не может продолжаться бесконечно, и какие-то понятия мы будем вынуждены оставить без определения. Поэтому первоначальные понятия всякой науки – неопределяемые. Нужно только стремиться к тому, чтобы таких [первичных] понятий было по возможности немного и они были достаточно простыми, так что их смысл можно было бы хорошо усвоить, опираясь на примеры и приблизительные разъяснения. – Вообще, определение понятия может быть полезно только тогда, когда те понятия, к которым оно при этом сводится, проще и яснее, чем оно само. В прот. случае попытка дать определение – бесплодное словоговорение и может запутать дело.

Уточнение содержания научного понятия может быть далеко не простой задачей. Бывает, что понятие, знакомое с детства каждому, кто учился в школе, при анализе его логического строения оказывается весьма сложным, и если удается его уточнить, это позволяет добиться большей четкости в постановке научных проблем и более успешно их решать. Иногда разные авторы обозначают одним термином разные, хотя и близкие, понятия, и это ведет к разногласиям и спорам, в которых говорить о правоте той или другой стороны не имеет смысла ввиду нарушения закона тождества. В таких случаях единственный способ выяснить существо дела – уточнение понятий.

9. Единичные и общие понятия

Понятие называется единичным, если его объем состоит из одного предмета. Примеры единичных понятий: «Москва-река», «Эйфелева башня», «Александр Македонский», «Тридцатилетняя война», «число 5». Понятия, не являющиеся единичными, принято называть общими. При отнесении того или иного понятия к разряду единичных необходимо соблюдать осторожность, помня, что объем понятия состоит не из предметов как таковых, а из представлений о них. Напр., понятие «президент СССР» вряд ли стоит считать единичным, хотя в СССР был только один президент – М. С. Горбачев: можно ведь представить себе, скажем, роман какого-нибудь писателя о некоем вымышленном президенте СССР. В то же время понятие «М. С. Горбачев, занимавший пост президента СССР в 1990–91 гг.» – единичное.

10. Собирательные понятия

Понятие называется собирательным, если предметы, входящие в его объем, представляют собой совокупности некоторых «однородных» предметов, рассматриваемые «в целом». (Таким образом, объем собирательного понятия есть класс, элементы которого являются в свою очередь классами.) Примеры собирательных понятий: «толпа», «аудитория» (в смысле «слушатели лекции, доклада и т.п.»), «стая», «кустарник», «мебель», «крестьянство». Собирательные понятия не отличаются сколько-нибудь принципиально от остальных. В частности, над ними можно производить операции обобщения и ограничения; например, понятие «стая гусей» есть ограничение понятия «стая», «русское крестьянство XVIII-го столетия» – ограничение понятия «крестьянство», «растительность» – обобщение понятия «кустарник». Собирательные понятия могут быть единичными (например, «1-й «А» класс 162-й школы г. Новосибирска»).

11. Конкретные и абстрактные понятия

В традиционной логике различают конкретные и абстрактные понятия. Конкретные понятия – это те, объемы которых состоят из предметов: «стол», «береза», «город», «студент» и т. п.

Сюда же относят такие понятия, как «прозрачный», «тяжелый», т. к. они отвечают классам, состоящим из конкретных прозрачных или тяжелых предметов. Понятия, объемы которых состоят из воображаемых предметов, которые мы представляем себе так или иначе подобными реальным конкретным предметам – «кентавр», «единорог», «инопланетянин» и т. п. – также естественно считать конкретными.

Остальные понятия – абстрактные. К ним относятся все научные понятия («треугольник», «энергия», «кислота», «млекопитающее», «феодализм» и т. п.), а также многие «обиходные» («прозрачность», «тяжесть», «бег», «удивление», «забота» и т.п.) Впрочем, граница между конкретными и абстрактными понятиями весьма условна, и разные авторы проводят ее по-разному: некоторые относят к конкретным все понятия, выражаемые существительными, имеющими множественное число (или большую часть таких понятий), другие считают, что все вообще понятия абстрактны.

3. Суждение (высказывание)


Рассуждения выражаются в словах. Изучение предложений является, вообще говоря, делом лингвистики. Современные лингвисты также относят “смысловую законченность” к главным признакам предложения. Чаще всего при этом выраженная в предложении “законченная мысль” может представляет собой суждение (хотя бывают вопросы, восклицания, приказы, пожелания, просьбы).

Всякое достаточно строгое суждение может быть изложено так, чтобы оно состояло только из предложений, представляющих собой четко сформулированные утверждения о каких-то фактах, так что для каждого такого утверждения можно спросить, истинно оно или ложно, и на этот вопрос имеется недвусмысленный ответ «Да» или «Нет». Только такие предложения и будут интересовать нас в дальнейшем; говоря о суждениях, мы всегда будем подразумевать, что они именно таковы.

Для каждого суждения А интересующего нас типа мы будем теперь писать А = И, если А истинно (т. е. истинно утверждение, выражаемое предложением А) и А = Л, если А ложно. При этом предложение А может быть записано как в словесной, так и в какой-либо символической форме, например:

Волга впадает в Каспийское море = И;

Днепр впадает в Каспийское море = Л;

Кит – млекопитающее = И;

Кит – рыба = Л;

6 – четное число = И;

6 – нечетное число = Л;

2 + 2 = 4 = И;

2 + 2 = 5 = Л.

Букву И или Л мы будем называть истинностным значением соответствующего предложения.

4. Основные логические законы


Перечисленные ниже 4 закона (их часто называют «основными логическими законами»), конечно, далеко не исчерпывают всех условий, которым должно удовлетворять любое правильное рассуждение; это только самые простые и очевидные (но важные!) закономерности. Их соблюдение не достаточно для правильности рассуждения, но необходимо: никакое рассуждение, в котором хотя бы один из этих законов нарушен, не может считаться правильным. Перейдем теперь к их рассмотрению. Неумение или нежелание уточнять смысл слов – постоянный источник ошибок в рассуждениях.

1. Закон тождества

Закон тождества состоит в том, что когда в одном рассуждении несколько раз появляется мысль об одном и том же предмете, мы должны каждый раз иметь в виду тот же самый предмет, строго следя за тем, чтобы он не был вольно или невольно подменен другим, в чем-то с ним сходным.

[pagebreak]

Пример. Все люди должны отвечать за свои поступки. Годовалый ребенок – человек. è Годовалый ребенок должен отвечать за свои поступки.

2. Закон противоречия

Закон противоречия состоит в том, что 2 противоположных суждения не могут одновременно быть истинными. (Противоположными называются 2 утверждения, одно из которых есть отрицание другого.) Иначе говоря: никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным.

Отсюда следует, что никакое рассуждение не может считаться правильным, если в нем содержатся 2 противоположных утверждения (явное нарушение закона противоречия) или такие утверждения, которые хотя и не являются сами противоположными, но из них можно вывести 2 противоположных утверждения (скрытое нарушение). Обнаружить скрытое суждение бывает делом трудным.

Т. обр., суждение о чем-либо принимается во внимание лишь тогда, когда в нем не содержится взаимно отрицающих друг друга (т. е. противоположных) частей. Напр., суждение «Река Волга и впадает и не впадает в Каспийское море» мы не можем считать полноценным суждением, поскольку в нем содержатся отрицающие друг друга части. Подобным образом недопустимо суждение «Семинарист Викентьев и присутствовал и не присутствовал на уроке философии».

Сюда же относятся такие утверждения, которые хотя и не содержат непосредственно противоположные части, но из отдельных своих частей допускают противоположные выводы. Иногда такой вывод бывает совсем не очевидным (скрытое нарушение).

Явные нарушения закона непротиворечия встречаются редко: мало кто скажет, например, «Иван Иванович уже уехал и еще не уехал», – ведь его собеседники подумают, что он либо говорит не всерьез, либо с умом у него не в порядке. Но со скрытыми нарушениями приходится иметь дело очень часто. Такие нарушения обычны в судебной практике, их разоблачением постоянно приходится заниматься следователям, адвокатам и судьям. Но они встречаются, к сожалению, и в официальных документах, в том числе в законодательных актах. Тогда законы становятся неисполнимыми, и открывается широкая дорога для беззакония и произвола. Поэтому без устранения противоречий в законодательстве настоящее правовое государство невозможно.

Пример. Сведения за I квартал надо подавать не позже 31 декабря предыдущего года.

3. Закон исключенного третьего

1. Закон исключенного третьего состоит в том, что из 2-х противоположных суждений одно непременно должно быть истинно, а другое – ложно. Иначе говоря: всякое утверждение либо истинно, либо ложно.

Напр., из 2-х суждений – «семинарист Викентьев присутствует на уроке философии» и «семинарист Викентьев не присутствует уроке философии» – одно должно быть истинным, в то время как другое – ложным.

Старые логики, формулируя этот закон, к словам «либо истинно, либо ложно» часто добавляли: «третьего не дано» – по-латыни tertium non datur. Отсюда и происходит название «закон исключенного третьего» (иногда его называют также законом tertium поп datur).

2. В формулировке закона исключенного третьего нельзя заменить слово «противоположные» словом «противоречащие» (хотя такую формулировку, к сожалению, можно иногда встретить в литературе). Напр., утверждения «А.С.Пушкин родился в Киеве» и «А.С.Пушкин родился в Казани» противоречат друг другу, но оба они ложны.

3. Следствием закона исключенного третьего является тот факт, что если мы доказали ложность какого-то утверждения, то из этого автоматически следует истинность суждения, противоположного ему. Это свойство закона исключенного третьего используется в математике для прием «доказательства от противного».

4. В сущности, мы не можем даже вообразить ничего «третьего», отличного от истины и от лжи и стоящего в одном ряду с ними. Поэтому трудно представить себе и нарушение этого закона. Но в современной конструктивной математике закон исключенного третьего не выполняется.

5. Задача. В сказке царь велел “мудрой деве” явиться к нему «ни с гостинцем, ни без подарочка», надеясь, что закон исключенного третьего ей не обойти. Девочка все же справилась с задачей: явилась с живой перепелкой в руках, подала ее царю, а «перепелка порх – и улетела!». Каким образом девочка вышла из положения (Ответ: она нарушила закон тождества.)

4. Закон достаточного основания

был сформулирован довольно поздно – Лейбницем (1646–1716). Закон этот гласит: нельзя быть уверенным в истинности суждения, если для этого нет достаточного основания.

Достаточное основание не следует смешивать с причиной. Напр., для утверждения, что за ночь температура воздуха понизилась на 10 градусов, достаточным основанием могут служить показания термометра, хотя они, конечно, не могут быть причиной похолодания.

Заканчивая рассмотрение основных логических законов, следует обратить внимание на то, что 2-й и 3-й законы формулируются гораздо более четко, чем 1-й и 4-й. Причину понять нетрудно: в законах противоречия и исключенного третьего фигурирует только понятие истинности, интуитивно достаточно ясное, а в двух других законах мы имеем дело с несравненно менее ясными понятиями «один и тот же предмет» и «достаточное основание».
Подробнее Разместил: rat Дата: 20.03.2009 Прочитано: 10778 Комментарии
Распечатать

Ограниченность формальной логики

1. Символическая (математическая) логика


1. Что такое математическая логика

Впервые логика вышла за классические рамки в XVII столетии, но по-настоящему новая эпоха в ее развитии началась в середине XIX столетия, когда некоторые логики и математики стали пользоваться символическими обозначениями для простых логических операций подобно используемым в математике символическим обозначениям арифметических действий. Это дало возможность представлять некоторые логические закономерности в виде математических соотношений. Так возникла “алгебра логики”, из которой развилась математическая логика, позволяющая изучать строение рассуждений значительно полнее и глубже, чем традиционная «аристотелевская».

Недостаточность дедуктивных рассуждений была замечена лишь в Новое время, приблизительно в конце XVI – начале XVII в. Вскоре ученые начали осознавать и недостаточность аристотелевской теории для описания самих дедуктивных рассуждений. Великий философ и математик Г. В. Лейбниц (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646–1716) выдвинул идею построения «универсальной характеристики» (Characteristica universalis) – математизированной логической системы, которая могла бы служить не только для теоретического описания рассуждений, но и для их практического выполнения. Эта система должна была состоять из знаков, соответствующих мыслям, и правил оперирования с этими знаками, построенных таким образом, что всякий раз, когда некоторая мысль является следствием другой, знак первой получается из знака второй по этим правилам. Лейбниц мечтал о времени, когда философы вместо того, чтобы спорить, будут говорить: «Посчитаем!» Сам Лейбниц не построил развернутой формально-логической системы, но под его влиянием мысль ученых начала работать в этом направлении.

Новый этап в развитии формальной логики наступил с конца 19 – начала 20 в., когда стала интенсивно развиваться математическая (символическая) логика на месте прежней силлогистики. В современной науке большую роль играют формализованные логические системы и содержательные формально-логические теории, изучающие отдельные стороны и задачи мышления. Символическая логика (или математическая логика) – область знания, которая сложилась в результате применения в логике формальных методов математики и логического исследования математических рассуждений и доказательств. Так что, как сказал российский математик Платон Сергеевич Порецкий: «Математическая логика есть логика по предмету, математика по методу».

Современная логика, как правило, формализована:

– она работает с символами, правилами для операций с ними и правилами для выведения истинных заключений;

– она стремится выработать строгую теорию формальных выводов и интерпретаций.

– ее результаты находят применение в математике и технике, особенно в электронике и компьютерной технике.

Как самостоятельная дисциплина мат. логика оформилась в середине 19 в. благодаря работам Джорджа Буля (1815–64) по алгебре логики. Создание “алгебры логики”, т. е. пропозициональной части символического языка, явилось первым серьезным успехом на этом пути. Основные идеи, которые легли в основу алгебры логики, впервые появились в опубликованных в 1847 г. работах А. де Моргана и Дж. Буля и были развиты рядом других исследователей в течение второй половины XIX в. (МОРГАН (De Morgan) Огастес (Августус) (1806-71), шотл. математик и логик. Труды по алгебре, теории рядов. Независимо от Дж. Буля пришел к основным идеям мат. логики).

2. Булевы функции

Пусть имеется некоторый набор высказываний, о которых можно определённо говорить, что они истинны или ложны. Для обозначения этих высказываний будем использовать латинские буквы А, В, С и т. д. Если у нас есть 2 простых предложения, то из них можно образовать новое, сложносочинённое предложение с помощью союзов «или» либо «и». В математической логике для аналогичной цели используют специальные символы: знак дизъюнкции V; знак конъюнкции &. Таким образом, из утверждений А, В с помощью знаков дизъюнкции и конъюнкции получим новые утверждения: A v B? (читается «А или B»), А & В (читается «A и В»). Утверждение A v В считается истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных утверждений; утверждение А & В -когда истинны оба утверждения. Дизъюнкцию и конъюнкцию можно рассматривать как особые операции, определённые не на числах, а на логических значениях ИСТИНА и ЛОЖЬ. Для этих операций существуют таблицы, подобные таблице умножения.

ИСТИНА v ИСТИНА = ИСТИНА, ИСТИНА v ЛОЖЬ = ИСТИНА, ЛОЖЬ v ИСТИНА = ИСТИНА, ЛОЖЬ v ЛОЖЬ = ЛОЖЬ, ИСТИНА & ИСТИНА = ИСТИНА, ИСТИНА & ЛОЖЬ = ЛОЖЬ, ЛОЖЬ & ИСТИНА = ЛОЖЬ, ложь & ложь = ложь.

Более традиционной для таких таблиц истинности является следующая (табличная) форма записи:

……………………..

Примеры: «Люблю футбол и люблю хоккей», «Или я никого не обижаю, или мне плохо».

[pagebreak]

Логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ называют также булевыми значениями – в честь Джорджа Буля. Функции, аргументами и значениями которых являются ИСТИНА и ЛОЖЬ, называются булевыми функциями. Операции конъюнкции и дизъюнкции – это два примера булевых функций от двух аргументов.

Булевы операции можно представить в виде электрических цепей:

……………………..

«Я поеду домой, если я сдам все экзамены и меня отпустит ректор».

… Эта операция называется логическим следованием или импликацией. Функцию А => В можно выразить словами «из A следует В» или «если A, то В». Наряду со знаком => используется знак =>. Обратите внимание, что импликация А => В является ложной, только если A истинно, а В – нет. Если А ложно, то о В ничего не утверждается, и потому в данном случае импликация считается истинной вне зависимости от значения В. В отличие от конъюнкции и дизъюнкции в импликации аргументы нельзя поменять местами. Так верно, что «всякий семинарист – мужчина», но высказывание «всякий мужчина – семинарист» ложно.

«Если я сдам все экзамены на отлично, то мне дадут повешенную стипендию».

А <=> В соответствует фразе «А тогда и только тогда, когда В».

Операция ^ называется логическим отрицанием. Для передачи отрицания в русском языке используется частица «не». Она может стоять перед разными членами предложения, и от этого зависит смысл высказывания. Напр.: Петя не купил мороженое. Не Петя купил мороженое. Петя купил не мороженое. Логическое отрицание соответствует «не», стоящему перед сказуемым, как в первом предложении. Другой способ выразить логическое отрицание – добавить к высказыванию-аргументу слова «неверно, что». Сравните первое предложение со следующим: Неверно, что Петя купил мороженое.

3. Связь логических операций между собой

2. Логические операции связаны между собой следующим образом:

A => B = ~A V B ~ (A V B) = ~A & ~B

~ (A & B) = ~A V ~B A <=> B = (A & B) v (¬A & ¬B),

~~A = A Л => A
4. Некоторые законы математической логики

Закон противоречия. Высказывание Л не может быть одновременно истинным и ложным: ¬ (а & ¬А).



Закон исключённого третьего. Либо верно, что А, либо неверно, что Л, третьего не дано: A v ¬A = И.



Закон двойного отрицания. Если неверно, что неверно А, то А истинно: ¬¬A =>А.



Закон тройного отрицания. Если неверно, что неверно, что неверно А, то А ложно: ¬¬¬A => ¬A.



Закон контрапозииии. Если из А следует В и неверно, что В, то неверно, что А: (А=>B) => (¬B => ¬А).



Закон приведения к абсурду. Если из А следует, что верно В и что неверно B, то А ложно: (А=>B) => ((A =>¬B) => ¬А).

Закон Дунса Скотта. Если ложного утверждения следует всё что угодно: Л => А

Правило Дунса Скота на первый взгляд кажется менее очевидным, чем предыдущие правила, но в действительности даже люди, далекие от науки, интуитивно уверены в его справедливости. Когда кто-нибудь, желая показать, что убежден в ложности некоего утверждения, говорит: «Если это верно, то я китайский император», он пользуется правилом Дунса Скота. Именно в силу этого правила условное утверждение считается истинным, когда его посылка опровергнута.

2. Аксиоматический метод построения систем


1. Аксиома и теорема

Аристотель учил, что изложение теории должно начинать с первоначальных предложений – аксиом, из которых выводятся дальнейшие факты (теоремы). Вот две аксиомы, сформулированные Евклидом: «через две точки можно провести прямую»; «порознь равные третьему равны между собой».

Современный подход к аксиоматическому построению некоторой теории состоит в следующем. Во-первых, указываются первоначальные (неопределяемые) понятия. В геометрии к ним относятся: точка, прямая, расположение точки на прямой, равенство фигур и др. Дальнейшие понятия вводятся с помощью определений. Правда, Евклид попытался определить все понятия, включая и первоначальные. Например: «точка есть то, что не имеет частей», т. е. идеализированная, геометрическая точка лишена размеров. Но, конечно, это не точное математическое определение, а наглядное описание точки, как чего-то предельно малого. Столь неясным определением точки Евклид нигде не пользуется.

Во-вторых, после перечисления первоначальных (неопределяемых) понятий формулируются аксиомы – первоначальные положения, указывающие на связь между понятиями. Вопрос об «очевидности» аксиом не рассматривается (к тому же нечто, очевидное одному человеку, может показаться другому совсем не очевидным). Дальнейшие факты – теоремы доказываются на основании аксиом и уже доказанных теорем. Это означает, что, в-третьих, должны быть чётко сформулированы правила вывода – те логические средства, которые используются при доказательствах.

[pagebreak]

Разумеется, аксиомы (а также понятия) – плод многовекового опыта человечества. Потому-то абстрактно сформулированные аксиомы и выводимые из них теоремы тесно связаны с жизнью. Однако при чисто аксиоматическом построении теории вопрос о происхождении аксиом, об их практической значимости не рассматривается.

Исторически аксиоматический метод построения математики начался с геометрии. В классической работе «Начала» Евклид предпринял попытку дать полный список требуемых аксиом. В последующие столетия было обнаружено, что этих аксиом не хватает, т. е. где-то в доказательствах происходит апелляция к зрительным образам. Этого недостатка смог избежать Д. Гильберт, предложивший в конце XIX в. свою аксиоматику элементарной геометрии. Широко известной стала фраза Гильберта: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках».

2. Непротиворечивость аксиоматической системы

Что такое непротиворечивость – понятно …

Ник. Ив. Лобачевский, пользуясь материалом своей «воображаемой» геометрии, смог построить модель геометрии Евклида на поверхности, которую назвал орисферой. Однако Лобачевского прежде всего интересовал противоположный результат, если мы не сомневаемся в непротиворечивости геометрии Евклида, то непротиворечива и «воображаемая» геометрия. То есть надо было из материала евклидовой геометрии построить модель геометрии Лобачевского. Но он такую модель создать не смог. Её построили (уже после смерти гениального математика) Феликс Клейн и другие учёные. И тем самым установили, что обе геометрии – и Евклида, и Лобачевского – одинаково непротиворечивы. Если непротиворечива одна, то же верно и для другой, и наоборот.

Непротиворечивость евклидовой геометрии была доказана путем указания модели.

3. Полнота аксиоматики

Кроме непротиворечивости есть ещё одна важная характеристика системы аксиом – т. н. полнота. Непротиворечивая система аксиом называется полной, если всякое истинное суждение в ней (касающееся ее объектов) является в ней теоремой или аксиомой (т. е. выводимо).

Для полной системы все ее модели изоморфны. Грубо говоря, полная система аксиом определяет, с точностью до изоморфизма, только одну теорию.

Оказалось, что гильбертова аксиоматика является полной. Иначе говоря, она определяет (с точностью до изоморфизма) единственную теорию – евклидову геометрию.

В качестве ещё одного примера рассмотрим так называемую абсолютную геометрию, т. е. систему теорем, которые вытекают из всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы параллельности. Очевидно, что система аксиом абсолютной геометрии неполна. Добавив к её аксиомам аксиому параллельности, мы получаем одну теорию – евклидову геометрию. Включив в систему тех же аксиом отрицание аксиомы параллельности, приходим к другой, неизоморфной первой теории – геометрии Лобачевского.

4. Независимость

Любая система аксиом должна обладать свойством независимости (хотя оно менее существенно, чем непротиворечивость и полнота). Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом невозможно доказать как теорему исходя из остальных аксиом. Напр., аксиома параллельности независима от остальных аксиом геометрии (поскольку не только система аксиом, в которой данная аксиома выполняется, непротиворечива, но и система аксиом, в которой выполняется отрицание аксиомы параллельности, также непротиворечива). Вообще, чтобы доказать независимость какой-либо аксиомы от остальных, надо построить две модели, в одной из которых выполняются все аксиомы, включая и выбранную, а в другой модели выполняются все аксиомы, кроме выбранной – она не выполняется.

3. Теоремы Курта Гёделя (1906–1979) как указание на ограниченность формальной логики


1. Отсутствие механической процедуры определения общезначимости логической формулы

Если некоторая замкнутая формула является общезначимой, то в этом можно убедиться за конечное число шагов с помощью исчисления предикатов. А что делать, если формула не общезначима? Здесь кончается аналогия с пропозициональными формулами, нетавтологичность которых, по крайней мере в принципе, устанавливается перебором конечного количества возможных значений переменных. Одно из важнейших достижений математической логики состоит в том, что было доказано:

Не существует универсального метода, который позволял бы по произвольной замкнутой формуле исчисления предикатов узнавать, является ли эта формула общезначимой. Иными словами: определение общезначимости – дело не механическое.

[pagebreak]

Для того чтобы доказать этот факт, потребовалось создать новый раздел математической логики – теорию алгоритмов. Она занимается изучением не того, что можно и что нельзя доказать, а того, что можно и что нельзя вычислить.

2. Неполнота арифметики

Раньше верили, что полнота любой системы достижима путем добавления нужного числа аксиом. Но оказалось, что это – не так.

Оказалось, для любой не слишком простой аксиоматической теории, напр. уже для арифметики натуральных чисел, полнота аксиоматики – вещь недостижимая, как утверждает знаменитая первая теорема Гёделя о неполноте арифметики (1931, Kurt Godel, 1906–1979). Её можно сформулировать в усиленной форме следующим образом:

Для любой непротиворечивой системы аксиом А1, А2, ..., Аn можно указать многочлен М от многих переменных с целыми коэффициентами, такой, что уравнение

M(x1, х2, … xn) = 0

не имеет решений в целых числах, но это нельзя вывести из А1, А2, ..., Аn.

Т. обр., один из видов деятельности математиков – выработка систем аксиом – никогда не будет исчерпан.

3. В непротиворечивость можно только верить

Казалось бы, это несложная работа (в отличие от доказательства теорем), но в действительности соблюсти требование непротиворечивости аксиоматики очень непросто. В самом деле, как доказать, что данный набор аксиом непротиворечив? Само доказательство непротиворечивости некоторого набора аксиом А1 А2, ..., Аn можно было бы попытаться провести на основе некоторого другого множества аксиом А'1 А'2 ..., А'n. К сожалению, новая аксиоматика должна быть не слабее той, непротиворечивость которой хотелось бы доказать. Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте:

Непротиворечивость никакой нетривиальной аксиоматической системы не может быть доказана средствами самой этой системы.

Т. обр., развитие мат. логики, создатели которой в значительной мере вдохновлялись идеями Лейбница, не оправдало его надежд на замену рассуждений вычислениями.

4. Обсуждение философских следствий теорем Геделя

Итак, даже наиболее фундаментальные разделы математики (напр., арифметика) несводимы к формальной логике. Значит, невозможно обойтись без предельных (трансфинитных) переходов.

Фактически первая теорема Геделя гласит: «Если развитая (не ниже арифметики) логическая система строится исключительно рациональным путем (т. е. минуя интуитивные “предельные переходы”), и если она при этом непротиворечива (что является естественным требованием к системе), то она заведомо неполна. Т. е. в ней непременно найдется такое утверждение (может быть и не очевидное), оценка истинности или ложности которого невыводима из заложенных в ней аксиом».

Когда Спиноза разрабатывал свою философскую систему, то он исходил из того, что ее рациональное постижение и даже изложение – дело вполне возможное. Теорема, открытая 200 лет спустя австрийским логиком К. Гёделем положила предел всем такого рода притязаниям.

4. Интуиционистская логика и конструктивная математика.


Совр. этап М. л. характеризуется исследованием разнообразных видов логических исчислений, интересом к проблемам семантики и вообще металогики, к вопросам специальных математических и технических приложений логики. В связи с задачами обоснования математики наряду с работами в области классической логики разрабатывается интуиционистская и конструктивная логика. С анализом оснований логики связаны исследования по комбинаторной логике. Создается теория многозначных логик. Попытки решить проблему формализации логического следования привели к созданию исчислений строгой и сильной импликации. Построен ряд систем модальной логики. Вместе о тем М. л. оказывает большое влияние на совр. математику. Из М. л. выросли такие существенные разделы последней, как теория алгоритмов и рекурсивных функций. М. л. находит приложение в электротехнике (исследование релейно-контактных и электронных схем), вычислительной технике (программирование), кибернетике (теория автоматов), нейрофизиологии (моделирование нейронных сетей), языкознании (структурная лингвистика и семиотика.

Сомнению был подвергнут закон исключённого третьего: А v ¬А. Правомерно ли считать эту дизъюнкцию истинной, если мы не можем установить, которое из двух утверждений, А или ¬А, истинно? В результате были предложены логические системы без закона исключённого третьего – интуиционистская логика (в начале XX в., основоположник интуиционистской математики – Ян брауэр (1881–1966)) и конструктивная математическая логика (в середине XX в., с развитием теории алгоритмов) и на их основе построены математические теории, существенно отличающиеся от классических.
Подробнее Разместил: rat Дата: 20.03.2009 Прочитано: 10490 Комментарии
Распечатать

Логические ошибки и парадоксы

1. О некоторых распространенных логических ошибках


С ошибками в рассуждениях приходится сталкиваться на каждом шагу, и избежать их невозможно. Более того: процесс человеческого познания состоит, в сущности, из ошибок – в том числе ошибок в рассуждениях – и их исправления. В частности, ошибки неизбежны в спорах: если двое отстаивают противоположные мнения, то в силу закона противоречия в рассуждениях по крайней мере одного из них есть ошибки. И бывает даже, что спорщик, стремящийся добиться победы любой ценой, допускает ошибки намеренно. Этим особенно славились древнегреч. софисты (букв. «знатоки» или «мудрецы»), и поэтому уже в древности намеренные ошибки в рассуждениях стали называть софизмами (греч. &#963;&#972;&#966;&#953;&#963;&#956;&#945;, буквально «мастерство, умение, искусство»). В отличие от софизмов ненамеренные ошибки в рассуждениях называют паралогизмами (греч. &#960;&#945;&#961;&#945;&#955;&#959;&#947;&#953;&#963;&#956;&#972;&#962;, буквально «неверное умозаключение»).

По давней традиции в курсах логики рассматриваются некоторые наиболее распространенные типы «логических ошибок», под которыми понимаются прежде всего ошибки в рассуждениях. Мы также остановимся вкратце на важнейших из них.

1. Подмена тезиса (лат. ignoratio elenchi).

1) Это частный случай нарушения закона тождества, состоящий в том, что доказывается не то утверждение, которое необходимо доказать, а другое, внешне на него похожее или как-то с ним связанное. Типичный пример: обвинитель на судебном процессе вместо того, чтобы доказывать, что подсудимый действительно совершил преступление, в котором его обвиняют, говорит о том, как ужасно это преступление и какую опасность для общества представляет человек, его совершивший. Так бывает, к сожалению, нередко, и чаще всего это делается намеренно, в расчете на эмоциональное воздействие и на логическую и юридическую неграмотность тех, к кому обращена аргументация. Очень часто прибегают к подобным приемам и недобросовестные политики.

2. Предвосхищение основания (petitio principii)

– частный случай нарушения закона достаточного основания, состоящий в том, что некоторое утверждение доказывается с использованием (явным или неявным) другого утверждения, которое само еще нуждается в доказательстве.

С этой ошибкой мы сталкиваемся, напр., в тех случаях, когда необходимость для государства вмешиваться в политическую жизнь некоторого региона за его пределами, поддерживая какую-то из существующих там политических сил, обосновывается «геополитическими интересами» государства в этом регионе, причем наличие таких интересов считается не подлежащим сомнению, а вопрос, в чем они состоят, рассматривается как неприличный. Подобным образом часто обосновываются и другие политические требования. Нередко приходится встречаться с предвосхищением основания в сочинениях по философии, истории, литературоведению и другим гуманитарным дисциплинам.

3. Круг в доказательстве (circulus in demonstrando), или порочный круг (circulus vitiosus)

– частный случай предвосхищения основания: некоторое утверждение доказывается с явным или неявным использованием другого утверждения, при обосновании которого необходимо пользоваться тем самым утверждением, которое хотят доказать.

[pagebreak]

Примерами могут служить многочисленные попытки доказать 5-й постулат Евклида, предпринимавшиеся математиками до того, как после открытия Н. И. Лобачевским (1792–1856) и Яношом Бояи (1802–1860) неевклидовой геометрии и док-ва ее непротиворечивости стало ясно, что сделать это невозможно. 5-ым постулатом Евклида называется утверждение, которое на современном языке может быть сформулировано следующим образом: Если сумма внутренних односторонних углов, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей. (Нетрудно доказать, что это равносильно невозможности провести через точку, не лежащую на прямой, более одной прямой, параллельной данной.) Это одно из исходных утверждений, на кот. основывается построение геометрии в «Началах» Евклида. Оно выглядело более сложным и менее очевидным, чем остальные исходные утверждения, и к тому же первые 26 предложений в «Началах» доказываются без его помощи. Поэтому математики уже в древности стали задаваться вопросом: нельзя ли исключить его из числа исходных утверждений, то есть доказать, опираясь на остальные постулаты и аксиомы? За много веков было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удается доказать без использования того же 5-го постулата. Напр., Прокл (&#928;&#961;&#972;&#954;&#955;&#959;&#962;, 412–485), опирался в своем доказательстве на допущение, что расстояние между двумя непересекающимися прямыми есть ограниченная величина; впоследствии выяснилось, что это допущение равносильно пятому постулату.

4. Человеческий фактор (argumentum ad hominem)

По традиции к лог. ошибкам относят также argumentum ad hominem (человеческий фактор), хотя эта ошибка носит по существу не лог., а психологический характер. В ней суждение об истинности утверждения ставится в зависимость от суждения о личных качествах человека (субъективируется). Так происходит, когда в рассуждение вмешиваются эмоции – напр., когда человек подсознательно боится сделать выводы из известных ему фактов, потому что эти выводы были бы ему неприятны. – Примечательно, что традиц. логика, уделившая много внимания ошибке argumentum ad hominem, «не заметила» несостоятельности родственного ей и также весьма распространенного способа аргументации, при котором за истину – и даже за «абсолютную истину» – принимается все, что написано в некоторых пользующихся особым авторитетом книгах (или может быть выведено из написанного там). Объясняется это, видимо, тем, что средневековые схоласты, к которым восходит классификация логических ошибок, сами свято верили в непогрешимый авторитет некоторых книг. Излишне говорить, что эта схоластическая традиция не изжита полностью до настоящего времени.

5. «Круг в определении» («circulus in definiendo»)

Кроме ошибок в рассуждении, к лог. ошибкам должны быть отнесены ошибки в определении понятий. Важнейшую из них естественно назвать «кругом в определении» («circulus in definiendo»). Состоит она в том, что некоторое понятие определяется с использованием других понятий, в определении которых участвует то самое понятие, которое надлежит определить. (Это участие – не обязательно непосредственное; иногда круг замыкается после того, как пройдена длинная цепочка определений.)

Напр., в «Советском энциклопедическом словаре» (М.: Советская энциклопедия, 1988) понятие «вывод» определяется как «переход от посылок к следствиям (заключениям) по правилам логики», а понятие «посылка» – как «высказывание (формула), из которого делается вывод или умозаключение».

От круга в определении следует отличать нередко встречающийся в толковых словарях «круг в толковании слов», который не является ошибкой. Толковый словарь не предназначен для определения понятий, его задача – пояснять значения слов с целью облегчить их правильное употребление. А пояснение может быть полезно и при наличии круга (избежать которого не всегда удается). – Для примера приведем несколько толкований из «Словаря русского языка» С. И. Ожегова (М.: Советская энциклопедия, 1972). (В случаях, когда словарная статья содержит несколько толкований, отвечающих разным значениям слова, мы приводим только одно, отвечающее интересующему нас значению.)

1. ВЫВЕСТИ – прийти к чему-нибудь рассуждением, заключить.

2. ВЫВОД – умозаключение, то, что выведено.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ – утверждение, являющееся выводом из чего-нибудь.

4. ЗАКЛЮЧИТЬ – сделать вывод.

5. РАССУЖДЕНИЕ – умозаключение, ряд мыслей, изложенных в логически последовательной форме.

6. УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – вывод, заключение из каких-нибудь суждений.

В более новом варианте этого словаря (С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова, Толковый словарь русского языка, М.: Азъ, Ltd, 1992) толкование слова ВЫВЕСТИ выглядит так: «умозаключить, прийти к чему-нибудь на основе анализа». При таком изменении – которое, впрочем, трудно признать удачным – схема также несколько видоизменяется, но “круги” в ней остаются.


[pagebreak]


2. О логических парадоксах


Еще древние греки заметили, что рассуждения, с интуитивной точки зрения совершенно правильные, тем не менее могут иногда приводить к противоречиям. Такие рассуждения принято называть логическими парадоксами[1]. Интерес к ним усилился в конце XIX столетия, когда после создания Г. Кантором теории множеств выяснилось, что парадоксы возможны также и в математике. Сейчас мы остановимся на некоторых из них.

1. Парадокс лжеца

Самый старый и самый известный из лог. парадоксов – парадокс лжеца. Как заметил еще в IV в. до н.э. философ мегарской школы Эвбулид, если кто-либо говорит: «Предложение, которое я сейчас произношу, ложно», то из истинности этого предложения следует, что оно ложно, а из ложности – что оно не ложно, т. е. истинно. Это и есть парадокс лжеца.

2. Парадокс Кантора

Кантором было введено понятие мощности множества, позволяющее сравнивать произвольные множества по “количеству” элементов в них подобно тому, как это делается для конечных мн-в. (Напр., множество рац. чисел имеет такую же мощность, как мн-во нат. чисел, а мн-во действительных чисел – большую). Если мн-во А есть подмн-во мн-ва В, то мощность А не больше мощности В. Одна из самых замечательных теорем теории мн-в, доказанная Кантором, состоит в том, что для произвольного мн-ва мощность мн-ва всех его подмн-в больше мощности его самого. – Пусть теперь &#924; – мн-во всех мн-в и М' – мн-во всех подмн-в М. Тогда мощность М' больше мощности М. Но всякое подмн-во М также есть мн-во, так что М' есть подмн-во М и, след., мощность М' не больше мощности М.

3. Парадокс Рассела (Bertrand Russell, 1872–1970).

Назовем множество самосодержащим, если оно является своим собственным элементом (пример – множество всех множеств). Пусть R –множество всех несамосодержащих множеств. Тогда, если R – самосодержащее множество, это значит, что R е R, а так как R по определению состоит из несамосодержащих множеств, то и R – несамосодержащее; если же R – несамосодержащее множество, это значит, чтоR $ R, а так как R по определению содержит все несамосодержащие множества, то R – самосодержащее. – Этот парадокс можно сформулировать иначе, пользуясь вместо понятия множества понятием свойства. Некоторые свойства справедливы в отношении самих себя («обладают сами собой»): напр., свойство «быть абстрактным» само абстрактно. Назвав такие свойства «самообладающими», мы можем, рассуждая точно так же, как выше (пусть читатель сделает это сам!), установить, что свойство «быть несамообладающим» не может быть ни самоообладающим, ни несамоообладающим.

4. Парадокс Берри (G. G. Berry).

Некоторые словосочетания русского языка служат названиями конкретных натуральных чисел. (Напр., число 23 можно назвать с помощью словосочетаний «число, на единицу меньшее числа, вдвое большего двенадцати», «наименьшее простое число, большее двадцати» и т. п.) Очевидно, число натуральных чисел, которые можно назвать с помощью словосочетаний, содержащих менее 60 слогов, конечно. Поэтому словосочетание «наименьшее нат. число, кот. нельзя назвать с помощью словосочетания русского языка, содержащего менее 60 слогов» называет некоторое натуральное число. Но само это словосочетание содержит всего 51 слог!

5. Парадокс Ришара (Jules Richard, 1862–1956).

Некоторые словосочетания рус. языка служат определениями функций натурального аргумента, принимающих натуральные значения. (Напр., «сумма делителей данного числа», «число, на единицу большее числа, вдвое большего, чем данное число» и т. п.) Все такие словосочетания можно занумеровать нат. числами, расположив их так, как располагают слова в словарях, и приписав тому словосочетанию, которое окажется первым, номер 1, тому, которое окажется вторым – номер 2 и т.д. Функцию, определяемую словосочетанием, имеющим номер n, будем обозначать fn. Рассмотрим теперь словосочетание «число, на 1 большее значения функции, определяемой словосочетанием, номером которого служит данное число, при значении аргумента, равном данному числу». Это словосочетание определяет некоторую функцию нат. аргумента с нат. значениями и, следовательно, должно получить некоторый номер n0. По опр. функции fn0 имеем fn0(n) = fn0(n) +1 для любого п. Но отсюда следует, в частности, что fn0 (n0) = fn0 (n0) + 1.

* * *

Можно заметить, что понятия, о которых идет речь в рассмотренных парадоксах, имеют общую черту: все они определяются с явным или неявным упоминанием самих определяемых понятий. Содержанием предложения, приводящего к парадоксу лжеца, является утверждение о его собственной ложности. Мн-во всех множеств состоит из элементов, среди которых имеется, в частности, оно само, и так же обстоит дело с любым самосодержащим множеством. В словосочетании, которое служит именем числа, дающего парадокс Берри, фактически идет речь о мн-ве, содержащем это число в качестве элемента. Функция, фигурирующая в парадоксе Ришара, определяется через мн-во всех функций нат. аргумента с нат. значениями, одним из элементов которого является сама эта функция. Т. обр., во всех 5 случаях имеется круг в определении, и естественно предположить, что именно с этой некорректностью связано возникновение парадоксов.

[pagebreak]

Но в конце XIX столетия, когда были обнаружены парадоксы теории множеств, математика не располагала средствами, которые позволяли бы четко отграничить “законные” способы образования математических понятий и способы математических рассуждений от “незаконных”. Поэтому открытие теоретико-множественных парадоксов было воспринято многими математиками как кризис, ставящий под сомнение надежность методов математики, всегда считавшейся достовернейшей из наук. Правда, в конкретных математических дисциплинах – таких, как арифметика, геометрия, дифференциальное исчисление и т. п. – не было “экзотических” понятий, подобных фигурирующим в парадоксах, и можно было надеяться, что эти дисциплины не окажутся под угрозой. Но чтобы иметь в этом уверенность, нужен был тщательный анализ логических основ математической науки, чем и занялись многие математики и философы, в т. ч. весьма выдающиеся. Возникла новая область научных исследований “на стыке” математики и философии – основания математики; ее главным рабочим инструментом стала математическая логика, получившая тем самым новый мощный стимул к развитию. Как всегда бывает в философии и смежных с ней областях, мнения ученых о природе кризиса и путях его преодоления были различны. В философии математики появились разные направления. Все они так или иначе способствовали развитию логики (не только математической!) и углублению знаний математиков о природе понятий и методов своей науки. Был получен ряд результатов, по большей части неожиданных, которые, хотя и не привели к общему согласию в главных вопросах оснований математики (в т. ч. в вопросе о происхождении и значении парадоксов), но позволили гораздо лучше, чем раньше, представить себе, что можно и чего нельзя сделать с помощью формальных математических методов. – Конструкции, аналогичные тем, на которых основаны логические парадоксы, в некоторых случаях используются в математике для док-ва (приведением к нелепости) невозможности существования объектов с теми или иными свойствами. Так доказывается, в частности, знаменитая теорема Гёделя о неполноте арифметики.

Можно привести простой пример нематематического рассуждения этого типа, являющегося не парадоксом, а просто доказательством невозможности. Вообразим военного парикмахера, получившего приказ брить всех тех и только тех военнослужащих своего подразделения, которые не бреются сами. Должен ли он бриться сам? Если он будет это делать, то нарушит приказ, так как брить тех, кто бреется сам, ему запрещено. Если не будет – тоже нарушит: тех, кто не бреется сам, он обязан брить. Т. обр., выполнить этот приказ невозможно. Это рассуждение иногда называют “парадоксом парикмахера”, хотя на самом деле никакого парадокса здесь нет. (По своему опыту читатель, вероятно, знает, что можно привести сколько угодно примеров не выдуманных, а действительно отдававшихся невыполнимых распоряжений.
Подробнее Разместил: rat Дата: 20.03.2009 Прочитано: 13232 Комментарии
Распечатать
Главная | Основы философии | Философы | Философская проблематика | История философии | Актуальные вопросы