Логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ называют также булевыми значениями – в честь Джорджа Буля. Функции, аргументами и значениями которых являются ИСТИНА и ЛОЖЬ, называются булевыми функциями. Операции конъюнкции и дизъюнкции – это два примера булевых функций от двух аргументов.
Булевы операции можно представить в виде электрических цепей:
……………………..
«Я поеду домой, если я сдам все экзамены и меня отпустит ректор».
… Эта операция называется логическим следованием или импликацией. Функцию А => В можно выразить словами «из A следует В» или «если A, то В». Наряду со знаком => используется знак =>. Обратите внимание, что импликация А => В является ложной, только если A истинно, а В – нет. Если А ложно, то о В ничего не утверждается, и потому в данном случае импликация считается истинной вне зависимости от значения В. В отличие от конъюнкции и дизъюнкции в импликации аргументы нельзя поменять местами. Так верно, что «всякий семинарист – мужчина», но высказывание «всякий мужчина – семинарист» ложно.
«Если я сдам все экзамены на отлично, то мне дадут повешенную стипендию».
А <=> В соответствует фразе «А тогда и только тогда, когда В».
Операция ^ называется логическим отрицанием. Для передачи отрицания в русском языке используется частица «не». Она может стоять перед разными членами предложения, и от этого зависит смысл высказывания. Напр.: Петя не купил мороженое. Не Петя купил мороженое. Петя купил не мороженое. Логическое отрицание соответствует «не», стоящему перед сказуемым, как в первом предложении. Другой способ выразить логическое отрицание – добавить к высказыванию-аргументу слова «неверно, что». Сравните первое предложение со следующим: Неверно, что Петя купил мороженое.
3. Связь логических операций между собой
2. Логические операции связаны между собой следующим образом:
A => B = ~A V B ~ (A V B) = ~A & ~B
~ (A & B) = ~A V ~B A <=> B = (A & B) v (¬A & ¬B),
~~A = A Л => A
4. Некоторые законы математической логики
Закон противоречия. Высказывание Л не может быть одновременно истинным и ложным: ¬ (а & ¬А).
Закон исключённого третьего. Либо верно, что А, либо неверно, что Л, третьего не дано: A v ¬A = И.
Закон двойного отрицания. Если неверно, что неверно А, то А истинно: ¬¬A =>А.
Закон тройного отрицания. Если неверно, что неверно, что неверно А, то А ложно: ¬¬¬A => ¬A.
Закон контрапозииии. Если из А следует В и неверно, что В, то неверно, что А: (А=>B) => (¬B => ¬А).
Закон приведения к абсурду. Если из А следует, что верно В и что неверно B, то А ложно: (А=>B) => ((A =>¬B) => ¬А).
Закон Дунса Скотта. Если ложного утверждения следует всё что угодно: Л => А
Правило Дунса Скота на первый взгляд кажется менее очевидным, чем предыдущие правила, но в действительности даже люди, далекие от науки, интуитивно уверены в его справедливости. Когда кто-нибудь, желая показать, что убежден в ложности некоего утверждения, говорит: «Если это верно, то я китайский император», он пользуется правилом Дунса Скота. Именно в силу этого правила условное утверждение считается истинным, когда его посылка опровергнута.
2. Аксиоматический метод построения систем
1. Аксиома и теорема
Аристотель учил, что изложение теории должно начинать с первоначальных предложений – аксиом, из которых выводятся дальнейшие факты (теоремы). Вот две аксиомы, сформулированные Евклидом: «через две точки можно провести прямую»; «порознь равные третьему равны между собой».
Современный подход к аксиоматическому построению некоторой теории состоит в следующем. Во-первых, указываются первоначальные (неопределяемые) понятия. В геометрии к ним относятся: точка, прямая, расположение точки на прямой, равенство фигур и др. Дальнейшие понятия вводятся с помощью определений. Правда, Евклид попытался определить все понятия, включая и первоначальные. Например: «точка есть то, что не имеет частей», т. е. идеализированная, геометрическая точка лишена размеров. Но, конечно, это не точное математическое определение, а наглядное описание точки, как чего-то предельно малого. Столь неясным определением точки Евклид нигде не пользуется.
Во-вторых, после перечисления первоначальных (неопределяемых) понятий формулируются аксиомы – первоначальные положения, указывающие на связь между понятиями. Вопрос об «очевидности» аксиом не рассматривается (к тому же нечто, очевидное одному человеку, может показаться другому совсем не очевидным). Дальнейшие факты – теоремы доказываются на основании аксиом и уже доказанных теорем. Это означает, что, в-третьих, должны быть чётко сформулированы правила вывода – те логические средства, которые используются при доказательствах.
|