Для того чтобы доказать этот факт, потребовалось создать новый раздел математической логики – теорию алгоритмов. Она занимается изучением не того, что можно и что нельзя доказать, а того, что можно и что нельзя вычислить.
2. Неполнота арифметики
Раньше верили, что полнота любой системы достижима путем добавления нужного числа аксиом. Но оказалось, что это – не так.
Оказалось, для любой не слишком простой аксиоматической теории, напр. уже для арифметики натуральных чисел, полнота аксиоматики – вещь недостижимая, как утверждает знаменитая первая теорема Гёделя о неполноте арифметики (1931, Kurt Godel, 1906–1979). Её можно сформулировать в усиленной форме следующим образом:
Для любой непротиворечивой системы аксиом А1, А2, ..., Аn можно указать многочлен М от многих переменных с целыми коэффициентами, такой, что уравнение
M(x1, х2, … xn) = 0
не имеет решений в целых числах, но это нельзя вывести из А1, А2, ..., Аn.
Т. обр., один из видов деятельности математиков – выработка систем аксиом – никогда не будет исчерпан.
3. В непротиворечивость можно только верить
Казалось бы, это несложная работа (в отличие от доказательства теорем), но в действительности соблюсти требование непротиворечивости аксиоматики очень непросто. В самом деле, как доказать, что данный набор аксиом непротиворечив? Само доказательство непротиворечивости некоторого набора аксиом А1 А2, ..., Аn можно было бы попытаться провести на основе некоторого другого множества аксиом А'1 А'2 ..., А'n. К сожалению, новая аксиоматика должна быть не слабее той, непротиворечивость которой хотелось бы доказать. Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте:
Непротиворечивость никакой нетривиальной аксиоматической системы не может быть доказана средствами самой этой системы.
Т. обр., развитие мат. логики, создатели которой в значительной мере вдохновлялись идеями Лейбница, не оправдало его надежд на замену рассуждений вычислениями.
4. Обсуждение философских следствий теорем Геделя
Итак, даже наиболее фундаментальные разделы математики (напр., арифметика) несводимы к формальной логике. Значит, невозможно обойтись без предельных (трансфинитных) переходов.
Фактически первая теорема Геделя гласит: «Если развитая (не ниже арифметики) логическая система строится исключительно рациональным путем (т. е. минуя интуитивные “предельные переходы”), и если она при этом непротиворечива (что является естественным требованием к системе), то она заведомо неполна. Т. е. в ней непременно найдется такое утверждение (может быть и не очевидное), оценка истинности или ложности которого невыводима из заложенных в ней аксиом».
Когда Спиноза разрабатывал свою философскую систему, то он исходил из того, что ее рациональное постижение и даже изложение – дело вполне возможное. Теорема, открытая 200 лет спустя австрийским логиком К. Гёделем положила предел всем такого рода притязаниям.
4. Интуиционистская логика и конструктивная математика.
Совр. этап М. л. характеризуется исследованием разнообразных видов логических исчислений, интересом к проблемам семантики и вообще металогики, к вопросам специальных математических и технических приложений логики. В связи с задачами обоснования математики наряду с работами в области классической логики разрабатывается интуиционистская и конструктивная логика. С анализом оснований логики связаны исследования по комбинаторной логике. Создается теория многозначных логик. Попытки решить проблему формализации логического следования привели к созданию исчислений строгой и сильной импликации. Построен ряд систем модальной логики. Вместе о тем М. л. оказывает большое влияние на совр. математику. Из М. л. выросли такие существенные разделы последней, как теория алгоритмов и рекурсивных функций. М. л. находит приложение в электротехнике (исследование релейно-контактных и электронных схем), вычислительной технике (программирование), кибернетике (теория автоматов), нейрофизиологии (моделирование нейронных сетей), языкознании (структурная лингвистика и семиотика.
Сомнению был подвергнут закон исключённого третьего: А v ¬А. Правомерно ли считать эту дизъюнкцию истинной, если мы не можем установить, которое из двух утверждений, А или ¬А, истинно? В результате были предложены логические системы без закона исключённого третьего – интуиционистская логика (в начале XX в., основоположник интуиционистской математики – Ян брауэр (1881–1966)) и конструктивная математическая логика (в середине XX в., с развитием теории алгоритмов) и на их основе построены математические теории, существенно отличающиеся от классических.
|
