Интенция | Все о философии
Регистрация или вход Регистрация или вход Главная | Профиль | Рекомендовать | Обратная связь | В избранное | Сделать домашней
Меню
Основы
Онтология
Гносеология
Экзистенциология
Логика
Этика

История философии
Досократики
Классический период античной философии
Эллинистическая философия
Cредневековая философия
Философия эпохи возрождения
Философия Нового времени
Философия Просвещения
Классическая философия
Постклассическая философия

Философия общества
Проблемы устройства общества
Философская антропология

Философия религии
Буддизм
Ислам
Христианство

Опрос
Есть ли что-то, над чем нельзя смеяться?

Есть
Нет
Не решил


Результаты
Другие опросы

Всего голосов: 461
Комментарии: 0
Спонсоры

Основы философии

Поиск

[ Главная | Лучшие | Популярные | Список | Добавить ]

Ограниченность формальной логики



Разумеется, аксиомы (а также понятия) – плод многовекового опыта человечества. Потому-то абстрактно сформулированные аксиомы и выводимые из них теоремы тесно связаны с жизнью. Однако при чисто аксиоматическом построении теории вопрос о происхождении аксиом, об их практической значимости не рассматривается.

Исторически аксиоматический метод построения математики начался с геометрии. В классической работе «Начала» Евклид предпринял попытку дать полный список требуемых аксиом. В последующие столетия было обнаружено, что этих аксиом не хватает, т. е. где-то в доказательствах происходит апелляция к зрительным образам. Этого недостатка смог избежать Д. Гильберт, предложивший в конце XIX в. свою аксиоматику элементарной геометрии. Широко известной стала фраза Гильберта: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках».

2. Непротиворечивость аксиоматической системы

Что такое непротиворечивость – понятно …

Ник. Ив. Лобачевский, пользуясь материалом своей «воображаемой» геометрии, смог построить модель геометрии Евклида на поверхности, которую назвал орисферой. Однако Лобачевского прежде всего интересовал противоположный результат, если мы не сомневаемся в непротиворечивости геометрии Евклида, то непротиворечива и «воображаемая» геометрия. То есть надо было из материала евклидовой геометрии построить модель геометрии Лобачевского. Но он такую модель создать не смог. Её построили (уже после смерти гениального математика) Феликс Клейн и другие учёные. И тем самым установили, что обе геометрии – и Евклида, и Лобачевского – одинаково непротиворечивы. Если непротиворечива одна, то же верно и для другой, и наоборот.

Непротиворечивость евклидовой геометрии была доказана путем указания модели.

3. Полнота аксиоматики

Кроме непротиворечивости есть ещё одна важная характеристика системы аксиом – т. н. полнота. Непротиворечивая система аксиом называется полной, если всякое истинное суждение в ней (касающееся ее объектов) является в ней теоремой или аксиомой (т. е. выводимо).

Для полной системы все ее модели изоморфны. Грубо говоря, полная система аксиом определяет, с точностью до изоморфизма, только одну теорию.

Оказалось, что гильбертова аксиоматика является полной. Иначе говоря, она определяет (с точностью до изоморфизма) единственную теорию – евклидову геометрию.

В качестве ещё одного примера рассмотрим так называемую абсолютную геометрию, т. е. систему теорем, которые вытекают из всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы параллельности. Очевидно, что система аксиом абсолютной геометрии неполна. Добавив к её аксиомам аксиому параллельности, мы получаем одну теорию – евклидову геометрию. Включив в систему тех же аксиом отрицание аксиомы параллельности, приходим к другой, неизоморфной первой теории – геометрии Лобачевского.

4. Независимость

Любая система аксиом должна обладать свойством независимости (хотя оно менее существенно, чем непротиворечивость и полнота). Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом невозможно доказать как теорему исходя из остальных аксиом. Напр., аксиома параллельности независима от остальных аксиом геометрии (поскольку не только система аксиом, в которой данная аксиома выполняется, непротиворечива, но и система аксиом, в которой выполняется отрицание аксиомы параллельности, также непротиворечива). Вообще, чтобы доказать независимость какой-либо аксиомы от остальных, надо построить две модели, в одной из которых выполняются все аксиомы, включая и выбранную, а в другой модели выполняются все аксиомы, кроме выбранной – она не выполняется.

3. Теоремы Курта Гёделя (1906–1979) как указание на ограниченность формальной логики


1. Отсутствие механической процедуры определения общезначимости логической формулы

Если некоторая замкнутая формула является общезначимой, то в этом можно убедиться за конечное число шагов с помощью исчисления предикатов. А что делать, если формула не общезначима? Здесь кончается аналогия с пропозициональными формулами, нетавтологичность которых, по крайней мере в принципе, устанавливается перебором конечного количества возможных значений переменных. Одно из важнейших достижений математической логики состоит в том, что было доказано:

Не существует универсального метода, который позволял бы по произвольной замкнутой формуле исчисления предикатов узнавать, является ли эта формула общезначимой. Иными словами: определение общезначимости – дело не механическое.

Разместил: rat Дата: 20.03.2009 Прочитано: 6631
Распечатать

Всего 1 на 4 страницах по 1 на каждой странице

<< 1 2 3 4 >>

Дополнительно по данной категории

20.03.2009 - Природа логики
20.03.2009 - Нормативный характер логики
20.03.2009 - Основания формальной логики
20.03.2009 - Логические ошибки и парадоксы

Нет комментариев. Почему бы Вам не оставить свой?

Вы не можете отправить комментарий анонимно, пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь.

философский камень
Полезное
Главная | Основы философии | Философы | Философская проблематика | История философии | Актуальные вопросы