На первый взгляд представляется, что разделение количества на прерывное (множество) и непрерывное (величину) у Аристотеля служит основанием разграничения предмета арифметики и предмета геометрии. Ибо число, основа арифметики, трактуется им как ограниченное пределом множество, следовательно, в терминах прерывного количества. Линия, плоскость и тело (что касается точки, то Аристотель истолковывает ее как общую границу, в которой приходят в соприкосновение части линии) — основные понятия геометрии — определяются им в терминах непрерывного количества (линия, плоскость, тело есть непрерывные количества, различающиеся между собой числом направлений протяжения). В «Категориях», в частности, отмечается, что примерами прерывных (раздельных) количеств служат «число» и «речь», тогда как примерами непрерывных — линия, поверхность, тело. Основанием истолкования чисел и речи в качестве прерывных количеств является отсутствие общей границы, в которой соприкасались бы, становясь непрерывными, части этого рода количеств. Согласно Аристотелю, все числа «всегда стоят раздельно», «у числа нельзя найти общую границу его частей, но они всегда стоят раздельно, поэтому число принадлежит к раздельным количествам» . Разъясняя эту мысль, он пишет: «Если пять есть часть десяти, то пять и пять не соприкасаются ни у какой общей границы, но они стоят раздельно». Прерывной является и речь, которая в качестве количества измеряется коротким и долгим слогом. Эти последние, подобно числам, не имеют общей границы, в которой они могли бы прийти в соприкосновение (следовательно, стать непрерывными). Ибо каждый слог «стоит раздельно — сам по себе».
Что же касается геометрических объектов (линии, плоскости, тела), то в отличие от числа и речи для них характерно наличие общей границы, превращающей их в непрерывные количества. В частности, непрерывность линии состоит в том, что части ее смыкаются в общей границе, которой является точка. Общей границей для плоскости является линия, в которой соприкасаются, сходятся части поверхности. Наконец, общей границей для тела является плоскость, в которой соприкасаются части тела.
Это чисто формально-логическое различение объектов арифметики и геометрии на основании дихотомии прерывных и непрерывных величин имеет у Аристотеля и определенное методологическое обоснование, заключающееся в том, что при исследовании категории количества невозможно принимать одновременно противоположные его определения. «Количеству, — пишет он, — нет ничего противоположного... разве только, если сказать, что многое противоположно малочисленному или большое — малому»
В противном случае «окажется, что одно и то же принимает вместе противоположные определения и что предметы бывают противоположными сами себе... но, конечно, ничто не бывает вместе белым и черным; а также и среди всего остального нет ничего, что принимало бы вместе противоположные определения». Утверждая здесь универсальность принципа противоречия, согласно которому ни вещь, ни наше понятие о ней не должны иметь одновременно противоположных определений, Аристотель тем самым будто бы признает справедливость этого принципа и для понимания природы математических объектов — числа, линии, плоскости и т. д.
Зафиксировав объективное противоречие в содержании основных математических объектов, Аристотель предложил способ его разрешения, заключающийся в различении потенциального и актуального бытия, с одной стороны, и идее перехода потенциального бытия в актуальное — с другой, тем самым в своеобразной форме раскрыв диалектику прерывного и непрерывного. Согласно Стагириту, линия, как и время, потенциально делима до бесконечности, хотя актуально она не может быть разделена до бесконечности. Как и в случае физических объектов, бытие объектов математических характеризуется тем, что они приобретают противоположные исходным качества при переходе из потенциального состояния в актуальное, т. е. в процессе движения.
|
