Атомизм в математике
Атомизм не остался у Демокрита всего лишь физическим воззрением. Он – мыслитель очень последовательный. Став на точку зрения атомизма, он стремился провести ее и в других областях науки.
Одной из таких областей была математика. Демокрит – выдающийся математический ум древности. Математическая теория Демокрита привела к первым успехам метода исчерпывания (предвосхитившего интегральное исчисление), ибо сам Архимед признал, что Демокрит первым сформулировал теорию объемов конусов и пирамид.
Атомистическая концепция математики, развитая Демокритом, заключается в том, что Демокрит признал математические тела (конус, пирамиду) состоящими из плоскостей, налагающихся друг на друга, но отделенных друг от друга, как и физические атомы, пустым пространством. Так, конус состоит, согласно этому взгляду, из большого числа кружков, расположенных параллельно основанию конуса в порядке убывания их радиусов по направлению к вершине. Тонкость сечений их такова, что они не могут быть восприняты нашими чувствами. И такова же тонкость слоя пространства, отделяющего сечения друг от друга. В свою очередь или, на которые разлагаются тела, составляются из линий, а – из неделимых точек. Неделимые точки недоступны никакому дальнейшему делению: ни механическому, ни делению в мысли.
Из учения элейцев следовал скептический вывод, будто построить математику как науку, свободную от противоречий, невозможно. Наука эта до появления учения атомистов строилась на следующих аксиомах: 1) каждый геометрический объект делим до бесконечности; 2) бесконечно большое число элементов (не равных нулю), даже при условии, что все они чрезвычайно малы, всегда дает бесконечно большую сумму.
Вторая из этих аксиом была, как всякому известно в настоящее время, совершенно ошибочна. Однако в V в. до н. э. в греческой науке это ошибочное утверждение не только считалось истинным, но принималось как самоочевидное.
Опираясь на это общепринятое утверждение и допустив в виде условно принятого тезиса возможность бесконечной делимости целого на части, Зенон и развил аргументы, из которых следовало, что, будучи принятыми, эти положения с необходимостью приводят математику к противоречию. Теория эта одновременно допускала и то, что каждое тело состоит из бесконечно большого числа непротяженных точек, недоступных дальнейшему делению, и то, что каждое тело может быть делимо до бесконечности. Но Зенон показал, что из сформулированных выше двух предположений этой теории с необходимостью следует противоречие: 1) сумма непротяженных точек, из которых состоит тело, непременно будет равна нулю, т. е. тело будет иметь нулевую величину, и 2) при бесконечной делимости любое тело как сумма бесконечно большого числа частей должно оказаться бесконечно большим. А так как противоречие, по Зенону, немыслимо, то Зенон приходит к выводу, будто предпосылка делимости тел ложна. Тела неделимы. Перед математикой возникла, казалось, серьезная трудность.
Атомистическая теория математики избавляла математику от противоречия, обнаруженного в ней критикой Зенона. Теория атомистов утверждала, что деление тела не может идти в бесконечность и что для частиц вещества существует абсолютный предел делимости. Атом и есть этот предел. Поэтому тело, разъясняли атомисты, состоит не из бесконечного числа частей, а из весьма большого, но все же конечного числа атомов. Поэтому всякое тело не должно оказаться во всех случаях бесконечно большим.
Атомистическая теория математики не только избавляла науку от затруднений, вскрытых критикой Зенона. Теория эта была применена Демокритом и его последователями для решения ряда проблем и задач самой математики. Взгляд на конус как на тело, состоящее из весьма большого числа тончайших, чувственно не воспринимаемых плоскостей – из параллельных основанию конуса кружков, был применен Демокритом для обоснования теоремы об объеме конуса. Демокрит выдвинул положение, что объем конуса равен трети объема цилиндра с тем же, что и у конуса, основанием и с равной высотой. Основываясь на том же взгляде, Демокрит высказал положение и об объеме пирамиды: объем этот есть треть объема призмы с тем же, что и у пирамиды, основанием и с той же высотой.
В стереометрии основным атомарным телом Демокрит считал пирамиду. Все тела, по Демокриту, могут быть разложены на пирамиды. Шар также рассматривался у Демокрита «как сумма чрезвычайно большого числа «иглообразных» пирамид с недоступными чувствам чрезвычайно малыми основаниями, совокупность которых образует поверхность шара, и с вершинами в его центре...». Иными словами, шар получает у Демокрита вид многогранника с недоступно для чувств большим числом граней.
Одной из важнейших особенностей атомистической теории математики было отрицание реальности иррациональных отношений. С тех пор как пифагорейцами была открыта несоизмеримость между стороной квадрата и его диагональю, проблема иррациональности не переставала занимать греческую математическую мысль. Пифагорейцев она не только занимала, но и тревожила в буквальном мысле этого слова. Ведь пифагорейцы утверждали, будто вещи – тела и будто все сущее может быть выражено числом. Поэтому открытие иррациональности означало для них настоящий кризис математики, казалось, подрывающий самые основы их философского учения. Именно поэтому открытие это на первых порах охранялось в глубокой тайне от непосвященных.
Основываясь на принципах атомизма, Демокрит снимает остроту проблемы. По Демокриту, все математические предметы – поверхности, линии – состоят из атомарных, т. е. неделимых, элементов. Но это значит, что никакие иррациональные отношения невозможны. Любое отношение каких угодно величин есть отношение между целыми числами, выражающими количества неделимых атомарных элементов. Диагональ квадрата, так же как и стороны его, состоит из весьма большого числа неделимых элементов, количество которых конечно и всегда может быть выражено целым числом.
Учение об умозрительном знании
Теория эта вступила в противоречие с непререкаемыми результатами геометрии. Для устранения противоречия Демокрит ввел различение видов знания – чувственного и умозрительного. Иррациональное отношение представляется реальным, согласно его объяснению, только для мысли, опирающейся на чувственное восприятие. Такую мысль Демокрит называет «темной». Для нее диагональ и сторона квадрата кажутся сплошными линиями, отношение между ними может быть иррациональным. Но для умозрения достигающего последних элементов реальности – атомарных элементов, в мире нет ничего иррационального.
У современных Демокриту ученых его теория математики встретила сильное сопротивление. И действительно, основное воззрение этой теории состояло в отрицании бесконечной делимости тел и величин. Атомистическая теория утверждала, будто такое идущее в бесконечность деление невозможно. Оно невозможно не только как реальное физическое раздробление материальной частицы на все более мелкие части. Оно невозможно даже в мысли – как мысленное продолжение деления, после того как достигнута технически осуществимая граница делимости. Теория Демокрита утверждает, будто для любого тела и для любого математического элемента существует предел делимости. Этот предел и есть атом – наименьшая величина в абсолютном смысле слова.
Математика, построенная Демокритом на основе этого воззрения, была свободна от внутренних логических противоречий. Однако положения этой математики явно противоречили чувственной интуиции реальности, на которую опиралась современная Демокриту и последующая античная математика. Но Демокрит апеллирует не к чувственной интуиции, не к непосредственному наглядному созерцанию. Его теория имеет в виду объекты, доступные только миру мысли. Теория Демокрита призывала порвать с обычным представлением, согласно которому начавшемуся делению тела или величины принципиально нельзя положить предела.
Склонить к принятию этого взгляда было трудно: доверие к чувственной интуиции было слишком сильно. Поэтому в своем значительном большинстве последующие математики и философы различных школ, в особенности аристотелевской, отвергли теорию Демокрита. Они провозгласили ее разрушающей основы математики. Уже Евклид, вопреки Демокриту, доказывал в первой теореме X книги своих «Начал», что в процессе последовательных делении всегда можно найти величину, меньшую любой заданной величины.
Атомисты в этом вопросе выступили против элейцев. Не менее четко, чем элейцы, они сохраняют различение знания чувственного и интеллектуального. Так же, как элейцы, атомисты утверждают, что чувствам недоступно непосредственное постижение истинно сущих элементов бытия, т. е. атомов. К убеждению в существовании атомов и к определению присущих им свойств приводит ум. Но при этом элейцы полагали, что познание, достигаемое умом, совершенно противоположно чувственным восприятиям. Напротив, атомисты видят в познании посредством ума не противоположность чувственным восприятиям, а их продолжение и углубление, уточнение. Достоверность интеллектуального познания имеет источник в том же чувственном восприятии.
По Демокриту, есть 2 рода познания: один – истинный, другой – темный. К темному относятся все следующие виды познания: зрение, слух, обоняние, вкус, осязание. Что же касается истинного познания, то оно совершенно отлично от первого. Однако отличие это не есть противоположность. Оно сводится, по сути, лишь к более углубленному проникновению с помощью ума в ту самую природу вещей, до которой не достигают полностью чувства: «Когда темный род познания уже более не в состоянии ни видеть слишком малое, ни слышать, ни обонять, ни воспринимать вкусом, ни осязать, но исследование должно проникнуть до более тонкого, недоступного уже чувственному восприятию, тогда на сцену выступает истинный род познания, так как он в мышлении обладает более тонким познавательным органом».
Теория познания
Демокрит первый пытался раскрыть механизм каждого отдельного вида ощущений. Особенно интересна предложенная им теория зрительных ощущений. Видение, по мнению Демокрита, возникает из отражения, однако это отражение не зеркальное. Оно не прямо возникает в зрачке, а воздух, находящийся между глазом и рассматриваемым предметом, «получает отпечаток, сдавливаясь видимым и видящим». Затем воздух, став плотным и приняв другой цвет, отражается во влажной части глаз.
Материалистическим у Демокрита было понимание не только ощущений, но и мышления. Демокрит ставил мышление в зависимость от смеси, образующей тело. Мышление он мыслит как процесс, соответствующий гармоничному смешению веществ, из которых состоит душа. Мышление, хотя и основанное на ощущениях и носившее у Демокрита вполне телесный характер, тем не менее ставилось у него выше всего; ощущения, взятые сами по себе, ложны.
Познание Демокрит объяснял также с атомистических позиций. Ощущения, считал он, возникают вследствие того, что от предмета исходят истечения атомов, которые, воспринимаясь органами чувств, вызывают представления. Однако сущность вещей мы познаем не ощущениями, а мышлением. Поэтому, не отрицая значения чувственного познания как первичной формы постижения вещей, Демокрит все же называл его «темным», отдавая предпочтение «ясному», т. е. разумному, рациональному, познанию.
Поскольку существуют лишь атомы и пустота, то и все наше знание происходит из истечения (флуктуация) атомов из тела. Атомы, исходя из тел, создают некоторые образы, или, как их еще называют, идолы, которые состоят из круглых, чрезвычайно подвижных атомов, но сохраняют форму исходного тела. Истечение этих атомов и воздействие их на наши органы чувств позволяют вызывать у нас ощущения осязания, или вкуса, или запаха. Атомы, колебля воздух, вызывают ощущения звука. А идолы, которые исходят из тел, т.е истечения из них, порождают в нас зрительное восприятие этих предметов. Поэтому мы можем видеть предметы и издали, и это отнюдь не противоречит атомному пониманию вещества. Наоборот, даже те явления, которые, казалось бы, не вписываются в картину мира, предложенную Демокритом, как сновидения, галлюцинации, предчувствия, также объясняются Демокритом при помощи его концепции истечения образов, или идолов, из тела. Когда человек бодрствует, то на него действуют те истечения, которые активно влияют на наши органы чувств. Когда человек спит, его зрение, слух, другие органы чувств как бы замирают и грубые, основные истечения на человека не действуют. И человек начинает воспринимать более тонкие истечения. Поэтому человек может видеть те события, которые он в нормальном, обычном состоянии не видит. Человек может предчувствовать то, что будет потом, потому что на него воздействовало некоторое тонкое истечение. Таким образом объясняется все многообразие психических явлений.
|
