Интенция | Все о философии
Регистрация или вход Регистрация или вход Главная | Профиль | Рекомендовать | Обратная связь | В избранное | Сделать домашней
Меню
Основы
Онтология
Гносеология
Экзистенциология
Логика
Этика

История философии
Досократики
Классический период античной философии
Эллинистическая философия
Cредневековая философия
Философия эпохи возрождения
Философия Нового времени
Философия Просвещения
Классическая философия
Постклассическая философия

Философия общества
Проблемы устройства общества
Философская антропология

Философия религии
Буддизм
Ислам
Христианство

Опрос
Ваш интерес к философии обусловлен

Учебой
Работой
Интересом
Самопознанием
Другим


Результаты
Другие опросы

Всего голосов: 1542
Комментарии: 1

Развитие логических идей от античности до начала ХХ века

Поиск

[ Главная | Лучшие | Популярные | Список | Добавить ]

Филон
Стоики - творцы античной формы пропозиционального исчисления
Август Де Морган — основоположник логической теории отношений
Исчисление классов Джорджа Буля
Эрнст Шредер
Алгебро-логическое наследие П.С. Порецкого
Алгебро-логическая проблематика у родоначальника семиотики Ч. С.Пирса
Логистика Готлоба Фреге (1848—1925)
Джузеппе Пеано и его школа

Филон

Ученик Диодора Филон из Мегар может считаться родоначальником теории материальной импликации. Секст-Эмпирик свидетельствует: “Филон учил, что истинная связь бывает тогда, когда антецедент не истинный или когда консеквент верен, так что, согласно его мнению, истинная связь получается тремя способами, а ложная - только одним”.
Другие авторы так передают точку зрения Филона: “Условная связь истинна, если и только если она не имеет истинного антецедента при ложном консеквенте”. Филон выступал против идей Диодора Кроноса сузить понятие импликации путем связывания ее с концепцией формального смысла. По преданию, Филон полемизировал и со стоиком Хризиппом (не только по методологическим вопросам, но и по теории импликации); ниже мы убедимся в том, что и у Хризиппа были представлены начатки концепции материальной импликации. Его расхождения с Хризиппом шли, в основном, по линии различий в трактовке категорий логики модальностей.
Боэций свидетельствует: “Филон говорит, что “возможность” есть то, что совместимо с истиной согласно внутренней природе соответствующего высказывания; так, например, я говорю, что буду иногда днем читать “Буколики” Теокрита. Если нет внешних обстоятельств, могущих помешать этому, то тогда, рассматриваемое само по себе, это высказывание может утверждаться как истинное. Подобным же образом определяет Филон и “необходимость” - как то, что, будучи истинным, никогда не может, рассматриваемое само по себе, оказаться совместимым с ложью. “Не необходимость” он трактует как то, что, рассматриваемое само по себе, может быть совместимо с ложью, а “невозможность” как то, что по своей внутренней природе никогда не может быть совместимой с истиной”. Легко видеть, что основой модальных понятий для Филона является категория возможности, понимаемая как несамопротиворечивость.
Трудно переоценить историческое значение фактически наметившегося у Филона истолкования импликации как функции истинности - истолкования, принятого ныне в классическом пропозициональном исчислении.
Дискуссии по проблеме истинности условных предложений, развернувшиеся в стоико-мегарской логической школе, не получили широкого резонанса в античном мире. Отчасти это было связано с тем, что логические расхождения зачастую напрасно связывались с соответствующими онтологическими различиями. Постепенно взяла верх содержательная (не формальная!) трактовка логического следования. Эта тенденция заметна в Древнем Риме, заметна она и в Средневековье. Новый взлет теории материальной импликации можно связать лишь с именем Ч. С. Пирса (ХIХ в.).
Подробнее Разместил: czaar Дата: 13.05.2009 Прочитано: 6000 Комментарии
Распечатать

Стоики - творцы античной формы пропозиционального исчисления

Стоицизм явился продуктом цивилизации эллинизма. Как философская доктрина стоицизм представляет собой своеобразный синтез идей Гераклита, мегариков, Аристотеля и отчасти Платона. Необходимо учитывать, что эволюция стоических учений протекала на фоне заметного роста математических, естественных и технических наук. Возникают крупные научные центры. Египетская Александрия оказывается серьезным конкурентом Афин. Александрийскую математическую школу возглавляет знаменитый Эвклид (IV - III вв. до н. э.), известные “Начала” которого навсегда вошли в золотой фонд геометрической культуры человечества.
Знаменитым современником Эвклида был Архимед (287 - 212 гг. до н. э.) - основоположник механики и гидравлики.
На ту же эпоху падает деятельность гениального астронома Эратосфена (276 - 194 гг. до н. э.), известного также как автора метода определения простых чисел посредством так называемой решетки Эратосфена. Наконец, современником стоика Хризиппа был знаменитый геометр Аполлоний (247 - 222 гг. до н. э.) из Перги в Памфлии, автор известных работ о конических сечениях.
Цель логики, по учению стоиков, состоит “в подготовке разума к изучению физических и этических положений”. Нельзя не заметить в таком подходе известного родства с тезисом Аристотеля о логике как пропедевтике философии. Однако в действительности стоики пришли к гораздо более широкой и плодотворной теории логики, чем та, которая была намечена у Стагирита. Силлогистика последнего - всего лишь весьма узкий раздел современного исчисления предикатов (именно одноместного исчисления предикатов), тогда как логическая доктрина Стои в форме исчисления высказываний является необходимым элементом любого логического формализма.
Понятие трактуется стоиками как осмысленное представление. Согласно стоикам, общее не имеет никакой реальности за пределами мышления. Истина - особый вид предиката. Наука имеет дело с индивидуальными обьектами, общее как таковое реально не существует.
Состав логики определялся стоиками в связи с их учением о внутренней и внешней речи. Согласно свидетельству Секста Эмпирика, основное место в их логике занимала теория высказываний (если пользоваться современным языком символической логики), которыми стоики оперировали как едиными нерасчлененными целыми. То обстоятельство, что в логике стоики говорят не о мыслях, а о высказываниях, естественно поставить в связь, с их общими номиналистическими установками.
Основным типом суждений у стоиков считаются условные высказывания формы “если p, то q”, где p есть основание (антецедент), а q - следствие (консеквент). Стоики делят высказывания на простые и сложные. Например, если p есть простое высказывание, то высказывания “p и q”, “p или q”, “не-p или q” должны рассматриваться как сложные. Сложные высказывания образуются таким образом из простых с помощью грамматических союзов и частиц вроде “не”, “или”, “и”, и т. п. и их языковых эквивалентов. Стоики различали два вида дизъюнктивных предложений: с одной стороны, дизъюнкцию в неразделительном (“или также”), с другой стороны, строго разделительную дизъюнкцию (“либо”).
В последнем случае они налагали на дизъюнктивное суждение требование, чтобы имела место взаимоисключаемость альтернатив. Cамо собой разумеется, что последнее требование не предъявлялось ими к сложным суждениям с нестрогой дизъюнкцией.
Логические достижения стоиков достигли апогея у Хризиппа из Стои (в Киликии) (по одному свидетельству, - 281 - 208 гг. до н.э., по другому, - 278 - 205 гг. до н. э.). Его считают как бы вторым основателем Стои. Хризипп был последователем Зенона - стоика. О размахе литературной деятельности Хризиппа можно судить по тому, что, согласно преданиям, он написал 705 (!) книг, из которых 311 были посвящены вопросам логики. При раскопках Геркуланума (Италия) был найден трактат Хризиппа на тему: “Логические исследования”.
В логике Хризипп ввел принцип бивалентности для предложений, согласно которому каждое предложение может получить только одно значение истинности, - быть либо истинным, либо ложным. Данный принцип следует отличать от закона исключенного третьего Аристотеля. Излагая логику Хризиппа, Цицерон писал: “Фундаментом диалектики служит тезис, что всякое высказывание (то, что называют “аксиомой”) или истинно, или ложно”. Другими словами, принцип бивалентности гласит, что областью определения высказываний являются только истина и ложь. “Хризипп, - продолжает далее свидетельствовать Цицерон, - напрягает все силы для доказательства того, что всякая “аксиома” или истинна или ложна”.
Хризипп (наряду с Гиппархом) занялся обстоятельным изучением условных суждений. Он вычислил, что из десяти утвердительных суждений можно получить 103049, а из десяти отрицательных суждений образуется 310952 комбинаций условных высказываний.
Достаточно красноречиво определяет роль Хризиппа Диоген Лаэрций: “Если бы не было Хризиппа, то не было бы и стоической школы”.
У Хризиппа представлена теория материальной импликации. Согласно свидетельству Диогена Лаэртского, воспроизведенному Карлом Прантлем, у стоиков связь X  Y (где знак “” есть сокращение для “если..., то”) ложна, лишь если X верно, а Y (одновременно не верно). Например, ложно суждение “если земля существует, то она летает”, в то время как следующие 3 суждения истинны: (I) если земля существует, то она не летает; (II) если земля не существует, то она не летает; (III) если земля не существует, то она летает (пример Хризиппа). Итак, стоики сформулировали формальные условия для истинности сложных суждений, явно встав на путь трактовки их как истинностных функций.
Существенным моментом изложенного понимания импликации было то, что она определялась стоиками без использования модальных понятий. В этом смысле импликация Хризиппа противостоит индуктивно-модальной интерпретации условного высказывания у Диодора Кроноса.
Особого рассмотрения заслуживает модальная пропозициональная теория стоиков. Хризипп выясняет здесь основные соотношения между категориями “возможно”, “невозможно”, “необходимо” и “не-необходимо”. По свидетельству Боэция, он так определяет первые три из этих понятий: “Стоики заявляли, что имеется “возможность”, которая тяготеет к истинному утверждению, когда обстоятельства таковы, что хотя они и являются внешними по отношению к ней, но, взятые вместе, не мешают ей каким-либо образом осуществиться. “Невозможность” - есть то, что никогда не совмещается с какой-либо истиной, поскольку другие обстоятельства, независимо от своего исхода, препятствуют ей осуществиться.
Главная заслуга стоиков - это их идея об аксиоматизации логики и закладка фундамента пропозиционального исчисления. В качестве основного правила вывода они использовали modus ponens (“если есть первое, то есть и второе; но первое есть; следовательно, есть и второе”), записывая логические переменные (переменные для высказываний) при помощи порядковых числительных. Modus ponens есть первый, не подлежащий доказательству, силлогизм стоической логики. Вторым, не подлежащим доказательству силлогизмом является modus tollens (“если есть первое, то есть и второе; но второго нет; следовательно, нет и первого”). Умозаключение: “не верно, что первое и второе одновременно сосуществуют; первое есть; следовательно, нет второго” - третий недоказуемый силлогизм стоиков. На основании перечисленных аксиоматически принимаемых тезисов стоики следующим образом доказывали сложный закон транспозиции, который они формулировали в виде правила так: “Это правило сводится к аргументации, согласно второму и третьему, не подлежащим доказательству модусам, как этому можно научиться из анализа, который явится более очевидным для нас, если мы учение о модусе сформулируем так: “если первое и второе, то третье; пусть третье отрицается, однако, берется и первое; таким образом, получится отрицание второго”. Другими словами, если доказана посылка ((р  q)  r) и доказана посылка р  ( означает здесь не-r, а знак “” заменяет союз “и”), то стоики утверждают, что будет доказана и посылка не-q ( ). Доказательство стоиков таково: из посылок (р  q)  r) и по modus tollens они выводят суждение , то есть “неверно что p и q”. Затем из уже доказанного положения и посылки p по третьему не подлежащему доказательству (аксиоматическому) силлогизму выводится суждение . Именно таково доказательство стоиков в изложении Секста Эмпирика: “ибо тогда мы имеем импликацию, в которой антецедентом является конъюнкция, а именно “первое и второе”, консеквентом же является “третье”, причем у нас имеется противоположное консеквенту, то есть “не третье; присоединяется же у нас противоположное антецеденту, то есть “не оба: первое и второе” согласно второму, но подлежащему доказательству модусу. Но все это содержится в правиле потенциально, поскольку у нас посылки будут соединенные... При построении с оставшейся посылкой, а именно - с первым положением, мы будем иметь сводный вывод “следовательно, не второе, согласно третьему, не подлежащему доказательству модусу”. Анализируя это доказательство стоиков, Я. Лукасевич замечает: “Это одно из самых точных доказательств, которым мы обязаны стоикам” ... “компетентные логики 2000 лет тому назад рассуждали таким же образом, как мы это делаем сегодня”.
Современная формула закона сложной транспозиции такова:
((р  q)  )  ((р  )  ).
Анализировали стоики и умозаключения со строгими дизъюнкциями в посылках (четвертый и пятый модусы Хризиппа), а именно умозаключения: (((p q)  p)  ) и (((p q)  )  p), где “ ” есть символ строгого “или”. Любопытно, что Прантль, рассматривая эти модусы в своем обзоре стоической логики, считает их излишними, поскольку четвертое умозаключение якобы попросту повторяет третий недоказуемый силлогизм. Правыми оказались стоики, а не Прантль, который, выражаясь современным языком, ошибочно отождествил p q с отрицанием конъюнкции p  q. На самом деле, p q равнозначно с отрицанием эквивалентности p q. Что касается стоиков, то они нигде не допускали логических ошибок подобного рода. Хризиппу было известно правило, согласно которому стоики умели определять один функтор в терминах другого (других). В приведенном выше соотношении дизъюнкция выражается через импликацию, отрицание и конъюнкцию.
По преданию, Хризиип посвятил три книги разбору эвбулидова парадокса “куча”. Вместе с Филетом Косским долго бился он над решением антиномии “лжеца”. Специальному рассмотрению подвергли стоики так называемые суждения с отношениями (например: “Софрониск - отец Сократа”) и основанные на них умозаключения с отношениями.
Логики поздней стоической школы считали, что умозаключения: (I) если a присуще всякому b, а b, присуще всякому c, то a присуще всякому c, и (II) если a больше b, а b больше c, то a больше c, - оба являются частным случаем формулы: (III) если a находится в отношении R к b, а b находится в отношении R к c, то а находится в отношении R к c. Умозаключения типа (II) стоики именовали “дающими заключение не по методу, которые теперь называются несиллогистическими.
В теории отношений, рассматриваемых с содержательной точки зрения, Хризипп намечает следующие пять основных видов отношений: (1) предшествования (“X раньше Y”), (2) причинности (“голод вызывает болезни”), (3) присущности (“небо обладает голубизной”), (4) строго дизъюнктивное (“сейчас день или ночь”), (5) количественное (сюда включается, например, отношение типа равенства, сравнение предметов по их величине, и т. п.).
Во-первых, логика стоиков есть логика высказываний, в то время как логическая теория Аристотеля есть теория родовидовых отношений в поле общих терминов. Во-вторых, преимущественное внимание стоики уделяли анализу сложных (и в первую очередь условных) высказываний, тогда как Стагирита больше интересовала теория категорических простых суждений. В-третьих, если логика Аристотеля есть узкий фрагмент логики имен и предикатов, то логика стоиков является пропозициональной (логикой высказываний как целых). Наконец, в-четвертых, логика стоиков покоится на номиналистическом фундаменте, тогда как логика Стагирита явилась предпосылкой к учению о реальности понятий в средневековой схоластике.
Подробнее Разместил: czaar Дата: 13.05.2009 Прочитано: 5302 Комментарии
Распечатать

Август Де Морган — основоположник логической теории отношений

1. Вехи творческого пути


Хотя начатки исчисления отношений восходят еще к И. Ламберту и Г. Плукэ, однако именно английский логик и математик Де Морган может быть назван подлинным основоположником логического анализа отношений.
По происхождению шотландец, Август Де Морган родился в июне 1806 г., в Индии, в округе Мадрас. Обучался математике в качестве общника (fellow) в Тринити Колледже в Кембридже. В 1828 г. Морган становится профессором математики при только что открывшемся Лондонском университетском колледже, который является ныне частью лондонского университета. Профессура Моргана падает на время с 1828 по 1831 гг. и с 1836 по 1866 гг. Видный педагог и страстный библиограф, он с 1847 г. выполнял также обязанности секретаря королевского астрономического общества и, кроме того, явился основателем и первым президентом (1866) Лондонского математического общества. А. Морган известен и как отец Уильяма Френда Моргана (1839—1917) — английского писателя, артиста и изобретателя. Любопытно отметить, что в числе учеников А. Де Моргана была дочь Байрона леди Августа Лавлейс, автор пространных комментариев к итальянскому описанию универсальной вычислительной машины Чарльза Бэббиджа.
Длительное время (с 1846 по 1855 г.) А. Морган полемизировал с У. Гамильтоном по вопросам математической обработки дедуктивной логики (в том числе по проблеме квантификации предиката). По признанию самого Моргана, его дискуссия с Гамильтоном была похожа на “спор кошки с собакой”. Однако, учитывая слабое здоровье своего оппонента, Морган зачастую смягчал формы выражения своего полемического задора. Гамильтон, в конце концов, вынужден был капитулировать и перестал оспаривать приоритет Моргана в математической трактовке приемов классической логики. К сожалению, оба спорщика были мало осведомлены о своих предшественниках (например, о И. Ламберте и Г. Плукэ) и изображали лишь себя создателями символического языка для выражения отношений.
А. Де Морган отчетливо сознавал оперативный характер алгебраической символики и был твердо убежден в возможности построения алгебры, отличной от общепринятой. Его работа “Формальная логика или исчисление необходимых и вероятностных умозаключений” вышла в одном году с “Математическим анализом логики” Джорджа Буля. Работа содержит развитую систему исчисления отношений. Морган употребляет здесь термин “calculus of inference” как синоним для выражения “формальная логика”. Особая глава в посвящена теории логических ошибок.
Одной из причин, подготовивших оформление символической логики в Британии 40-х гг. XIX в., явилось то обстоятельство, что наиболее крупные английские логики этого периода (Дж. Буль, А. Де Морган) были математиками, работавшими в области операционного исчисления. Это формальное символическое исчисление, над разработкой которого трудились и А. Де Морган и Дж. Буль, за пределами математики не находило приложений, а в самой математике наталкивалось на ряд трудностей. Естественно предположить, что поэтому Морган и Буль и попытались найти приложение этого исчисления в логике (причем каждый из них интерпретировал в логике свой собственный вариант операционного метода). Так логика и послужила, пожалуй, опытным полем для операционного исчисления британских математиков. В дальнейшем, впрочем, логическое творчество приобрело для них и самостоятельный интерес.


2. Основоположения логики отношений


Исходным моментом в реформе Моргана классической логики явился его анализ трудностей в трактовке связки в суждениях. Согласно Моргану, связка должна рассматриваться как носитель отношений. Бесконечное множество последних не может служить препятствием для формального анализа типов выражающих их связок, для выявления общих свойств связок. Эти свойства суть свойства типа симметричности, транзитивности и т. п. Их описание (т. е. анализ видов отношений) потребовало от Моргана построения развитого символического языка, различающего объекты (обозначаются буквами X, Y, Z,...) и отношения (обозначаются буквами L, М, N...), а также знаки для логических функторов, которые в различных работах Моргана изображаются по-разному.
Алгебра отношений Моргана включала в себя следующие шесть основных операций :
(1) МN' (логическая сумма отношений М и N),
(2) МN (логическое произведение тех же отношений),
(3) п (операция получения дополнительного для N отношения; словесно: не-N; Морган именовал п “контрарным” отношением),
(4) N-1 (операция получения конверсного отношения или конверсии N),
(5) MN(операция порождения относительной суммы отношений М и N).
(6) М (N) (операция порождения относительного произведения отношений M и N или “композиции” тех же отношений).
Вот текст, где Морган вводит выражения с отношениями, необходимыми в теории силлогизма: “Мы имеем также три символа для сложных отношений; LМ, т. е. L от некоторого M; LМ', т. е. L от каждого М; L, М, т. е. L только от М. Никакие другие сложные отношения не нужны в силлогистике, за исключением того случая, когда посылки сами содержат связанные отношения”. У Моргана в некоторых его работах выражение Х.LY означает, что Х не стоит в отношении L к Y. Теперь приведем отрывок, в котором вводятся операции конверсного и дополнительного отношений: “Конверсия отношения L, а именно L-1, обычно определяется так: если Х..LY, то Y..L-1X: если Х есть L от Y, то Y есть L-1 от X. Выражение L-1Х можно прочесть так: “L — конверсия от X”.
Если Х не является каким-нибудь L от Y, то Х стоит к Y в отношении не-L; это контрарное отношение может быть обозначено через l; таким образом, если задано X. LY, то задано и X. lL. Контрарные отношения могут быть сложными. Выражение Хх, т. е. одновременно Х и не-Х, невозможно. Однако lLх, т. е. L от не-L от Х возможно. Так, может быть какой-то приверженец противников х”.
И, наконец, Морган так определяет понятие “композиции” отношений: “Когда предикат некоторого отношения сам является субъектом другого отношения, то тогда имеет место композиция отношений: итак, если X.. L(МY), причем Х есть L от М от Y, то мы можем рассматривать Х как “L от М”, выражая это обстоятельство через X..(LМ) Y или просто через X.. L М Y”.
Установив основные операции своей алгебры отношений, Морган переходит затем к формулировке ряда теорем этой алгебры. Он пишет: “Контрарные отношения от конверсных отношений суть конверсные отношения: так, не-L и не-L-1 взаимно конверсны. Ибо выражения Х..LY и Y..L-1 Х тождественны, следовательно, Х…-LY и Y.. (не-L-1) Х также тождественны как их простые отрицания; итак, не-L и не-L-1 взаимно конверсны. Конверсные отношения от контрарных отношений суть контрарные отношения: так, L-1 и (не-L)-1 взаимно конверсны. Ибо Х..LY и X.. не-LY суть простые отрицания друг друга так же, как и их конверсные отношения Y..L-1X и Y… (не-L)-1Х; итак, L-1 и (не-L)-1 взаимно контрарны. Отрицание конверсии есть конверсия отрицательного отношения: не-L-1 есть (не-L)-1. Ибо X.. LY тождественно с Y. не-L-1 Х и с Х (не-L) Y, что также тождественно с Y (не-L -1)Х”.
Итак, Морган утверждает, что: 1) отрицание взаимно конверсных отношений дает взаимно конверсные отношения, 2) конверсия взаимно дополнительных отношений дает взаимно дополнительные же отношения и 3) дополнение к конверсии есть конверсия дополнительного отношения.
Морган делит отношения, прежде всего, на два больших класса: транзитивные (переходные) и нетранзитивные (непереходные).
Дав вполне строгое определение понятия транзитивности отношения, Морган далее заключает: “Если данное отношение транзитивно, то и его конверсия также транзитивна, однако его отрицательное отношение не обязано, вообще говоря, быть транзитивным”. В самом деле, если, например, отношение “больше” транзитивно, то и отношение “меньше” также транзитивно, в то время как, например, из посылок “х не отец у” и “у не отец z” не следует, что “х не отец z”.


3. Разработка проблем и обогащение традиционной логики


Морган выступил инициатором применения логических исчислений к обоснованию теорем теории вероятностей, предварив аналогичное стремление Дж. Буля. На этом пути Морган хотел продемонстрировать работоспособность своего исчисления, понятия которого он прежде всего “переводит” на теоретико-вероятностный язык.
Моргану принадлежит также идея трактовки отрицания понятия как дополнения до существующего “универсума рассуждения” (аналог современного понятия об универсальном классе). Это последнее понятие, которое стало играть в дальнейшем столь важную роль в логических системах Дж. Буля и П.С. Порецкого, также было впервые выдвинуто Де Морганом. Дополнение к данному классу рассматривается им как совокупность предметов, не содержащихся в этом данном классе, но отграниченных вместе с последними рамками определенного универсального класса, выделяемого (посредством внелогических критериев) обычно для системы понятий некоторой научной дисциплины или ее отдельного фрагмента.
Важное место в логических исследованиях Де Моргана занимает также изучение выводов из количественно определяемых предложений, не укладывающихся в силлогистические рамки. Такие выводы анализируются Морганом вслед за И. Ламбертом. Элементарным примером этого типа умозаключений может служить следующий вывод: “большая часть М есть Р” и “большая часть М есть S”, отсюда с необходимостью вытекает, что некоторые S суть Р. Таким образом, Морган приходит к выводу об ограниченности сферы действия традиционного правила: “из частных посылок ничего не следует”. Он рассматривает комбинации из таких частных суждений, устанавливает некоторые формальные критерии для составляемых из них умозаключений и т. д. Тем самым, строится нечто вроде логики оперирования с частными посылками.
В математической логике известны законы Моргана, согласно которым конъюнктивные выражения могут быть переформулированы в эквивалентные им дизъюнктивные; равным образом и наоборот. Правда, в последующем отрылось, что эти соотношения были известны логикам еще очень отдаленного времени.
Работы Моргана не были в достаточной степени поняты его современниками. Сложная и не всегда единообразная символика отпугивала многих читателей, склонных прагматически требовать от новой теории немедленных практических приложений. Основное историческое значение системы Де Моргана сводится главным образом к тому, что она стимулировала развитие алгебры отношений Ч. С. Пирса и дала толчок Дж. Булю к созданию исчисления классов, которое у Моргана было представлено явно недостаточно.

Подробнее Разместил: czaar Дата: 13.05.2009 Прочитано: 8824 Комментарии
Распечатать

Исчисление классов Джорджа Буля


Методологические идеи Джорджа Буля


Вопрос о методологических воззрениях Дж. Буля достаточно сложен. В большинстве случаев о них судят, основываясь лишь на его ранних высказываниях. Анализируя их, обычно приходят к выводу о том, что Буля можно рассматривать как предшественника формализма гильбертовского типа, с элементами психологизма в духе Д. С. Милля. Так, немецкий исследователь его творчества Г. Шольц, в частности, замечает: “Буль предвосхищает гильбертову идею математической теории и связанное с ней понятие о математике как о чисто структурном исследовании с такой степенью точности, которая вряд ли могла быть превзойдена самим Гильбертом”. В подтверждение своей точки зрения Шольц ссылается, в частности, на следующее, принадлежащее Булю высказывание: “Тот, кто знаком с современным состоянием символической алгебры, знает, что правильность процесса анализа не зависит от интерпретации употребляемых в нем символов, но исключительно от законов их комбинирования. Каждая система интерпретации, которая не нарушает истинности предположенных отношений, равнодопустима, и благодаря этому один и тот же прием может, применительно к схеме интерпретации, представлять собой решение вопроса относительно свойств некоторых чисел, рассматриваемых одно относительно другого, если речь идет, например, о математической задаче, или же в отношении к определенному третьему объекту, если имеют в виду, например, динамические или оптические задачи”.
Полезно также обратить внимание на то, как Буль определяет замысел своих “Законов мысли”: “Цель настоящего исследования состоит в том, чтобы изучить основные законы тех операций ума, посредством которых осуществляются рассуждения; — в том, чтобы дать выражение этих законов в символическом языке логического исчисления, и на этом основании утвердить логику как науку и ее методы, — в том, чтобы сделать эти методы базисом еще более общего метода в целях приложения его к математической теории вероятностей; и, наконец, в том, чтобы, объединив различные элементы истины, проложить путь к выдвижению некоторых вероятностных указаний, касающихся природы и структуры человеческого мышления”.
Итак, превращение логики в точную науку мыслится Булем с помощью трактовки ее предмета средствами математического аппарата. Уже в своей работе “Математический анализ логики” (1847) Буль писал: “Руководствуясь принципом правильной классификации, необходимо теперь связать логику не с философией, а с математикой”.
По Булю, общие взгляды на логику должны проливать свет и на выяснение природы интеллектуальных способностей. Отсюда можно лишь заключить, что Буль не игнорировал практический аспект логических исследований. Особое значение в этом отношении приобретает, с его точки зрения, раскрытие природы умозаключения. Изложение логики в форме исчисления отнюдь нс является, по Булю, произвольным актом, а продиктовано тождеством формальных особенностей логических преобразований и математических операций. С другой стороны, неправильно мнение о том, что предмет “математики ограничивается лишь понятиями числа и количества”. Несколькими строками ниже Буль категорически заявляет: “Занятие идеями числа и количества не составляет сущности математики”.


3. Основные черты логической системы Буля


Сначала мы изложим исчисление Буля в том виде, в каком оно сформулировано им самим. Многое покажется при этом современному читателю довольно странным и искусственным. Прежде всего, удивительна та легкость, с которой Буль переносит на логику законы арифметики и правила арифметических действий. Эта легкость приводила в недоумение уже современников Буля, которых особенно удивляло при этом то обстоятельство, что Буль всегда получал правильные результаты. Для того, чтобы понять ход мысли Буля, нам представляется необходимым изложить его исчисление по возможности ближе к оригиналу.
Основными операциями в логике Буля являются:
1. Сложение, обозначавшееся у него знаком “+”, в исчислении классов булевой формуле х + у соответствует объединение классов x и y с исключением их общей части, в исчислении высказываний - так называемая строгая дизъюнкция. Через объединение (соответственно, дизъюнкцию) “v”, пересечение (соответственно, конъюнкцию) “•” и дополнение (соответственно, отрицание) “—”, булево сложение может быть выражено следующим образом:
х + у = ху v x ,
где выражение заменяет отрицание y, о чем см. дальше.
2. Умножение, обозначавшееся знаком “•” или просто записью одного выражения рядом с другим (без знаков между ними); в исчислении классов этой операции соответствует пересечение, в исчислении высказываний — конъюнкция.
Неразделительное “или” может быть выражено через булево сложение с помощью следующих двух формул: х v у = x + y + xy и х v у = х + ху.
3. Дополнение х до единицы, обозначавшееся записью “1 - x”; в исчислении классов формула 1 - х означает дополнение к классу х, в исчислении высказываний — отрицание .
Буль рассматривает также вычитание, понимая его как операцию, обратную по отношению к операции сложения. Определение вычитания таково: х - у = х (1 - у).
Основным отношением, употребляемым в логической системе Буля, является отношение равенства. Через посредство этого отношения определяются в ней другие отношения и, в первую очередь, с его помощью определяется отношение включения для классов. Буль пользуется несколькими определениями отношения включения. Одно из них гласит: (х  y)  (х (1 - y) = 0), где 0 есть символ нулевого (пустого) класса.
Буль выясняет свойства введенных им операций, устанавливая коммутативный закон умножения: ху = ух, ассоциативный закон умножения: х(уz) = (ху)z, а также аналогичные законы для операции логического сложения. Он также формулирует дистрибутивный закон умножения относительно сложения: z(х + у) = zх + zу, дистрибутивный закон умножения относительно вычитания: z(х - у) = zх - zу. Основными свойствами равенства Буль считает следующие его свойства: (т) если х = у, то zх = zу и (п) если х = у, то z + х = z + y.
Перейдем теперь к описанию булевых способов решения логических уравнений. Эти методы, по Булю, соответствуют обобщенному представлению классических логических процедур. “Наиболее общая проблема логики, — замечает он, — может быть сформулирована так: задано логическое уравнение, содержащее символы x, y, z, w. Требуется найти логически интерпретируемое выражение для выяснения отношения класса, обозначенного через w, к классам, обозначенным через x, y, z и т. д.”. В другом месте Буль формулирует ту же проблему еще более кратко так: “Задано (логическое) уравнение; найти выражение одного термина и функции остальных”.
Приведем пример того, как Буль решает логические задачи, согласно предписаниям своего метода. Например, им сформулирована такая задача: условие — ответственные существа суть такие разумные существа, которые либо обладают свободой, либо добровольно от нее отказались. Что можно сказать о разумных существах в терминах существ ответственных, обладающих свободой или добровольно от нее отказавшихся? Обозначим через х ответственные существа, у — разумные существа, z — обладающие свободой и w — добровольно от нее отказавшиеся. Условие задачи тогда можно записать уравнением: х = у(z + w). Требуется определить y в терминах х, z, w, т. е. решить исходное уравнение относительно y. Проведенные Булем преобразования требуют для понимания серьезной математической подготовки, так как они используют так называемый ряд Маклорена и потому довольно сложны; мы не будем приводить их здесь. Их итоговым результатом является выражение, y = xz + xw + , которое получено из исходного уравнения.
Ответ задачи, таким образом, гласит: разумные существа суть либо ответственные существа, обладающие свободой и не пожертвовавшие ею, либо же такие ответственные существа, которые не обладают свободой и добровольно ею пожертвовали, либо, наконец, некоторые такие неответственные существа, которые не обладают свободой и добровольно от нее не отказались.
Из других методов можно упомянуть метод элиминации (исключения), при котором исходное уравнение путем преобразований освобождается от какой-то переменной и затем итоговое выражение получает интерпретацию. Рассмотрев технические аспекты процесса элиминации, Буль считает возможным квалифицировать этот процесс как силлогистический по своей формальной природе. Однако, по его мнению, дедукция не может быть во всех случаях сведена к элиминационным процессам.
Логические достижения Буля не были в достаточно ясной степени поняты его современниками, в частности, потому, что булево определение сложения наталкивало на построение логического исчисления, подобного арифметическому. Впервые такое построение было осуществлено советским математиком И.И. Жегалкипым, который в достаточно ясной форме показал существование связи между булевой алгеброй и кольцами характеристики два.
Принципы, положенные в основу логических исчислений выдающегося ирландского математика, позволили позднее выделить целый класс подобных алгебро-логических систем. В отдельную науку это направление исследований оформилось уже в начале XX в. В настоящее время под булевыми алгебрами имеют в виду такие непустые множества, для которых определены операции: объединения, пересечения и дополнения.
Самым важным применением теории булевых алгебр считается ее использование в математических доказательствах. Булев метод позволяет проще и легче доказывать многие фундаментальные теоремы исчисления предикатов. Булевы алгебры находят также широкое применение во многих неклассических системах логики.
Подробнее Разместил: czaar Дата: 13.05.2009 Прочитано: 5790 Комментарии
Распечатать

Эрнст Шредер

Одним из выдающихся продолжателей и систематизаторов результатов Буля и его школы является немецкий математик и логик Э. Шредер. В 1877 г. он опубликовал свой труд, в котором в предельно сжатой форме изложил алгебру логики и ввел в науный оборот термин “логическое исчисление”. Монументален его трактат “Лекции по алгебре логики”, опубликованный в 1890-95 гг., в котором не только продолжена разработка идей Буля, но излагаются и результаты, полученные его последователями. В отличие от Буля, взявшего за основу логического исчисления отношения равенства, Шредер построил свое исчисление на базе отношения включения класса в класс. Им введено понятие нормальной формы, открыт принцип двойственности (в логике классов).
Подробнее Разместил: czaar Дата: 13.05.2009 Прочитано: 4882 Комментарии
Распечатать

Алгебро-логическое наследие П.С. Порецкого

1. Общая оценка


Заметная роль в развитии алгебры логики на рубеже ХIХ-ХХ вв. принадлежит русскому логику и математику, профессору Казанского университета Платону Сергеевичу Порецкому.
Работы П.С. Порецкого существенно обобщают и развивают достижения Буля, Джевонса и Шредера. Известный французский ученый Л. Кутюра, книга которого “Алгебра логики" вышла в свет в 1904 г., считал методы П.С. Порецкого кульминационным пунктом в развитии алгебры логики в тот период. Работы Порецкого стоят на уровне не только трудов его коллег - современников, но и в части, касающейся алгебры логики, соответствующих разделов “Principia Mathematica” Уайтхеда и Рассела.
Исследования Порецкого продолжали оказывать стимулирующее влияние на развитие алгебраических теорий логики и в последующем. Это влияние сильнее всего ощущается в докторской диссертации А. Блэйка “Канонические выражения в булевой алгебре”, защищавшейся в Чикаго в 1938 г.... Метод Порецкого оценивается А. Блэйком значительно выше методов его предшественников. Так, метод Э. Шредера неудовлетворителен в том смысле, что неполно характеризует класс всех заключений, которые могут быть выведены из данного равенства. Таблица следствий Порецкого предназначена для этой цели. Соотечественник Блэйка - логик и математик Мак-Кинси, рецензирующий диссертацию Блейка, замечает, что приемы Блэйка стимулированы “таблицей следствий Порецкого, служащей для получения всех следствий булевского уравнения”.
У части его современников труды П.С. Порецкого получили заслуженно высокую оценку. В частности, в исследовании И. И. Ягодинского мы читаем: “Из русских ученых математической логикой с большим успехом занимался Порецкий”.
Авторы, использующие канонические формы булевой алгебры, и в последующее время непосредственно обращались к работам Порецкого. Так, в книге О. Беккера “Введение в логистику. В особенности в исчисление модальностей” отображены некоторые из достижений Порецкого. В главе первой параграфе втором этой книги излагается закон форм Порецкого. Беккер отмечает, в частности, что “из закона форм Порецкого вытекают также важные соотношения для логических неравенств. Теория логических неравенств русского ученого используется в дальнейшем самим Беккером в развиваемой им форме исчисления модальностей.
Мы ставим своей целью очертить по возможности логическую доктрину Порецкого, выяснить ее значение с современной точки зрения. При этом учитывается, что стержнем логических исследований казанского математика и астронома является его замечательная теория следствий и причин логических равенств в связи с оригинальной трактовкой канонических форм для логических выражений. Эта теория Порецкого фактически имеет своей задачей полностью решить проблему разрешимости в исчислении классов посредством нахождения по возможности наиболее простого и эффективного разрешающего алгоритма.
Порецкого нельзя считать вышедшим за пределы булевско-шредеровского направления в логике. Он в целом работал в этом русле, обобщая его результаты и “много содействуя упрощению приемов Буля и Шредера своей оригинальной постановкой вопроса”. К этим словам П. Эренфеста нужно, однако, добавить, что Порецким впервые получен ряд таких результатов, которые сыграли важнейшую роль в возникновении современной формы алгебры логики и не потеряли поэтому своего значения и в наши дни. С помощью алгоритмов Порецкого очень просто решаются также и булевско-шредеровские задачи об элиминации и решении логических уравнений.

2. Методологические предпосылки


В исходных положениях теории Порецкого легко усмотреть
явную материалистическую основу. Согласно Порецкому, логика анализирует структуру умозаключений науки. При этом законы логики не являются независимыми от свойств предметной области, исследуемой той или другой наукой. Закон логики, по Порецкому, есть поэтому истина, “заключающая в себе какое-либо определенное указание на самую природу изучаемого материала”. Даже алгебраическая обработка логики не может в силу этого устранить вопроса о содержании. Будучи материалистом, Порецкий утверждал, что любая аксиоматически построенная формальная система лишь в том случае имеет право на существование, если все доказуемые в ней выражения становятся содержательно истинными в применении к какой-нибудь области или стороне объективной действительности. Не случайно поэтому первые страницы своего фундаментального труда он посвящает содержательной интерпретации некоторых аксиом собственной оригинальной теории логических равенств.
Порецкий полагал, что формальный аналитический аппарат логического исчисления хорош только в том случае, если он соответствует определенному реальному содержанию. Больше того, даже при наличии уже построенной аксиоматики содержательные соображения отнюдь не теряют смысла. Это, в частности, проявляется у Порецкого хотя бы в том, что, построив оригинальный алгоритм элиминации, он, не довольствуясь только формальной стороной дела, подкрепляет значительность своего приема глубокими аргументами, касающимися содержания проблемы.
Порецкий был далек от претензии построить универсальное логическое исчисление, “пригодное во всех возможных мирах”. В предисловии к одной из своих работ он совершенно четко заявляет, что развиваемое им исчисление представляет собой алгоритм, пригодный только для решения вопросов теории “качественных” умозаключений (термин Порецкого “качественная форма” или просто “качество” вполне соответствует современному понятию одноместного предиката). Русский ученый различает далее “формы количественные”, изучаемые алгеброй, и “формы качественные”, изучаемые логикой. В этом различении, не позволяющем непосредственно применять приемы алгебры к предмету логики, Порецкий усматривает, вместе с тем, и известное отождествление (до определенных пределов) предметов обеих наук, такое отождествление, которое объясняет возможность соответствующих модификаций и приспособления алгебраических приемов к изучению предмета логики. Если традиционная логика связана словесными выражениями, которые дают в логической форме то, что можно было бы назвать логической наглядностью, то математическая логика, не будучи связана словесным выражением и применяя математический метод, получает возможность добывать более широкие обобщения и формулировать более сложные и более специальные логические соотношения.

3. Основные понятия исчисления Порецкого


Логическое исчисление Порецкого строится, исходя из множества переменных элементарных терминов а,b,c,d ...
Кроме того, в исчислении Порецкого есть еще два постоянных термина: 1 и 0. Эти термины, интерпретируемые в предметной области исчисления классов, обозначают соответственно универсальный (“мир речи” - по терминологии Порецкого) и пустой класс. Сложные термины образуются у Порецкого из элементарных с помощью последовательности операций:
(I) двоичных, которые он обозначает знаками “x” и “+” (в логике высказываний эти знаки соответствуют конъюнкции и дизъюнкции),
(II) единичной, соответствующей образованию дополнения (в логике высказываний - отрицания), которую он в разных работах обозначает по-разному.
Алгоритм Порецкого есть исчисление логических равенств. Логическое равенство отличается от сколь угодно сложного логического класса тем, что оно выражает собой суждение и притом обязательно общее (положительное или отрицательное). Равенство друг другу данных логических классов означает, что они равнообъемные.
Подробнее Разместил: czaar Дата: 13.05.2009 Прочитано: 7278 Комментарии
Распечатать

Алгебро-логическая проблематика у родоначальника семиотики Ч. С.Пирса

Американский представитель математической логики Чарльз Сандерс Пирс (Charls Sanders Peirs) внес существенный вклад в разработку алгебро-логических концепций и выступил основоположником новой науки — семиотики (общей теории знаков). Пирс родился 10 сентября 1839 г., в Кембридже (США) в семье профессора Гарвардского университета. Предки Пирса были англичанами.
В 1887 г. Пирс поселился в Милфорде (штат Пенсильвания). Скончался он 19 апреля 1914 г., в нищете, забытый своими друзьями и знакомыми. Высокогорные вершины края не раз оказывали ему свой приют и защиту от докучливой общительности кредиторов.
Пирса можно рассматривать как основоположника семиотики, зачинателя логико-семантических исследований. Он разрабатывал науку, изучающую любые системы знаков, применяемые в человеческом коллективе. Пирс пытался, в частности, исследовать языки науки как частный случай знаковых систем. Предметом семиотического анализа, согласно Пирсу, являются модели отображаемых объектов, состоящие из конечного набора элементов и связывающих их соотношений.
Пирс определяет знак как такой элемент х, который заменяет субъекту (как интерпретатору знака) некоторый элемент у (денотат) по признаку (или отношению) Д. Согласно Пирсу, “наиболее общее подразделение знаков таково: изображения (icons), индексы (indices) и символы (symbols). Объектом знака является вещь. Основная функция знака, по Пирсу, состоит в квантовании (“кадрировании”) опыта. У Пирса имеется уже в зародыше моррисовское расчленение семиотики на прагматику (касается отношения знака к его использователю), семантику (выясняет отношение знака к обозначаемому им объекту) и синтактику (исследует взаимоотношения между знаками). Анализирует Пирс и семиотику восприятия знака, учитывая, в частности, существенную разницу между воспринимаемыми и передаваемыми знаковыми сообщениями. В свете своей знаковой теории рассматривает Пирс логическую проблему значения. Именно, значение описывается им как отношение между знаком и операциями познающего субъекта.
В комбинированном исчислении классов и высказываний Пирс употреблял еще в 1880 г. точные аналоги как совершенной дизъюнктивной нормальной формы (разумеется, в несколько отличных от современных обозначениях). Эти результаты допускали их простую синтаксическую интерпретацию для чистого исчисления высказываний, которое было представлено у Пирса в довольно развитой форме. Вот, в частности, некоторые переданные в современной записи законы материальной импликации, сформулированные Пирсом в его исчислении (ниже знак “-” символизирует материальную импликацию);
(1) ((x - y) - x) - x (закон Пирса),
(2) x-(y-x),
(3) ((x-y) - a)- x, где a - есть имя тождественно ложной константы.
(4) (x-(y-z)) -(y-(x-z),
(5) x-((x-y) -y)),
(6) (x-y) -((y-z) - (x-z)).
Наряду с материальной импликацией Пирс допускал еще содержательную трактовку логического следования, которая дает возможность считать Пирса в известном смысле предшественником льюисовской теории строгой импликации.
Определенное развитие получила, у Пирса и логика отношений. Он следующим образом вводит нас в круг понятий этой теории. Пусть элементы данного конечного класса {а} обозначены с помощью символов A1, A2, A3,…An-1, An. Их сумму он записывает так: а = A1+A2+A3+…+An-1+An= , где i=1…., n . Пусть а означает: “живые люди”, А1, ..., Аn — имена ныне живущих людей, р — “группа предков”. Тогда относительный термин “группа предков некоторых живых людей” Пирс передаст символикой , так как Рa = Р (А1 +А2,+А3+... + ... An-1 + Аn). Относительный термин “группа предков каждого живого человека” Пирс передал бы записью: Па(p/a), так как Ра = Р(А1 .А2 . Аn-1 + An)=рА1 . рА2.…. рAn. Легко убедиться в справедливости следующей теоремы о выполнимости такой дизъюнкции: Па Пр((Па (р/a))
Употребляя табличное задание отношений с помощью матриц, состоящих из нулей и единиц, Пирс явно упреждает соответствующие методы в алгебре отношений Эрнста Шредера. Вместе с последним он должен рассматриваться как пионер математической теории структур. Так, уже в 1870 г. Пирс дал аксиоматическое определение частично-упорядоченного множества, задав его с помощью аксиом рефлексивности, несимметричности и транзитивности. Он сформулировал также определение сумм и произведений в терминах отношения включения.
Логические и математические результаты Пирса своевременно оценены не были, а часть их увидела свет только после смерти автора. Его семиотические идеи были продолжены в работах Ч.Морриса. Для современных исследований по семиотике характерно синтезирование традиций Пирса с логическими построениями Р. Карнапа.
Подробнее Разместил: czaar Дата: 13.05.2009 Прочитано: 5464 Комментарии
Распечатать

Логистика Готлоба Фреге (1848—1925)

В значительной степени независимо от направления Буля — Шредера идеи математической логики в последней четверти XIX в. формировались в силу внутренних потребностей самой математики (в первую очередь в виду необходимости аксиоматической трактовки ее основ). Пальма первенства здесь принадлежит немецкому ученому Готлобу Фреге, которому пришлось заняться выяснением самых глубоких и основных логических связей между наиболее элементарными понятиями и предложениями математики.
С именем Фреге обычно связывают возникновение нового этапа в развитии математической логики, который характеризуется аксиоматической трактовкой пропозиционального исчисления, закладкой основ теории математического доказательства, формулировкой начатков логической семантики.


1. Методологическая позиция

Алонзо Черч характеризует Фреге как "последовательного платоника" или "крайнего реалиста". Б.В. Бирюков находит у Фреге элементы материализма. Как направления в логике. В своей работе “Основания арифметики. Логико-математическое исследование понятия числа” иенский математик выступил с критикой взглядов одного из лидеров логического психологизма Д. С. Милля. Фреге выступает против грубо эмпирической трактовки предмета арифметики Миллем. Против миллевского утверждения о том, что общие законы арифметики суть индуктивные истины, Фреге выставляет тот тезис, что сама индукция нуждается для своего обоснования в некоторых общих предложениях арифметического характера. Согласно иенскому мыслителю, ошибка Милля состояла в том, что он рассматривал знак сложения как относящийся к процедуре физического присоединения. Сам Фреге склонен обосновывать индукцию на теоретико-вероятностных принципах.
Фреге критикует кантовский способ различения между аналитическим и синтетическим суждениями (в основном за его неконструктивный характер). Сам Фреге был близок к мысли о том, что аналитическим следует называть суждение, вытекающее из одних только определений и аксиом логики. Тогда суждение, не являющееся в этом смысле аналитическим, можно рассматривать как синтетическое.
Итак, Фреге в целом не согласен ни с субъективистским априоризмом И. Канта, ни с наивным эмпиризмом и психологизмом Д. Милля. Расхождения между Фреге и Миллем напоминают разницу в подходах к логике, которую можно выявить, сравнивая методологические позиции Милля и Дж. Буля. Однако, в противоположность Булю, почти на всем протяжении своего творчества считавшему, что логика является частью математики, Фреге задумал вывести всю содержательную математику из формальной логики. Определяемая этим замыслом его общая концепция о соотношении математики и логики получила в литературе наименование “логицизма” и представляла собой попытку, по существу, родственную “универсальной характеристике” Г. Лейбница. Свою логику Фреге приложил к обоснованию арифметики, которая предстала у него в виде некоторого формализованного языка. Чрезмерная усложненность формализованного языка Фреге длительное время отталкивала математиков от изучения его работ. Пожалуй, лишь Рассел первый дал себе труд основательно разобраться в логическом наследии иенского мыслителя.
У Фреге возникла иллюзия того, что ему вполне удалось как определить неопределяемые понятия арифметики, так и доказать не доказываемые арифметические аксиомы путем редукции их к понятиям и законам логики. Несостоятельность логицизма Фреге (несмотря на массу выявленных в его системе интересных логических связей) была продемонстрирована Бертраном Расселом, когда он в начале XX в. открыл парадоксы расширенного исчисления предикатов.


2. Двумерная идеография с одномерным эквивалентом


Фреге вводит свою логическую символику, которая носит двумерный характер. На языке этой символики он записывает теоремы, относящиеся как к логике предложений, так и к логике предикатов (следует заметить, что именно Фреге в 1879 г. впервые в логике символизирует кванторы общности и существования. Он устанавливает различие между формулировкой суждения и утверждением, что это суждение может быть принято в качестве доказанного. Так, символ “В” означает знак суждения, а символ “ В” означает: “утверждается, что имеет место В”, где “ ” есть знак утверждения. Отрицание суждения В Фреге передает записью: “ В”, что соответствует современному обозначению “ ” (словесно: не-В).
Логическое следование Фреге трактует в смысле материальной импликации и записывает в следующем виде:
(1)

Здесь А является антецедентом, В — консеквентом, так что приведенный символ Фреге родственен современному способу записи материальной импликации посредством А В. Согласно Фреге, аппарат условных суждений достаточен для формализации каузальных высказываний. С помощью функторов импликации и логического отрицания Фреге выражает остальные связки логики предложений. Конъюнкция (союз “и”) предстает у него в виде:
B

A

Легко видеть, что здесь символизируется выражение , являющееся эквивалентной формой записи конъюнкции А  В. Дизъюнкция записывается схемой:

B


A

Здесь графически представлена импликация , являющаяся другой формой записи дизъюнкции А / В. Несколько более сложна запись строгой (булевой) дизъюнкции, которая, как известно, равносильна конъюнкции двух таких импликаций: , и :


Утверждение о тождестве имен В и А некоторых объектов записывается у Фреге так: ? (В A), что означает: имя В и имя А имеют идентичное понятийное содержание.




3. Логистический метод и его приложение


Фреге построил первую аксиоматическую систему для исчисления суждений, базирующуюся лишь на импликации и отрицании в качество неопределяемых логических функторов.
Эта система имеет следующий вид (приводим ее, для простоты, на современном формализованном языке):
(1) А (B A),
(2) (С (A B)) ((C A) (C B)),
(3) (А (В С)) (В (А С)),
(4) (А В) ( ),
(5) .
(6) .
Первая аксиома выражает закон утверждения консеквента импликации, вторая — закон самодистрибутивности функтора “ ”, третья аксиома формулирует закон коммутации, четвертая есть принцип контрапозиции, а две последние аксиомы (пятая и шестая) в совокупности выражают теорему о равносильности утверждения двойному отрицанию. Из системы аксиом (1) — (6) Фреге формально выводит ряд теорем исчисления суждений, таких, например, как:
(7) .
(8) .
и подобных им. Правилами вывода у Фреге были правило подстановки равнозначного на место равнозначного и модус поненс. Аксиоматическая трактовка Фреге логики суждений, однако, довольно долго после опубликования натыкалась на барьер непонимания, а конкретные связи пропозиционального исчисления развивались в русле первоначального подхода к нему в школе Буля.
Эта система аксиом удовлетворяет критерию непротиворечивости. Однако, как показал Я. Лукасевич, она не является независимой, так как аксиома (3) логически следует из конъюнкции первых двух аксиом. В связи с этим Лукасевич предлагает свой вариант аксиоматики для исчисления высказываний (с импликацией и отрицанием), который является упрощением аксиоматики (1) — (6). Аксиоматика Лукасевича состоит из следующих трех аксиом:
(1) (А В) ((B C) (A C)).
(2) .
(3) .
Аксиоматика Фреге послужила образцом для последующих способов аксиоматической трактовки исчисления высказываний. Так, Ф. Брентано кладет в основу последней конъюнкцию и отрицание, Б. Рассел — отрицание и дизъюнкцию.
Вводя в употребление кванторы и понятие, родственное понятию графика функции, Фреге осуществляет переход от чистого исчисления суждений к логике предикатов. На основе этого базиса он рассчитывает формализовать всю содержательную арифметику. Начинать ему, понятно, приходится с попытки логического определения количественного числа. Естественно, он старается так определить понятие числа, чтобы это определение было независимо от каких-либо иных понятий, помимо связанных с истолкованием его исчисления как логистической системы. В основе определения числа у Фреге лежит использование им понятия взаимно однозначного соответствия. В § 72 его “Оснований арифметики” мы читаем: “(1) Выражение “понятие F равночисленно с понятием G” означает то же самое, что и “существует отношение f , которое устанавливает взаимно-однозначное соответствие между объектами, подпадающими под понятие F, с одной стороны, и объектами, подпадающими под понятие G, с другой стороны”. (2) Число, которое принадлежит к понятию F, является объемом понятия “равночисленно с понятием F”.(3) “N есть число” означает то же самое, что и “существует понятие такое, что N есть присущее этому понятию число””.
Следует заметить, что в этом определении выражение “равночисленность” по смыслу совпадает с понятием “равномощность множеств” у основоположника теории множеств Георга Кантора.
Итак, “натуральное число” рассматривается Фреге как “свойство понятия”, а не как свойство предмета. Другими словами, число есть некоторый предикат от предиката. Иенский математик специально подчеркивал, что понятие взаимно однозначного (по другой терминологии, “одно-однозначного”) соответствия отнюдь не подразумевает использование понятия “единица”, и, таким образом, оно не содержит порочного круга. Попутно Фреге устанавливает строгое различие между предметом и классом, сводящимся к одному этому предмету. Мы находим у Фреге определение кардинального числа множества А как множества всех множеств, равномощных этому А. Но, однако, именно с этим принципиальным определением была связана “ахиллесова пята” формализма Фреге: дело в том, что множество множеств, равномощных множеству А, оказалось обладающим парадоксальными свойствами. Это последнее обстоятельство и было установлено в 1905 г. Бертраном Расселом, выявившим противоречивость понятия о множестве всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Логические парадоксы в системе Фреге выступили как камень преткновения для его попыток обоснования математики.


4. Начатки логической семантики


Предметом особых забот у Фреге было выяснение вопроса о приложимости так называемого тезиса объемности к высказываниям, включающим собственные имена. В этой связи он различает “прямое” и “косвенное” употребление имен. От косвенного употребления имен следует, впрочем, отличать “упоминание” выражений, что видно из следующего текста Фреге: “При прямом употреблении имен предмет называния (Nominatum) представляет собой значение имени. Однако возможна ситуация, при которой намереваются говорить о самих именах или об их смысле. Например, это случается, когда цитируют слова другого лица... При этом собственные имена обозначают, прежде всего, слова другого человека так, что лишь эти последние употребляются прямо. Здесь мы имеем дело со знаками знаков. Поэтому в письменной речи соответствующие обозначения имен заключают в кавычки. Вследствие этого графическое начертание имени, стоящего в кавычках, недопустимо рассматривать с точки зрения его прямого употребления”. Проиллюстрируем разницу между “прямым” и “косвенным” употреблением выражений. Например, в высказывании (1) “Тегусигальпа — столица Гондураса” и подлежащее (“Тегусигальпа”), и сказуемое (“столица Гондураса”) употребляются прямо, в то время как в высказывании: (2) “Ученик Шмидт интересовался: “Является ли Тегусигальпа столицей Гондураса?”” те же имена (“Тегусильгальпа” и “столица Гондураса”) употребляются косвенно. Поскольку “Тегусигальпа” на самом деле есть имя столицы Гондураса, мы можем считать их взаимозаменимыми (то есть применить к ним тезис объемности (для понятий): ведь они имеют один номинат). Высказывание (1) при такой замене переходит в тавтологию: (1)* “Тегусигальпа есть Тегусигальпа”. В то время как фраза (1) содержит географическую информацию, полученная из (1) по тезису объемности фраза (1)*, по-видимому, не содержит никакой полезной информации. Однако, как (1), так и (1)*— истинные фразы. Посмотрим, что произойдет, если аналогичная замена равнообъемного на равнообъемное будет произведена в высказывании (2). В результате получаем фразу: (2) “Ученик Шмидт интересовался: “Является ли Тегусигальпа Тегусигальпой?”” Эту фразу (2*) естественно рассматривать как ложную. Причину того обстоятельства, что здесь тезис объемности терпит фиаско, надо усматривать в специфике косвенного употребления собственных имен. Эта специфика состоит в том, что номинатом при косвенном употреблении имени становится смысл того же имени при прямом употреблении.
Трудности, связанные с отношением именования, до сих пор являются объектом оживленной дискуссии в современной логической семантике, а семантические идеи Фреге все еще достаточно актуальны.
Подробнее Разместил: czaar Дата: 13.05.2009 Прочитано: 6295 Комментарии
Распечатать

Джузеппе Пеано и его школа

К направлению, идущему от Готлоба Фреге, идейно был весьма близок известный итальянский математик Джузеппе Пеано. Как известно, одна из важнейших задач метода аксиоматической систематизации математики состояла в выявлении всех допустимых средств вывода новых предложений из предложений данной аксиоматики. Именно за решение этой задачи Пеано и взялся в первую очередь, действуя хотя и независимо от Фреге, но, в сущности, в одном с ним русле. Правда, в законченном виде логистический метод у Пеано еще не встречается.
Результаты Пеано имели и определенные национальные корни. Укажем коротко на тех итальянских ученых, которые до Пеано были в той или иной степени близки к логико-математическим концепциям. 1. Джароламо Саккера (Giorlamo Saccheri; 1667—1733) Наибольший интерес представляет работа Саккери “Euclides ad omni naevo vindicatus” (“Евклид без родимых пятен”) (Милан, 1733). Она позволяет видеть в нем отдаленного предшественника идей, характерных для концепции неэвклидовых геометрий. Правда, Саккери начинает с попыток доказать пятый постулат Евклида о параллельных. Он исходит из рассмотрения четырехугольника, у которого боковые стороны равны друг другу, а нижние углы при этих сторонах равны каждый по одному d. Сначала Саккери доказывает, что верхние углы при тех же сторонах должны быть равны между собой, а затем последовательно анализирует три следующих допущения:
(1) каждый из этих углов >d,
(2) каждый из этих углов <d,
(3) каждый из этих углов =d.
Из гипотез (1) и (2) он выводит противоречие, что и заставляет его принять допущение (3) в качестве доказанного. Как замечает Г. Вилейтнер, тонкость аргументов Саккери, остроумие его логических выкладок состояла в том, что он заметил эквивалентность приведенных выше гипотез следующим возможностям для углов треугольника:

II. Людовике Ришери (Ludovico Richeri; XVIII в.) в своей работе 1761 г. находился под влиянием идей Лейбница об “универсальной характеристике” и прикладной пазиграфии. Заметка Ришери привлекла внимание И. Ламберта.
III. К разработке и пропаганде идей вероятностной логики обращался неаполитанец Ф. Пагано (Раgапо; XVIII-XIX вв.)
IV. Настойчивые попытки реформировать традиционную логику предпринимал Паскуале Галуппи (Galuppi Pasquale; 1770— 1846 гг.). С 1831 г. он преподавал логику в Неаполе. В методологической области опирался на Лейбница, критиковал Канта, пытался критически переработать результаты скоттизма и французского сенсуализма.
Переходим теперь к характеристике логических достижений Дж. Пеано и его школы.
Пеано перестал считать арифметику базисной математической дисциплиной и в качестве таковой (на которой он надеялся воздвигнуть остальное здание математики) стал рассматривать некую науку, родственную теории множеств.
Отметим вклад Псано в разработку логической символики и терминологии. В частности, им были введены следующие употребительные и ныне символы:
1. Знак “ ” (читается: “содержится в”; употребляется для выражения отношения присущности элемента множеству).
2. Знак “ ” для выражения включения одного множества в другое.
3. Знак “ ”, символизирующий небулево объединение множеств.
4. Знак “ ” для обозначения операции пересечения множеств. Два последних знака широко применяются теперь в теории структур.
Пеано ввел также часто используемую в наши дни (хотя и в адаптированном Уайтхедом, Расселом и другими авторами виде) систему символических обозначений для так называемых сентенциальных связок (служащих для образования новых предложений из числа заданных, которое, в частном случае, может равняться единице).
В смысле удобства способа символизации итальянский представитель математической логики Джузеппе Пеано и его сотрудники превосходили Фреге. С 1895 г. они приступили к изданию “Математического сборника” (“Formulario Mathematico”), в котором математические дисциплины должны были отобразиться в специальном логическом исчислении. Рассел отлично понял достоинства символики Пеано, и его собственный язык (представленный в “Ргincipia Mathematica”, 1910—1913) был в значительной мере синтезом строгости языка Фреге и удобства языка Пеано и его школы.
В целом, достижения Пеано явились переходным звеном от алгебры логики (в том виде, какой ей придали Буль, Шредер, Пирс и Порецкий) к современной форме математической логики.
Подробнее Разместил: czaar Дата: 13.05.2009 Прочитано: 5180 Комментарии
Распечатать
Главная | Основы философии | Философы | Философская проблематика | История философии | Актуальные вопросы