|
|
|
|---|
Когда философски-неразмышляющего человека спросят, в силу чего возможно знание, то ему кажется ответ на этот вопрос легким и простым. Он отвечает: мы воспринимаем, сознаем действительность и потому знаем ее так, как она есть на самом деле. Этот ответ носит в гносеологии название "наивного реализма". Все знания приходят через внешние органы чувств, и им нужно доверять (сенсуализм).
Обыкновенно, однако, не замечают, что эта т. зр. может иметь 2 совершенно разные формулировки. Ответ в том виде, как мы его выше привели, собственно не содержит еще никакой – ни истинной, ни ложной – теории; на вопрос об условиях возможности знания он отвечает ссылкой на очевидный факт знания, т. е. по существу не дает на него никакого ответа. Поэтому он "наивен" не в смысле построения какой-либо простой и наивной теории, а в смысле неимения никакой теории. | |
|
|
|---|
Методологические идеи Джорджа Буля
Вопрос о методологических воззрениях Дж. Буля достаточно сложен. В большинстве случаев о них судят, основываясь лишь на его ранних высказываниях. Анализируя их, обычно приходят к выводу о том, что Буля можно рассматривать как предшественника формализма гильбертовского типа, с элементами психологизма в духе Д. С. Милля. Так, немецкий исследователь его творчества Г. Шольц, в частности, замечает: “Буль предвосхищает гильбертову идею математической теории и связанное с ней понятие о математике как о чисто структурном исследовании с такой степенью точности, которая вряд ли могла быть превзойдена самим Гильбертом”. В подтверждение своей точки зрения Шольц ссылается, в частности, на следующее, принадлежащее Булю высказывание: “Тот, кто знаком с современным состоянием символической алгебры, знает, что правильность процесса анализа не зависит от интерпретации употребляемых в нем символов, но исключительно от законов их комбинирования. Каждая система интерпретации, которая не нарушает истинности предположенных отношений, равнодопустима, и благодаря этому один и тот же прием может, применительно к схеме интерпретации, представлять собой решение вопроса относительно свойств некоторых чисел, рассматриваемых одно относительно другого, если речь идет, например, о математической задаче, или же в отношении к определенному третьему объекту, если имеют в виду, например, динамические или оптические задачи”.
Полезно также обратить внимание на то, как Буль определяет замысел своих “Законов мысли”: “Цель настоящего исследования состоит в том, чтобы изучить основные законы тех операций ума, посредством которых осуществляются рассуждения; — в том, чтобы дать выражение этих законов в символическом языке логического исчисления, и на этом основании утвердить логику как науку и ее методы, — в том, чтобы сделать эти методы базисом еще более общего метода в целях приложения его к математической теории вероятностей; и, наконец, в том, чтобы, объединив различные элементы истины, проложить путь к выдвижению некоторых вероятностных указаний, касающихся природы и структуры человеческого мышления”.
Итак, превращение логики в точную науку мыслится Булем с помощью трактовки ее предмета средствами математического аппарата. Уже в своей работе “Математический анализ логики” (1847) Буль писал: “Руководствуясь принципом правильной классификации, необходимо теперь связать логику не с философией, а с математикой”.
По Булю, общие взгляды на логику должны проливать свет и на выяснение природы интеллектуальных способностей. Отсюда можно лишь заключить, что Буль не игнорировал практический аспект логических исследований. Особое значение в этом отношении приобретает, с его точки зрения, раскрытие природы умозаключения. Изложение логики в форме исчисления отнюдь нс является, по Булю, произвольным актом, а продиктовано тождеством формальных особенностей логических преобразований и математических операций. С другой стороны, неправильно мнение о том, что предмет “математики ограничивается лишь понятиями числа и количества”. Несколькими строками ниже Буль категорически заявляет: “Занятие идеями числа и количества не составляет сущности математики”.
3. Основные черты логической системы Буля
Сначала мы изложим исчисление Буля в том виде, в каком оно сформулировано им самим. Многое покажется при этом современному читателю довольно странным и искусственным. Прежде всего, удивительна та легкость, с которой Буль переносит на логику законы арифметики и правила арифметических действий. Эта легкость приводила в недоумение уже современников Буля, которых особенно удивляло при этом то обстоятельство, что Буль всегда получал правильные результаты. Для того, чтобы понять ход мысли Буля, нам представляется необходимым изложить его исчисление по возможности ближе к оригиналу.
Основными операциями в логике Буля являются:
1. Сложение, обозначавшееся у него знаком “+”, в исчислении классов булевой формуле х + у соответствует объединение классов x и y с исключением их общей части, в исчислении высказываний - так называемая строгая дизъюнкция. Через объединение (соответственно, дизъюнкцию) “v”, пересечение (соответственно, конъюнкцию) “•” и дополнение (соответственно, отрицание) “—”, булево сложение может быть выражено следующим образом:
х + у = ху v x ,
где выражение заменяет отрицание y, о чем см. дальше.
2. Умножение, обозначавшееся знаком “•” или просто записью одного выражения рядом с другим (без знаков между ними); в исчислении классов этой операции соответствует пересечение, в исчислении высказываний — конъюнкция.
Неразделительное “или” может быть выражено через булево сложение с помощью следующих двух формул: х v у = x + y + xy и х v у = х + ху.
3. Дополнение х до единицы, обозначавшееся записью “1 - x”; в исчислении классов формула 1 - х означает дополнение к классу х, в исчислении высказываний — отрицание .
Буль рассматривает также вычитание, понимая его как операцию, обратную по отношению к операции сложения. Определение вычитания таково: х - у = х (1 - у).
Основным отношением, употребляемым в логической системе Буля, является отношение равенства. Через посредство этого отношения определяются в ней другие отношения и, в первую очередь, с его помощью определяется отношение включения для классов. Буль пользуется несколькими определениями отношения включения. Одно из них гласит: (х  y)  (х (1 - y) = 0), где 0 есть символ нулевого (пустого) класса.
Буль выясняет свойства введенных им операций, устанавливая коммутативный закон умножения: ху = ух, ассоциативный закон умножения: х(уz) = (ху)z, а также аналогичные законы для операции логического сложения. Он также формулирует дистрибутивный закон умножения относительно сложения: z(х + у) = zх + zу, дистрибутивный закон умножения относительно вычитания: z(х - у) = zх - zу. Основными свойствами равенства Буль считает следующие его свойства: (т) если х = у, то zх = zу и (п) если х = у, то z + х = z + y.
Перейдем теперь к описанию булевых способов решения логических уравнений. Эти методы, по Булю, соответствуют обобщенному представлению классических логических процедур. “Наиболее общая проблема логики, — замечает он, — может быть сформулирована так: задано логическое уравнение, содержащее символы x, y, z, w. Требуется найти логически интерпретируемое выражение для выяснения отношения класса, обозначенного через w, к классам, обозначенным через x, y, z и т. д.”. В другом месте Буль формулирует ту же проблему еще более кратко так: “Задано (логическое) уравнение; найти выражение одного термина и функции остальных”.
Приведем пример того, как Буль решает логические задачи, согласно предписаниям своего метода. Например, им сформулирована такая задача: условие — ответственные существа суть такие разумные существа, которые либо обладают свободой, либо добровольно от нее отказались. Что можно сказать о разумных существах в терминах существ ответственных, обладающих свободой или добровольно от нее отказавшихся? Обозначим через х ответственные существа, у — разумные существа, z — обладающие свободой и w — добровольно от нее отказавшиеся. Условие задачи тогда можно записать уравнением: х = у(z + w). Требуется определить y в терминах х, z, w, т. е. решить исходное уравнение относительно y. Проведенные Булем преобразования требуют для понимания серьезной математической подготовки, так как они используют так называемый ряд Маклорена и потому довольно сложны; мы не будем приводить их здесь. Их итоговым результатом является выражение, y = xz + xw + , которое получено из исходного уравнения.
Ответ задачи, таким образом, гласит: разумные существа суть либо ответственные существа, обладающие свободой и не пожертвовавшие ею, либо же такие ответственные существа, которые не обладают свободой и добровольно ею пожертвовали, либо, наконец, некоторые такие неответственные существа, которые не обладают свободой и добровольно от нее не отказались.
Из других методов можно упомянуть метод элиминации (исключения), при котором исходное уравнение путем преобразований освобождается от какой-то переменной и затем итоговое выражение получает интерпретацию. Рассмотрев технические аспекты процесса элиминации, Буль считает возможным квалифицировать этот процесс как силлогистический по своей формальной природе. Однако, по его мнению, дедукция не может быть во всех случаях сведена к элиминационным процессам.
Логические достижения Буля не были в достаточно ясной степени поняты его современниками, в частности, потому, что булево определение сложения наталкивало на построение логического исчисления, подобного арифметическому. Впервые такое построение было осуществлено советским математиком И.И. Жегалкипым, который в достаточно ясной форме показал существование связи между булевой алгеброй и кольцами характеристики два.
Принципы, положенные в основу логических исчислений выдающегося ирландского математика, позволили позднее выделить целый класс подобных алгебро-логических систем. В отдельную науку это направление исследований оформилось уже в начале XX в. В настоящее время под булевыми алгебрами имеют в виду такие непустые множества, для которых определены операции: объединения, пересечения и дополнения.
Самым важным применением теории булевых алгебр считается ее использование в математических доказательствах. Булев метод позволяет проще и легче доказывать многие фундаментальные теоремы исчисления предикатов. Булевы алгебры находят также широкое применение во многих неклассических системах логики.
| |
|
|
|---|
Первую попытку написать историю логики мы находим у гуманистов, и в качестве первого историка здесь, вероятно, должен считаться Петр Рамус. В его работе Scholarum dialecticarum libri XX мы находим примерно тридцать небольших отрывков, посвященных этой истории. Правда, как историк логики Рамус является настолько же великим фантастом, насколько и логиком: он говорит о логике патристики (Logica patrum), причем Ной и Прометей оказываются первыми логиками, потом о логике математики (Logica Mathematicorum), к которой причислены пифагорейцы. Затем следуют логика физиков (Зенон из Элеи, Гиппократ, Демокрит и т.д.), логика Сократа, Пиррона и Эпиктета (sic!), логика Антисфена и стоиков (здесь называются также мегарики и среди них Диодор Кронос) и логика академии. И только затем идет логика перипатетиков, где Рамус упоминает так называемую аристотелевскую библиотеку, т.е. Органон (каковой, согласно ему, как и П.Цюрхеру в наши дни, не Аристотелем создан), наконец, логика аристотелевского интерпретатора и последователя Галена.
Эта книга написана в середине XVI столетия. Примерно пятьдесят лет спустя мы находим менее охватывающую, но более научную попытку Б.Кекермана. Его произведение сохраняет свое значение и поныне, к тому же он собрал длинный ряд названий с точными временными данными. Тем самым заложена основа для изучения логики XVI столетия. Однако суждения Б.Кекермана не более ценны, чем таковые у Рамуса. Большинство цитированных им логиков Б.Кекерман, кажется, только бегло прочитал, например Госпиниануса. В целом здесь речь идет больше о библиографии, чем об истории логики.
| |
|
|
|---|
Кант не пал жертвой первого и третьего из названных предрассудков. Он проницательно заметил, что логика его времени (другой он не знал вовсе) не лучше, чем аристотелевская, и вывел отсюда заключение, что со времен Аристотеля логика не достигла никакого прогресса:
То, что логика еще в древнейшие времена проделала этот подлинный путь науки, можно усмотреть из того, что со времен Аристотеля она не сделала ни одного попятного шага, если не считать улучшениями устранение некоторых излишних тонкостей или более отчетливое определение достигнутых результатов, каковые, однако, относятся скорее к элегантности, чем к надежности науки. Примечательно в ней также то, что доныне она не смогла сделать ни одного шага вперед и, таким образом, согласно всем воззрениям, кажется законченной и завершенной. Ведь если некоторые новаторы помышляют расширить ее через внедрение в нее отчасти психологической главы..., отчасти метафизической..., отчасти антропологической, то это свидетельствует о их незнакомстве с собственной природой этой науки. Это не наращивание, а искажение наук, когда их границы растекаются; границы логики совершенно точно определены, однако, тем, что она является наукой, которая подробно излагает и строго доказывает ни что иное, как формальные правила всякого мышления [будь оно априорное или эмпирическое].
| |
|
|
|---|
Формальная логика, насколько известно, возникла в двух - и только двух - культурных регионах: западноевропейском и индийском. В других, - скажем, в китайском - мы, правда, находим методику дискуссии и софистику, однако формальная логика в смысле Аристотеля или Дигнаги там не развивалась.
Оба направления в последующем далеко перешагнули границы своих исходных областей. Мы говорим здесь не только о распространении европейской логики в тех американских, австралийских и других странах, которые заселялись из Европы; например, Северную Америку, каковая после Пирса образует один из важнейших центров формальнологических исследований, также может рассматриваться как относящаяся к западному культурному региону. Еще больше господствует западная логика в арабском мире в раннем средневековье; через миссионеров она проникла даже в армянскую культуру (указанием на этот факт я обязан профессору ван ден Оуденриджну). Можно привести и многие другие подобные примеры. То же самое можно сказать и в отношении индийской логики, которая проникла в Тибет, Китай, Японию и другие страны. Географически мы имеем дело, следовательно, с двумя жизненными центрами развития логики, влияние которых в ходе времени расходилось в различных направлениях на чужие территории.
О хронологии и периодизации истории логики надо сказать следующее: в Европе эта история начинается в IV столетии до р. Х., в Индии примерно - в I столетии нашего летоисчисления. До этого как в Греции, так в Индии и Китае, а возможно, и в других странах, имеется нечто вроде предыстории логики; однако говорить о какой-то "логике Упанишад" или "логике пифагорейцев" есть совершенное недопонимание. Конечно, мыслители этих школ строят умозаключения; но логика состоит не в том, чтобы умозаключать, а в том, чтобы умозаключения изучать. Такое изучение наверняка возникло не до Платона и ньяя; до них мы в лучшем случае имеем дело с определенными приноровленными к использованию каноническими правилами для дискуссий - критика же и анализ этих правил совершенно отсутствуют.
История западной логики может быть подразделена на пять периодов: 1. античный (до VI в.); 2. раннее средневековье (VII-XI вв.); 3. схоластика (XI-XV вв.); 4. эпоха современной "классической" логики (XVI-XIX вв.); 5. математическая логика (с середины XIX в.). Два из них - раннее средневековье и время "классической" логики - представляют собой неплодотворные периоды, так что в истории логических проблем они могут быть почти полностью оставлены вне внимания. Допущение об отсутствии плодотворных логических исследований между античностью и схоластикой, вероятно, может быть опровергнуто указанием на арабскую логику. Однако, с одной стороны, она поныне все еще не изучена, с другой стороны, результаты уже предпринятых исследований пока имеются только на арабском языке и из-за этого, к сожалению, нам недоступны.
Периодизация индийской логики пока еще не может быть проведена с подобной точностью. Верным представляется только одно: мы должны принять по меньшей мере два больших периода - древняя ньяя и буддизм вплоть до X столетия нашего летоисчисления и навья (новая) ньяя с XII столетия.
| |
|
|
|---|
Прантль оказал решающее влияние на историографию XIX и частично даже XX вв. До подъема новых исследований, проистекающих из математико-логических кругов, интерпретация и оценки Прантля некритически принимались как совершенно общепризнанные. Даже и позднейшие историки логики зачастую, подобно Прантлю, по-прежнему смешивали нелогические вопросы с логическими. Это видно из того, что в своей истории логики мыслителям, которые логиками не являлись, они уделяли много места, а логиками, напротив, все больше пренебрегали.
Несколько примеров:
Фридрих Юбервег, сам отнюдь не плохой логик (он, к примеру, умел отличить логику высказываний от логики имен (Termlogik), что в XIX в. было редко), в своем обзоре по истории логики Аристотелю он посвящает четыре страницы, эпикурейцам, стоикам и скептикам - две, всей схоластике - две, совершенно же неплодотворному периоду от Декарта до своего времени - пятьдесят пять. Причем, скажем, Шлейермахер получает больше места, чем стоики и Декарт, и столько же, сколько вся схоластика. Р.Адамсон посвящает Канту не меньше шестнадцати страниц, а всему времени от смерти Аристотеля до Бэкона, следовательно, мегарикам, стоикам, комментаторам и схоластикам - только пять. Еще несколько лет назад Макс Похленц отводит едва дюжину страниц стоической логике в своем огромном произведении об этой школе.
Параллельно с этим общим тоном шло превратное толкование старых логических учений: они при этом так обрабатывались, что в них видели только то, что соответствовало "классической" логике, а все прочее или вообще не замечали, или истолковывали в смысле классической силлогистики, или, наконец, объявляли казуистикой. Нет возможности разбирать детали этого превратного толкования. Однако несколькими примерами их следует подтвердить.
Так, ассерторическая силлогистика Аристотеля искажается: силлогизм понимается в "классической", т.е. восходящей к Оккаму манере как ключевое правило, и вводят "бессмертного" Сократа в маленькую посылку, в то время как у Аристотеля силлогизм является соответствующей формой высказывания и никогда не включает в себя единичных терминов. Стоическая логика вопреки разуму сплошь понимается как логика имен (Termlogika), хотя она совершенно однозначно является логикой высказываний. Аристотелевская модальная логика была настолько слабо понята, что, когда в 1934 г. А.Беккер дал корректную интерпретацию этого учения, то все полагали, что имеют дело с чем-то революционным, хотя, по существу, речь шла об основной, известной еще Альберьу Великому интепретации. К тому же как Аристотель, так и Фома Аквинский были вписаны в теофрастовское понимание модальных высказываний и модального силлогизма, каковых они вовсе никогда не представляли.
Неудивительно, что, когда возникла математическая логика, установления, которые принадлежат к основным достижениям прошлых эпох, связывались с именами Де Моргана, Пирса и других: научной истории формальной логики в то время еще не было.
| |
|
|
|---|
Выделение учения о знании (гносеологии) в отдельный раздел философии происходит в Средние века в связи с успехами номинализма. Именно номинализм формирует новое представление о познании и природе познающего ума. Поскольку согласно номиналистической концепции познание направлено не на сущность вещи (которое вообще постепенно упразднилось: от Дунса-Скоттовского выбора сущностей у Бога до У. Оккама), а на вещь в её единичности, то оно есть интуитивное познание (созерцание отдельных свойств вещи), – то его предметом оказываются акциденции, и знание трактуется только как установление связи между явлениями. Это ведёт к пересмотру аристотелевской и томистской логики и онтологии, для которых субстанция есть условие возможности отношений (не случайно в томизме гносеология не существует независимо от онтологии). Теоретическая способность в номинализме утрачивает свой онтологический характер, умы больше не рассматриваются как высшие в иерархии сотворенных сущих. Ум, с точки зрения Николая из Отрекура, есть не бытие, а представление о бытии, направленность на бытие [интенциональность]. Так в номинализме формируется представление о субъекте, противостоящем объекту как особого рода реальности, и о познании как субъект-объектном отношении. Именно такой подход и способствовал выделению гносеологии в самостоятельную область исследования. (В “отместку” за это, немедленно возникает субъективистское истолкование ума, человеческого духа, рождается убеждение, что явления психического ряда достовернее физических, поскольку даны нам непосредственно, тогда как физические – опосредованно. В теологии при этом подчёркивается приоритет веры над знанием, воли – над разумом, практически-нравственного начала – перед теоретическим).
Декарт уже исходит из самосознания как некоторой чисто субъективной достоверности, рассматривая при этом субъект гносеологически, т. е. как то, что противостоит объекту. Расщепление всей действительности на субъект и объект – вот то принципиально новое, чего в таком аспекте не знала ни античная, ни средневековая философия. Противопоставление субъекта объекту характерно не только для рационализма, но и для эмпиризма XVII века. Благодаря этому противопоставлению гносеология выдвигается на первый план в XVII в., хотя связь со старой онтологией не была еще тогда полностью утрачена…
В начале XX века выдающийся русский рел. мыслитель Ник. Бердяев не без раздражения писал: Проблеме гносеологической бесспорно принадлежит центр. место в умственной жизни нашей эпохи. Критическая гносеология – тончайший плод умственной культуры. Мимо гносеологии, ее сомнений, ее вопрошений, ее запретов пройти нельзя. Если вникнуть в жизненную основу и жизненный смысл проблемы критической гносеологии, в ее психологию, в скрытое за ней мироощущение, то должно будет признать, что проблема эта является результатом болезненной рефлексии, раздвоенности, почти что какой-то мнительности. Гносеологический критицизм есть гамлетизм в сфере философии, рефлектирующая нерешительность действовать в области познания вследствие нарушения жизненной цельности. Мы не столько познаем, сколько рефлектируем над познанием, проходим все стадии раздвоения, чувствуем себя покинутыми. Гносеологический гамлетизм с самого начала предполагает познание отсеченным от цельной жизни духа, субъект оторванным от объекта и ему противоположным, мышление выделенным из бытия и где-то вне его помещенным. Но наступают времена, когда мысль, утомленная болезненным гамлетизмом, должна вернуться к здоровому дон-кихотизму. ... Безумие – рассматривать бытие как результат объективирования и рационализирования познающего субъекта, ставить бытие в зависимость от категорий познания, от суждения. ... Отношение познающего субъекта к познаваемому объекту есть отношение внутри бытия, отношение бытия к бытию, а не "мышления" к "бытию" как противостоящих друг другу. Предрассудок, что гносеология должна быть без предпосылок. ... Сама жизнь духа, а не наука о жизни духа, предшествует гносеологии, в самой жизни духа, в самих силах бытия нужно искать предпосылок гносеологии, а не в психологии или другой какой-нибудь "логии". Гносеологи же хотят само бытие вывести из гносеологии, превратить его в суждение, поставить в зависимость от категорий субъекта.
Однако пока ни одну попытку противопоставить светской гносеологии церковное учение о познании нельзя признать состоятельной. Наиболее полный обзор таких возможностей представлен в труде о. Вас. Зеньковского «Христианское учение о познании».
| |
|
|
|---|
Научная история логики, свободная от названных предрассудков и основанная на обстоятельном изучении текстов, возникла только в XX в. Важнейшие исследования в различных областях обсуждаются в отдельных частях нашего изложения. Здесь надо сказать только следующее:
Возникновение современной истории логики для всех периодов - за исключением математической логики - стало возможным благодаря историкам философии и филологам XIX в. Прежде всего они корректно издали и литературно обработали ряд текстов. Однако большинство филологов классических языков, средневековья и индологов обнаруживали мало понимания и даже мало интереса к формальной логике. Из одних только их больших и заслуженных трудов история логики возникнуть не могла.
То, что она возникла, мы обязаны факту, что формальная логика снова ожила причем в форме математической логики. Почти все новейшие исследования в этой истории были осуществлены математическими логиками или историками, которые разбирались в математической логике. Мы должны назвать только три имени: Чарлз Сандерс Пирс, предшественник нынешних исследований, знаток как античной, так и схоластической логики; Хайнрих Шольц и Ян Лукашевич с их публикациями 1931 и 1935 гг. Оба оказали решающее влияние во многих областях истории логики: благодаря им возникло серьезное изучение античной, средневековой и индийской логики.
Тем не менее до сих пор речь идет только о начале. Мы уже обладаем фундаментальными познаниями различных, по существу, формообразований (Gestalten) формальной логики, хотя знаем мы их все же преимущественно только в отрывках. Это ощутимо прежде всего для схоластической и индийской логики. Но так как сегодня небольшая группа исследователей систематически озабочена историей логики, то можно предвидеть, что это положение в течение следующих десятилетий улучшится.
| |
|
|
|---|
К направлению, идущему от Готлоба Фреге, идейно был весьма близок известный итальянский математик Джузеппе Пеано. Как известно, одна из важнейших задач метода аксиоматической систематизации математики состояла в выявлении всех допустимых средств вывода новых предложений из предложений данной аксиоматики. Именно за решение этой задачи Пеано и взялся в первую очередь, действуя хотя и независимо от Фреге, но, в сущности, в одном с ним русле. Правда, в законченном виде логистический метод у Пеано еще не встречается.
Результаты Пеано имели и определенные национальные корни. Укажем коротко на тех итальянских ученых, которые до Пеано были в той или иной степени близки к логико-математическим концепциям. 1. Джароламо Саккера (Giorlamo Saccheri; 1667—1733) Наибольший интерес представляет работа Саккери “Euclides ad omni naevo vindicatus” (“Евклид без родимых пятен”) (Милан, 1733). Она позволяет видеть в нем отдаленного предшественника идей, характерных для концепции неэвклидовых геометрий. Правда, Саккери начинает с попыток доказать пятый постулат Евклида о параллельных. Он исходит из рассмотрения четырехугольника, у которого боковые стороны равны друг другу, а нижние углы при этих сторонах равны каждый по одному d. Сначала Саккери доказывает, что верхние углы при тех же сторонах должны быть равны между собой, а затем последовательно анализирует три следующих допущения:
(1) каждый из этих углов >d,
(2) каждый из этих углов <d,
(3) каждый из этих углов =d.
Из гипотез (1) и (2) он выводит противоречие, что и заставляет его принять допущение (3) в качестве доказанного. Как замечает Г. Вилейтнер, тонкость аргументов Саккери, остроумие его логических выкладок состояла в том, что он заметил эквивалентность приведенных выше гипотез следующим возможностям для углов треугольника:
II. Людовике Ришери (Ludovico Richeri; XVIII в.) в своей работе 1761 г. находился под влиянием идей Лейбница об “универсальной характеристике” и прикладной пазиграфии. Заметка Ришери привлекла внимание И. Ламберта.
III. К разработке и пропаганде идей вероятностной логики обращался неаполитанец Ф. Пагано (Раgапо; XVIII-XIX вв.)
IV. Настойчивые попытки реформировать традиционную логику предпринимал Паскуале Галуппи (Galuppi Pasquale; 1770— 1846 гг.). С 1831 г. он преподавал логику в Неаполе. В методологической области опирался на Лейбница, критиковал Канта, пытался критически переработать результаты скоттизма и французского сенсуализма.
Переходим теперь к характеристике логических достижений Дж. Пеано и его школы.
Пеано перестал считать арифметику базисной математической дисциплиной и в качестве таковой (на которой он надеялся воздвигнуть остальное здание математики) стал рассматривать некую науку, родственную теории множеств.
Отметим вклад Псано в разработку логической символики и терминологии. В частности, им были введены следующие употребительные и ныне символы:
1. Знак “ ” (читается: “содержится в”; употребляется для выражения отношения присущности элемента множеству).
2. Знак “ ” для выражения включения одного множества в другое.
3. Знак “ ”, символизирующий небулево объединение множеств.
4. Знак “ ” для обозначения операции пересечения множеств. Два последних знака широко применяются теперь в теории структур.
Пеано ввел также часто используемую в наши дни (хотя и в адаптированном Уайтхедом, Расселом и другими авторами виде) систему символических обозначений для так называемых сентенциальных связок (служащих для образования новых предложений из числа заданных, которое, в частном случае, может равняться единице).
В смысле удобства способа символизации итальянский представитель математической логики Джузеппе Пеано и его сотрудники превосходили Фреге. С 1895 г. они приступили к изданию “Математического сборника” (“Formulario Mathematico”), в котором математические дисциплины должны были отобразиться в специальном логическом исчислении. Рассел отлично понял достоинства символики Пеано, и его собственный язык (представленный в “Ргincipia Mathematica”, 1910—1913) был в значительной мере синтезом строгости языка Фреге и удобства языка Пеано и его школы.
В целом, достижения Пеано явились переходным звеном от алгебры логики (в том виде, какой ей придали Буль, Шредер, Пирс и Порецкий) к современной форме математической логики.
| |
|
|
|---|
Логика не обнаруживает никакого линейно-непрерывного развития. Картина ее истории больше похожа на ломаную линию. Из скромного начала обычно очень быстро - примерно за столетие - она возвышается до впечатляющей высоты, но затем почти так же быстро идет к закату. Старые достижения забываются, проблематика больше никого не интересует или же сама возможность двигать логику разрушается политико-культурными событиями. Затем столетия спустя исследовательская работа начинается заново. В ее распоряжении больше только обрывки старого добра, надстраиваясь над ними логика снова возвышается.
Мы могли бы предположить, что развитие логики позволительно представлять чем-то вроде синусоиды: за коротким периодом кульминации следует длительный застой. Однако такая картина была бы неточной. Ведь "новая" логика, которая следует за периодом логического варварства, чаще всего не является простым продолжением старой: она большей частью имеет другие предпосылки и точки зрения, нуждается в другой технике и развивает ранее мало рассмотренные аспекты проблематики. Она есть отличающееся от предыдущего формообразование (Gestalt) логики.
Во временном измерении это имеет место и в западной, и (пусть с известными ограничениями) в индийской логике. В то же время это имеет место в пространственном измерении для отношений между обоими как целостностями; индийскую логику можно, пожалуй, постольку уподобить в Европе античной и схоластической, поскольку в ней не встречаются идеи исчисления, однако помимо этого нет почти никакого сходства. Мы имеем различные формообразования логики. Вряд ли можно вести речь о каком-то включении индийских достижений в схему западного развития.
Для истории логики в целом существенным, следовательно, представляются явления различных формообразований этой науки, лежащих пространственно и по времени вне друг друга.
| |
|
Всего 94 на 10 страницах по 10 на каждой странице<< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> |
|
|
|
