|
|
|
|---|
| 1. Применение естественно-научных методов в гуманитарных науках
В науках о человеческом обществе, человеческом духе и его творениях во всех случаях, когда удается получить объективные знания, используется тот индуктивный метод: вначале выдвигается гипотеза, из нее дедуктивным путем выводят следствия, затем ищут факты, которые могли бы эти следствия подтвердить или опровергнуть.
1) Так работают, напр., психологи-экспериментаторы – достаточно вспомнить хотя бы о классических исследованиях Ж. Пиаже (Jean Piaget, 1896–1980), посвященных детскому мышлению и формированию понятий у детей.
2) Другой, очень наглядный, пример дает дешифровка древнеегипетской письменности Ж. Ф.Шампольоном Champollion, 1790–1832), исходившим из выдвинутой еще в XVII в. нем. ученым А. Кирхером (Kircher, 1601–1680) гипотезы о близости древнеегипетского языка к коптскому (культовому языку егип. христиан) и принадлежащей самому Шампольону гипотезы, что древнеегип. письмо было в своей основе фонетическим (а не идеографическим, как полагали ранее). Подтверждение этих гипотез он получил. расшифровав двуязычную надпись (на древнеегипетском и греч. языках) на т. н. Розеттском камне и установив значения отдельных знаков, т. е. построив более подробную гипотезу (теорию), которая была затем убедительно подтверждена чтением множества древнеегипетских текстов.
2. Математических методы – в гуманитарном знании?
1. В то же время в гуманитарной сфере особенно часто случается, что за объективное знание принимается или выдается нечто такое, что на деле объективным знанием не является. Чаще всего это связано с неправомерным перенесением в эту сферу способов рассуждений, используемых в математике и естественных науках – иначе говоря, с подражанием математическим и естественнонаучным рассуждениям (иногда сознательным, но чаще бессознательным).
Другая часть специалистов по гуманитарным наукам убеждена, что область их интересов не имеет и не может иметь ничего общего с математикой и науками о природе, так что “гуманитарию” изучать эти науки ни к чему и едва ли не вредно. Действительно, педагогика, например, представляет собой некое воспитательное искусство, в котором, как и во всяком искусстве, ведущую роль играет интуиция, так что “общая теория воспитания” вряд ли возможна.
В любом случае, в то время как для уверенности в справедливости математической теоремы достаточно найти одно ее доказательство, историки и юристы всегда стремятся, если есть возможность, найти как можно больше доказательств (свидетельств). При работе с понятиями, плохо поддающимися формализации, как чаще всего бывает в гуманитарных исследованиях, и тем более при осмыслении конкретных фактов формальная правильность не может быть единственным критерием доказательности рассуждения. Не менее важно здесь и то, насколько полно и всесторонне рассматриваются изучаемые явления; если не все их аспекты учтены, то никакая формальная безупречность не сможет застраховать исследователя от ошибок, а если учитывать лишь один аспект, то при подходящем его выборе можно «доказать» все, что угодно (это искусно умели делать уже древнегр. софисты)[5]. К тому же логическая безупречность рассуждений при работе с неформализованным материалом не может быть абсолютной: в таких рассуждениях приходится опираться не только на явно формулируемые посылки, но и на неявные, подразумеваемые, и никогда нет полной гарантии, что эти неявные предположения истинны. Можно сказать, т. обр., что при отсутствии формализации чем «тоньше» цепочка рассуждений, тем она менее надежна, да и никакое логическое рассуждение не дает абсолютно достоверного доказательства.
2. В наше время нередко случается, что за гуманитарные исследования берутся профессиональные математики. В ряде случаев им удается добиться определенных успехов и даже обогатить гуманитарную науку новыми идеями и методами, но это возможно лишь при условии, что такой исследователь почувствует ее специфику. Если же он будет рассуждать привычным ему способом, заботясь лишь о формальной правильности, то его почти наверняка ждет неудача. Если он талантлив и наделен воображением, он сможет построить эффектную цепочку умозаключений, а если к тому же начитан, сможет привести в подтверждение своей конструкции сколько угодно ссылок и цитат. Но если конструкция не основана на всестороннем анализе рассматриваемых явлений и учитывает только некоторые их аспекты, она почти неизбежно окажется несостоятельной. Такова, например, «новая хронология» А.Т.Фоменко, основанная на заведомо некорректной попытке применения математических методов к неформализованному материалу (а также на ряде произвольных допущений, многие из которых противоречат общеизвестным фактам).
[pagebreak]
В XX столетии некоторым гуманитарным наукам удалось уточнить часть своих понятий до такой степени, что появилась возможность использовать для работы с ними мат. аппарат. Возникли, в частности, такие научные дисциплины, как мат. лингвистика и мат. экономика. Этот аппарат представляет собой часть математики, и вся работа с ним ведется с помощью обычных для математики дедуктивных рассуждений, хотя их результаты могут получать истолкование в терминах соответствующей гуманитарной науки. В подобных случаях обычно говорят об использовании в данной науке мат. модели. Т. обр., здесь мат. рассуждения производятся «внутри модели» – следовательно, в рамках математики. А вопрос об адекватности модели, т. е. о «правильности» теории, облеченной в мат. форму, решается так же, как в ест. науках – путем попыток ее фальсифицировать.
3. Историцизм
1. Подражание математической физике
Не меньше, чем подражание математическим рассуждениям, распространено в гуманитарной сфере подражание методам рассуждения, используемым в физике и астрономии. На таком подражании основана методология исторического детерминизма (по терминологии К.Поппера – историцизма) – направления в социальных науках, сторонники которого считают, что исторические процессы управляются строгими закономерностями, подобными физ. законам, и общественные науки могут, открыв эти закомерности, предсказывать будущий ход истории подобно тому, как астрономия, опираясь на законы механики, предсказывает будущее движение небесных тел.
Представление об истории чел. общества как закономерном процессе, подобном всем другим природным явлениям, зародилось в XVIII столетии, после того, как средневековый взгляд на человека как на нечто принципиально отличное от всего остального, что есть в мире, сменился взглядом на него как на часть природы. Это представление вело к желанию открыть закономерности, управляющие человеческой историей, и перед глазами был блистательный образец: только что И. Ньютон открыл закономерности, управляющие перемещением в пространстве любых материальных тел. Знание этих закономерностей, выраженных в математической форме, позволяло по состоянию системы тел в один данный момент времени предсказывать с полной определенностью, каково будет ее состояние в любой будущий момент. Успехи математической физики вдохновили ученых, занимавшихся социальными науками, на попытки создания теорий, имеющих предсказательную силу.
Но кто может сказать, какими путями пошло бы развитие мировой истории, если бы Александр Македонский умер раньше своего отца, или если бы Ганнибал после битвы при Каннах пошел на Рим, или если бы генерал Черемисин в октябре 1917 г. выполнил приказ Керенского – прибыл со своими частями в Петроград и предотвратил переворот? А ведь влияние случайных обстоятельств может быть и не столь очевидным, как в этих примерах: последствия могут оказаться отдаленными и тем не менее весьма значительными.
Приведем 2 примера этого рода, относящиеся к общеизвестным фактам.
Первый пример. В 1382 г. умер польский король Людовик I. После него не осталось сыновей, только дочери, одну из которых избрали королевой Польши. (Монархия там была избирательная, но ближайший родственник посл. короля имел подавляющее преимущество.) Вскоре польские вельможи выдали ее за Ягайла, великого кн. литовского. Она сначала противилась этому браку, считая, что должна быть верна жениху, за кот. просватал ее отец. Но кто-то из прелатов сумел ей внушить, что, выйдя за Ягайла, она поможет великой миссии: обращению в хр-во языческого народа. В Литве тогда не было гос. религии; в основной массе литовцы были еще язычниками, но среди знати и горожан к тому времени широко распространилось православие. Был крещен в правосл. веру и Ягайло, его хр. имя было Яков. Однако перед свадьбой его по требованию поляков перекрестили в католичество (и назвали Владиславом). – Так возникла уния Литвы и Польши. Поначалу это была только личная уния, обе части государства сохраняли свою отдельную администрацию и свои порядки. Но мало-помалу Литва начала подпадать под польское влияние; гл. следствием этого было постепенное окатоличивание литовцев. Между тем в состав Вел. княжества Литовского входило много рус. земель; оно и называлось, собственно, Вел. княжеством Лит. и Русским. После Батыева нашествия многие зап. и южные русские княжества поддались Литве без серьезного сопротивления или добровольно, потому что это избавляло их от татарского ига. Никаких религиозных или иных утеснений русские в Литве не терпели и пользовались там большим влиянием; все официальные бумаги писались по-русски. Но когда литовцы стали католиками, начались гонения на православную веру; люди, ее исповедовавшие – т. е. русские – почувствовали себя утесненными и обратили взоры на Восток, к возникшему там тем временем мощному единоверному государству, населенному к тому же их единоплеменниками. Потому-то воеводы Ивана III, Василия III и Ивана IV с почти неизменным успехом отвоевывали западные русские земли; потому же и Новгород, когда его независимое существование стало невозможным, присоединился не к Литве, а к Москве: хотя там была сильная литовская партия, противостоять литовской она не смогла, так как Москва была единоверная, а Литва чужой веры. И в конце концов Московская Русь стала единственной Русью, тогда как прежде были 2 Руси – Московская и Западная. – Вопрос: А если бы у Людовика были сыновья, одного из них почти наверняка избрали бы польским королем, и все могло бы пойти совсем иначе. Трудно представить себе, что могло бы быть, если бы до Нового времени дожили 2 или даже 3 независимых русских государства, а Польша не создала себе лишних проблем угнетением украинских и белорус. крестьян. И русские были бы другие, и поляки др., и вся ист. Европы и всего мира пошла бы иначе.
Второй пример. Когда в 1761 г. умерла императрица Елизавета Петровна, шла Семилетняя война, и Россия решительно брала верх над Пруссией. Вост. Пруссия была занята рус. войсками, и Россия не собиралась возвращать ее Фридриху, что он хорошо понимал. Но его поклонник Петр III сразу начал мирные переговоры и заключил мир на таких выгодных для Пруссии условиях, о каких Фридрих даже после смерти Елизаветы не смел и мечтать. Петр III отказался от всех рус. завоеваний, вернул Вост. Пруссию без всякой компенсации. В результате цель, которую ставили себе противники Фридриха, начиная войну, – «сократить силы» Пруссии – не была достигнута. А проживи Елизавета годом дольше или не будь Петр III таким пруссофилом – тогда Пруссия, вполне возможно, стала бы второразрядным германским государством, и не было бы ни разделов Польши, ни прусского объединения Германии. Опять-таки история Европы и всего мира сложилась бы по-другому.
[pagebreak]
2. Теория Льва Гумилева об этносах
ГУМИЛЕВ Лев Николаевич (1912–1992) – российский историк, географ, доктор исторических (1961) и географических (1974) наук, академик РАЕН (1991). Сын Н. С. Гумилева и А. А. Ахматовой. Создатель учения о человечестве и этносах как биосоциальных категориях; исследовал биоэнергетическую доминанту этногенеза (назвал ее пассионарностью). Труды по истории тюркских, монгольских, славянских и др. народов Евразии. Подвергался репрессиям в 1930-50-е гг.
По теории Гумилева иудейский этнос к моменту жизни на земле Спасителя был на спаде. Тогда на что надеялся Христос в своей проповеди – ведь этнос всё равно был обречен…
3. Теория академика Фоменко
Согласно “новой хронологии”, разрабатываемой математиком А. Т. Фоменко, достоверная мировая история начинается с XII–XIII веков, а более ранние события являются призрачными отражениями последующих, сдвинутыми на много веков в прошлое, не то по ошибке, не то по злокозненному умыслу хронистов позднего Средневековья, Петавиуса и Скалигера. Один из важнейших «жестких сдвигов» истории, обнаруженных якобы математически достоверно, составляет 1053 года. «Классические античные авторы писали вероятно, в X-XIII вв. н. э.», – заключает Фоменко.
Деятельность Иисуса Христа при этом является отображением активности Римского папы Григория VII (Гильдебранда), «дубликатом» которого Он-де является... Доказывается это, в частности, тем, что длительности правлений императоров средневековой Священной Римской империи Германской нации якобы хорошо соответствуют продолжительностям царствований императоров Древнего Рима, если сдвинуть хронологию на 1053 года. Вероятность случайного совпадения двух рядов очень близких интервалов оценивается математически и получается равной одной триллионной!
Оттон II царствовал в средневековой Германии (Священной Римской империи Германской нации – замечаете, Римской же) 23 года и император Тиберий царствовал в Древнем Риме тоже 23 года. Зацепка есть, можно отождествить и получить примерно нужный сдвиг.
Дальше надо получить интервал в 53 года, длительность царствования средневекового Генриха IV. Но вот беда – после Тиберия в Риме не было такого интервала. Ну что ж, прибавляем к Тиберию Калигулу, Клавдия и Нерона, получаем суммарную длительность царствований 23 + 4 + 13 + 14 = 54 года. Согласие в пределах ошибки, как говорят ученые люди. Дело нехитрое. Было у человека 4 имени, а решили (опять же злокозненные основатели современной хронологии), что было 4 человека. «Каждый из них содержит в своем полном имени одну и ту же формулу: Тиберий Клавдий Нерон», – пишет А. Т. Фоменко. Ну, допустим на минутку, что если к Калигуле добавить его дядю Клавдия, племянника Нерона и двоюродного дедушку Тиберия – как раз и получится германский Генрих IV. Что за беда, если сохранились и бюсты и монеты каждого из пяти... На что только не шли Скалигер и его сподвижники, заполонившие недра Европы своими фальшивками... Бюсты, правда, не очень похожие...
Но дальше – хуже. Для согласования с последующими средневековыми правителями, хотя Тиберия отдельно и с тремя другими уже использовали, берем снова Тиберия плюс Калигулу вместе, затем Клавдия плюс Нерона, затем Нерона отдельно... Но ведь мы же только что согласились, что был один император с четырьмя именами – а теперь расклеиваем его обратно в четыре и комбинируем попарно! Но ведь это уже не отдельные личности, а только имена одного и того же человека! Далее, Веспасиана и Тита считаем только вместе. Недаром оба они Флавии, отец и сын правда, как считалось до Фоменко... Но нет, это Тит Веспасиан Флавий сам себе говорил – «сынок, деньги не пахнут», когда попрекал сам себя в сбирании платы за посещение общественных римских уборных... И так далее, и тому подобное – и тогда уж почти всем императорам древности находятся средневековые соответствия. Если все равно не получается, то одного и того же древнего правителя запарал-лелим двум разным средневековым. И если и так не выходит, назначим Римским императором человека, который им не был (Германик). Приходится и разжаловать нескольких реальных императоров (Гальба, Оттон, Вителлий, Нерва и др.). Впрочем, отсутствие первых трех обсуждается (сроки правления их действительно невелики), что придает делу видимость объективности...
После преобразований склейки и расклейки императоров вступает в дело статистическая обработка, и вероятность случайного совпадения длительностей правлений оказывается ничтожно малой. Доказательство тождественности двух рядов необходимо, ведь «это – один из основных параллелизмов», как пишет А. Т. Фоменко. На основании данного “параллелизма” он и приходит к выводу, что Иисус Христос родился в 1054 году...
Главный результат “новой хронологии”, как считают ее авторы, состоит в обнаружении «трех основных хронологических сдвигов примерно на 330, на 1050 и на 1800 лет», в результате которых «последний отрезок истории XV-XX веков является хронологически достоверным, а хронология более ранних эпох нуждается в серьезном пересмотре». А. Т. Фоменко и его соратник Г. В. Носовский хотят «услышать ответ по существу: откуда вы все-таки берете обоснование древних дат».
Этот ответ дает астрономия. Особенно важна датировка более сотни древних наблюдений, собранных в «Альмагесте» Клавдия Птолемея, древнейшем своде астрономических знаний. Наиболее важным из этих ста наблюдений является звездный каталог, содержащий координаты 1022 звезд (так что можно говорить более чем о 1100 наблюдениях). Действительно, координаты звезд изменяются со временем по двум причинам – из-за векового изменения положения исходных точек их отсчета (определяемых положением в пространстве осей суточного и годичного вращения Земли), а также из-за перемещения как звезд, так и Солнца в пространстве, что приводит к очень медленным изменениям их координат на небесной сфере. Сравнивая их с современными, можно надежно определить время наблюдения каталога, если оно почему-либо не указано его автором. Таких случаев, правда, до сих пор не было... В «Альмагесте» четко сказано, что координаты, полученные из наблюдений, приведены к началу царствования Римского императора Антонина Пия. Это 20 июля 137 года. Однако д. Т. Фоменко уверен, что ему удалось датировать каталог X веком. Значит, и Антонин Пий, и многочисленные другие исторические личности, упоминаемые в «Альмагесте», жили на много веков позже, чем считалось до Фоменко. Лишается оснований и птолемеевский «Канон царей» – хронологическая таблица, по которой Птолемей приводит даты наблюдений и на которой основывался Скалигер. Значит, всю историю можно переписать, что А. Т. Фоменко и делает.
[pagebreak]
Общепринятая хронология не нуждается в новых проверках и подтверждении. Счет годов со времен античности никогда не был утерян. В последние века Римской империи он начинался с правления Диоклетиана, и так продолжалось до тех пор, пока римский аббат Дионисий не предложил считать 248-й год Диоклетиана 532-м годом от рождества Христова. Новое летосчисление привилось не сразу, его принял папа Бонифаций IV в 607 году от Р. X., но лишь со времен папы Евгения IV (1431 г.) оно регулярно используется в документах Святейшей канцелярии.
Однако Восточная Церковь эту эру не приняла (на Руси – до времен Петра I), поскольку споры о дате рождения Христа продолжались в Византии до XIV века. Христиане Египта и Ближнего Востока до сих пор пользуются эрой Диоклетиана. И если спросить у них, как они переходят к «нашей эре», они ответят что 1-й год Диоклетиана – это 284 год по Р. X. Счет годов не утерян!
Промежуток между 284 годом и 137 годом, первым годом Антонина Пия, заполняется без проблем по историческим данным (например, по списку римских консулов). При использовании же астрономических методов никакие промежуточные датировки вообще не нужны. Напомним, что 1-й год Антонина Пия – это дата, к которой приведены долготы звезд в звездном каталоге «Альмагеста». Антонин Пий замыкает «Канон царей» Птолемея, начинающийся с вавилонского Набонассара, 1-й год которого приходится на 747 год до Р. X. Этот «Канон» включен в «Подручные таблицы» Птолемея как хронологическая база для астрономических вычислений, по нему указаны даты астрономических явлений, описанных в «Альмагесте». Датировка «Канона» проверена многочисленными астрономическими данными, в том числе содержащимися и в «Альмагесте», и в клинописных табличках, откопанных в Месопотамии через 25 веков после события.
4. Теория «прибавочной стоимости» Маркса
Не является научной теория “прибавочной стоимости” Маркса, в основе которой лежит восходящее к Д. Рикардо (David Ricardo, 1772–1823) понятие “естественной” стоимости товара, определяемой затраченным на его изготовление “общественно необходимым” трудом. Эта стоимость, по Марксу, измеряется рабочим временем и выражается в соответствующих единицах – часах, днях и т. п. Но никаких способов ее измерения теория Маркса не дает (и не может дать ввиду нечеткости понятия “общественно необходимого труда”), вследствие чего она (теория) оказывается непроверяемой. Как говорит А. И. Фет в книге «Инстинкты и социальное поведение», «Стоимость – не величина в смысле естествознания, а философская фикция.»[6].
5. Статус субъективного мнения
Необходимо иметь ясное представление о возможностях используемого понятийного аппарата и возможностях работы с наличным материалом. (В гум. науках особенно часто нарушается.) Если понятийный аппарат таков, что построенная на его основе теория нефальсифицируема, в этом нужно отдать себе отчет и честно признать, что она является мифом или метафизическим учением (что само по себе еще не лишает ее права на существование, хотя в наш век всеобщего преклонения перед наукой редкий автор отважится сделать такое признание даже перед самим собой). Если гипотезу невозможно проверить наблюдениями или экспериментами ввиду особенностей материала (напр., его слишком мало, как часто бывает при изучении прошлого, или нет совсем, как бывает всегда при попытках предсказать будущий ход истории), нужно смириться с тем, что эта гипотеза может претендовать только на статус субъективного мнения, с которым каждый волен соглашаться или не соглашаться. Не могут претендовать на полную объективность теории, относящиеся к понятиям, содержание и объем которых не очерчены с достаточной четкостью (таких, как «капитализм», «романтизм» и т. п.). И если попытаться выразить в нескольких словах, чему может научить человека, решившего испробовать свои силы в области гуманитарных наук, анализ логического аспекта гуманитарных исследований, то, может быть, самыми подходящими словами были бы такие: трезво оценивать возможности своего инструментария.
[5] Вот пример такого «одноаспектного» рассуждения. В одном из эпизодов китайского классического романа «Троецарствие» описывается «ученый спор» двух мудрецов о свойствах неба. Один из них задает другому, между прочим, такой вопрос: «Есть ли у неба фамилия?» «Есть» – отвечает другой. «И какая же?» – «Лю.» – «Как ты это докажешь?» – «Очень просто! Ведь фамилия императора – Лю, а император – Сын Неба, значит, и фамилия неба – Лю».
[6] Кстати сказать, другая построенная Марксом экономическая теория, описывающая расширенное капиталистическое производство, явл. подлинной научной теорией. Впоследствии Дж. фон Нейман (John von Neumann, 1903–1957) перевел ее на мат. язык, и в современных руководствах по мат. экономике изложение «модели Маркса – фон Неймана», как ее теперь называют, занимает всего несколько страниц.
| |
|
|
|---|
| 1. О некоторых распространенных логических ошибках
С ошибками в рассуждениях приходится сталкиваться на каждом шагу, и избежать их невозможно. Более того: процесс человеческого познания состоит, в сущности, из ошибок – в том числе ошибок в рассуждениях – и их исправления. В частности, ошибки неизбежны в спорах: если двое отстаивают противоположные мнения, то в силу закона противоречия в рассуждениях по крайней мере одного из них есть ошибки. И бывает даже, что спорщик, стремящийся добиться победы любой ценой, допускает ошибки намеренно. Этим особенно славились древнегреч. софисты (букв. «знатоки» или «мудрецы»), и поэтому уже в древности намеренные ошибки в рассуждениях стали называть софизмами (греч. σόφισμα, буквально «мастерство, умение, искусство»). В отличие от софизмов ненамеренные ошибки в рассуждениях называют паралогизмами (греч. παραλογισμός, буквально «неверное умозаключение»).
По давней традиции в курсах логики рассматриваются некоторые наиболее распространенные типы «логических ошибок», под которыми понимаются прежде всего ошибки в рассуждениях. Мы также остановимся вкратце на важнейших из них.
1. Подмена тезиса (лат. ignoratio elenchi).
1) Это частный случай нарушения закона тождества, состоящий в том, что доказывается не то утверждение, которое необходимо доказать, а другое, внешне на него похожее или как-то с ним связанное. Типичный пример: обвинитель на судебном процессе вместо того, чтобы доказывать, что подсудимый действительно совершил преступление, в котором его обвиняют, говорит о том, как ужасно это преступление и какую опасность для общества представляет человек, его совершивший. Так бывает, к сожалению, нередко, и чаще всего это делается намеренно, в расчете на эмоциональное воздействие и на логическую и юридическую неграмотность тех, к кому обращена аргументация. Очень часто прибегают к подобным приемам и недобросовестные политики.
2. Предвосхищение основания (petitio principii)
– частный случай нарушения закона достаточного основания, состоящий в том, что некоторое утверждение доказывается с использованием (явным или неявным) другого утверждения, которое само еще нуждается в доказательстве.
С этой ошибкой мы сталкиваемся, напр., в тех случаях, когда необходимость для государства вмешиваться в политическую жизнь некоторого региона за его пределами, поддерживая какую-то из существующих там политических сил, обосновывается «геополитическими интересами» государства в этом регионе, причем наличие таких интересов считается не подлежащим сомнению, а вопрос, в чем они состоят, рассматривается как неприличный. Подобным образом часто обосновываются и другие политические требования. Нередко приходится встречаться с предвосхищением основания в сочинениях по философии, истории, литературоведению и другим гуманитарным дисциплинам.
3. Круг в доказательстве (circulus in demonstrando), или порочный круг (circulus vitiosus)
– частный случай предвосхищения основания: некоторое утверждение доказывается с явным или неявным использованием другого утверждения, при обосновании которого необходимо пользоваться тем самым утверждением, которое хотят доказать.
[pagebreak]
Примерами могут служить многочисленные попытки доказать 5-й постулат Евклида, предпринимавшиеся математиками до того, как после открытия Н. И. Лобачевским (1792–1856) и Яношом Бояи (1802–1860) неевклидовой геометрии и док-ва ее непротиворечивости стало ясно, что сделать это невозможно. 5-ым постулатом Евклида называется утверждение, которое на современном языке может быть сформулировано следующим образом: Если сумма внутренних односторонних углов, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей. (Нетрудно доказать, что это равносильно невозможности провести через точку, не лежащую на прямой, более одной прямой, параллельной данной.) Это одно из исходных утверждений, на кот. основывается построение геометрии в «Началах» Евклида. Оно выглядело более сложным и менее очевидным, чем остальные исходные утверждения, и к тому же первые 26 предложений в «Началах» доказываются без его помощи. Поэтому математики уже в древности стали задаваться вопросом: нельзя ли исключить его из числа исходных утверждений, то есть доказать, опираясь на остальные постулаты и аксиомы? За много веков было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удается доказать без использования того же 5-го постулата. Напр., Прокл (Πρόκλος, 412–485), опирался в своем доказательстве на допущение, что расстояние между двумя непересекающимися прямыми есть ограниченная величина; впоследствии выяснилось, что это допущение равносильно пятому постулату.
4. Человеческий фактор (argumentum ad hominem)
По традиции к лог. ошибкам относят также argumentum ad hominem (человеческий фактор), хотя эта ошибка носит по существу не лог., а психологический характер. В ней суждение об истинности утверждения ставится в зависимость от суждения о личных качествах человека (субъективируется). Так происходит, когда в рассуждение вмешиваются эмоции – напр., когда человек подсознательно боится сделать выводы из известных ему фактов, потому что эти выводы были бы ему неприятны. – Примечательно, что традиц. логика, уделившая много внимания ошибке argumentum ad hominem, «не заметила» несостоятельности родственного ей и также весьма распространенного способа аргументации, при котором за истину – и даже за «абсолютную истину» – принимается все, что написано в некоторых пользующихся особым авторитетом книгах (или может быть выведено из написанного там). Объясняется это, видимо, тем, что средневековые схоласты, к которым восходит классификация логических ошибок, сами свято верили в непогрешимый авторитет некоторых книг. Излишне говорить, что эта схоластическая традиция не изжита полностью до настоящего времени.
5. «Круг в определении» («circulus in definiendo»)
Кроме ошибок в рассуждении, к лог. ошибкам должны быть отнесены ошибки в определении понятий. Важнейшую из них естественно назвать «кругом в определении» («circulus in definiendo»). Состоит она в том, что некоторое понятие определяется с использованием других понятий, в определении которых участвует то самое понятие, которое надлежит определить. (Это участие – не обязательно непосредственное; иногда круг замыкается после того, как пройдена длинная цепочка определений.)
Напр., в «Советском энциклопедическом словаре» (М.: Советская энциклопедия, 1988) понятие «вывод» определяется как «переход от посылок к следствиям (заключениям) по правилам логики», а понятие «посылка» – как «высказывание (формула), из которого делается вывод или умозаключение».
От круга в определении следует отличать нередко встречающийся в толковых словарях «круг в толковании слов», который не является ошибкой. Толковый словарь не предназначен для определения понятий, его задача – пояснять значения слов с целью облегчить их правильное употребление. А пояснение может быть полезно и при наличии круга (избежать которого не всегда удается). – Для примера приведем несколько толкований из «Словаря русского языка» С. И. Ожегова (М.: Советская энциклопедия, 1972). (В случаях, когда словарная статья содержит несколько толкований, отвечающих разным значениям слова, мы приводим только одно, отвечающее интересующему нас значению.)
1. ВЫВЕСТИ – прийти к чему-нибудь рассуждением, заключить.
2. ВЫВОД – умозаключение, то, что выведено.
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ – утверждение, являющееся выводом из чего-нибудь.
4. ЗАКЛЮЧИТЬ – сделать вывод.
5. РАССУЖДЕНИЕ – умозаключение, ряд мыслей, изложенных в логически последовательной форме.
6. УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – вывод, заключение из каких-нибудь суждений.
В более новом варианте этого словаря (С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова, Толковый словарь русского языка, М.: Азъ, Ltd, 1992) толкование слова ВЫВЕСТИ выглядит так: «умозаключить, прийти к чему-нибудь на основе анализа». При таком изменении – которое, впрочем, трудно признать удачным – схема также несколько видоизменяется, но “круги” в ней остаются.
[pagebreak]
2. О логических парадоксах
Еще древние греки заметили, что рассуждения, с интуитивной точки зрения совершенно правильные, тем не менее могут иногда приводить к противоречиям. Такие рассуждения принято называть логическими парадоксами[1]. Интерес к ним усилился в конце XIX столетия, когда после создания Г. Кантором теории множеств выяснилось, что парадоксы возможны также и в математике. Сейчас мы остановимся на некоторых из них.
1. Парадокс лжеца
Самый старый и самый известный из лог. парадоксов – парадокс лжеца. Как заметил еще в IV в. до н.э. философ мегарской школы Эвбулид, если кто-либо говорит: «Предложение, которое я сейчас произношу, ложно», то из истинности этого предложения следует, что оно ложно, а из ложности – что оно не ложно, т. е. истинно. Это и есть парадокс лжеца.
2. Парадокс Кантора
Кантором было введено понятие мощности множества, позволяющее сравнивать произвольные множества по “количеству” элементов в них подобно тому, как это делается для конечных мн-в. (Напр., множество рац. чисел имеет такую же мощность, как мн-во нат. чисел, а мн-во действительных чисел – большую). Если мн-во А есть подмн-во мн-ва В, то мощность А не больше мощности В. Одна из самых замечательных теорем теории мн-в, доказанная Кантором, состоит в том, что для произвольного мн-ва мощность мн-ва всех его подмн-в больше мощности его самого. – Пусть теперь Μ – мн-во всех мн-в и М' – мн-во всех подмн-в М. Тогда мощность М' больше мощности М. Но всякое подмн-во М также есть мн-во, так что М' есть подмн-во М и, след., мощность М' не больше мощности М.
3. Парадокс Рассела (Bertrand Russell, 1872–1970).
Назовем множество самосодержащим, если оно является своим собственным элементом (пример – множество всех множеств). Пусть R –множество всех несамосодержащих множеств. Тогда, если R – самосодержащее множество, это значит, что R е R, а так как R по определению состоит из несамосодержащих множеств, то и R – несамосодержащее; если же R – несамосодержащее множество, это значит, чтоR $ R, а так как R по определению содержит все несамосодержащие множества, то R – самосодержащее. – Этот парадокс можно сформулировать иначе, пользуясь вместо понятия множества понятием свойства. Некоторые свойства справедливы в отношении самих себя («обладают сами собой»): напр., свойство «быть абстрактным» само абстрактно. Назвав такие свойства «самообладающими», мы можем, рассуждая точно так же, как выше (пусть читатель сделает это сам!), установить, что свойство «быть несамообладающим» не может быть ни самоообладающим, ни несамоообладающим.
4. Парадокс Берри (G. G. Berry).
Некоторые словосочетания русского языка служат названиями конкретных натуральных чисел. (Напр., число 23 можно назвать с помощью словосочетаний «число, на единицу меньшее числа, вдвое большего двенадцати», «наименьшее простое число, большее двадцати» и т. п.) Очевидно, число натуральных чисел, которые можно назвать с помощью словосочетаний, содержащих менее 60 слогов, конечно. Поэтому словосочетание «наименьшее нат. число, кот. нельзя назвать с помощью словосочетания русского языка, содержащего менее 60 слогов» называет некоторое натуральное число. Но само это словосочетание содержит всего 51 слог!
5. Парадокс Ришара (Jules Richard, 1862–1956).
Некоторые словосочетания рус. языка служат определениями функций натурального аргумента, принимающих натуральные значения. (Напр., «сумма делителей данного числа», «число, на единицу большее числа, вдвое большего, чем данное число» и т. п.) Все такие словосочетания можно занумеровать нат. числами, расположив их так, как располагают слова в словарях, и приписав тому словосочетанию, которое окажется первым, номер 1, тому, которое окажется вторым – номер 2 и т.д. Функцию, определяемую словосочетанием, имеющим номер n, будем обозначать fn. Рассмотрим теперь словосочетание «число, на 1 большее значения функции, определяемой словосочетанием, номером которого служит данное число, при значении аргумента, равном данному числу». Это словосочетание определяет некоторую функцию нат. аргумента с нат. значениями и, следовательно, должно получить некоторый номер n0. По опр. функции fn0 имеем fn0(n) = fn0(n) +1 для любого п. Но отсюда следует, в частности, что fn0 (n0) = fn0 (n0) + 1.
* * *
Можно заметить, что понятия, о которых идет речь в рассмотренных парадоксах, имеют общую черту: все они определяются с явным или неявным упоминанием самих определяемых понятий. Содержанием предложения, приводящего к парадоксу лжеца, является утверждение о его собственной ложности. Мн-во всех множеств состоит из элементов, среди которых имеется, в частности, оно само, и так же обстоит дело с любым самосодержащим множеством. В словосочетании, которое служит именем числа, дающего парадокс Берри, фактически идет речь о мн-ве, содержащем это число в качестве элемента. Функция, фигурирующая в парадоксе Ришара, определяется через мн-во всех функций нат. аргумента с нат. значениями, одним из элементов которого является сама эта функция. Т. обр., во всех 5 случаях имеется круг в определении, и естественно предположить, что именно с этой некорректностью связано возникновение парадоксов.
[pagebreak]
Но в конце XIX столетия, когда были обнаружены парадоксы теории множеств, математика не располагала средствами, которые позволяли бы четко отграничить “законные” способы образования математических понятий и способы математических рассуждений от “незаконных”. Поэтому открытие теоретико-множественных парадоксов было воспринято многими математиками как кризис, ставящий под сомнение надежность методов математики, всегда считавшейся достовернейшей из наук. Правда, в конкретных математических дисциплинах – таких, как арифметика, геометрия, дифференциальное исчисление и т. п. – не было “экзотических” понятий, подобных фигурирующим в парадоксах, и можно было надеяться, что эти дисциплины не окажутся под угрозой. Но чтобы иметь в этом уверенность, нужен был тщательный анализ логических основ математической науки, чем и занялись многие математики и философы, в т. ч. весьма выдающиеся. Возникла новая область научных исследований “на стыке” математики и философии – основания математики; ее главным рабочим инструментом стала математическая логика, получившая тем самым новый мощный стимул к развитию. Как всегда бывает в философии и смежных с ней областях, мнения ученых о природе кризиса и путях его преодоления были различны. В философии математики появились разные направления. Все они так или иначе способствовали развитию логики (не только математической!) и углублению знаний математиков о природе понятий и методов своей науки. Был получен ряд результатов, по большей части неожиданных, которые, хотя и не привели к общему согласию в главных вопросах оснований математики (в т. ч. в вопросе о происхождении и значении парадоксов), но позволили гораздо лучше, чем раньше, представить себе, что можно и чего нельзя сделать с помощью формальных математических методов. – Конструкции, аналогичные тем, на которых основаны логические парадоксы, в некоторых случаях используются в математике для док-ва (приведением к нелепости) невозможности существования объектов с теми или иными свойствами. Так доказывается, в частности, знаменитая теорема Гёделя о неполноте арифметики.
Можно привести простой пример нематематического рассуждения этого типа, являющегося не парадоксом, а просто доказательством невозможности. Вообразим военного парикмахера, получившего приказ брить всех тех и только тех военнослужащих своего подразделения, которые не бреются сами. Должен ли он бриться сам? Если он будет это делать, то нарушит приказ, так как брить тех, кто бреется сам, ему запрещено. Если не будет – тоже нарушит: тех, кто не бреется сам, он обязан брить. Т. обр., выполнить этот приказ невозможно. Это рассуждение иногда называют “парадоксом парикмахера”, хотя на самом деле никакого парадокса здесь нет. (По своему опыту читатель, вероятно, знает, что можно привести сколько угодно примеров не выдуманных, а действительно отдававшихся невыполнимых распоряжений. | |
|
|
|---|
| 1. Символическая (математическая) логика
1. Что такое математическая логика
Впервые логика вышла за классические рамки в XVII столетии, но по-настоящему новая эпоха в ее развитии началась в середине XIX столетия, когда некоторые логики и математики стали пользоваться символическими обозначениями для простых логических операций подобно используемым в математике символическим обозначениям арифметических действий. Это дало возможность представлять некоторые логические закономерности в виде математических соотношений. Так возникла “алгебра логики”, из которой развилась математическая логика, позволяющая изучать строение рассуждений значительно полнее и глубже, чем традиционная «аристотелевская».
Недостаточность дедуктивных рассуждений была замечена лишь в Новое время, приблизительно в конце XVI – начале XVII в. Вскоре ученые начали осознавать и недостаточность аристотелевской теории для описания самих дедуктивных рассуждений. Великий философ и математик Г. В. Лейбниц (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646–1716) выдвинул идею построения «универсальной характеристики» (Characteristica universalis) – математизированной логической системы, которая могла бы служить не только для теоретического описания рассуждений, но и для их практического выполнения. Эта система должна была состоять из знаков, соответствующих мыслям, и правил оперирования с этими знаками, построенных таким образом, что всякий раз, когда некоторая мысль является следствием другой, знак первой получается из знака второй по этим правилам. Лейбниц мечтал о времени, когда философы вместо того, чтобы спорить, будут говорить: «Посчитаем!» Сам Лейбниц не построил развернутой формально-логической системы, но под его влиянием мысль ученых начала работать в этом направлении.
Новый этап в развитии формальной логики наступил с конца 19 – начала 20 в., когда стала интенсивно развиваться математическая (символическая) логика на месте прежней силлогистики. В современной науке большую роль играют формализованные логические системы и содержательные формально-логические теории, изучающие отдельные стороны и задачи мышления. Символическая логика (или математическая логика) – область знания, которая сложилась в результате применения в логике формальных методов математики и логического исследования математических рассуждений и доказательств. Так что, как сказал российский математик Платон Сергеевич Порецкий: «Математическая логика есть логика по предмету, математика по методу».
Современная логика, как правило, формализована:
– она работает с символами, правилами для операций с ними и правилами для выведения истинных заключений;
– она стремится выработать строгую теорию формальных выводов и интерпретаций.
– ее результаты находят применение в математике и технике, особенно в электронике и компьютерной технике.
Как самостоятельная дисциплина мат. логика оформилась в середине 19 в. благодаря работам Джорджа Буля (1815–64) по алгебре логики. Создание “алгебры логики”, т. е. пропозициональной части символического языка, явилось первым серьезным успехом на этом пути. Основные идеи, которые легли в основу алгебры логики, впервые появились в опубликованных в 1847 г. работах А. де Моргана и Дж. Буля и были развиты рядом других исследователей в течение второй половины XIX в. (МОРГАН (De Morgan) Огастес (Августус) (1806-71), шотл. математик и логик. Труды по алгебре, теории рядов. Независимо от Дж. Буля пришел к основным идеям мат. логики).
2. Булевы функции
Пусть имеется некоторый набор высказываний, о которых можно определённо говорить, что они истинны или ложны. Для обозначения этих высказываний будем использовать латинские буквы А, В, С и т. д. Если у нас есть 2 простых предложения, то из них можно образовать новое, сложносочинённое предложение с помощью союзов «или» либо «и». В математической логике для аналогичной цели используют специальные символы: знак дизъюнкции V; знак конъюнкции &. Таким образом, из утверждений А, В с помощью знаков дизъюнкции и конъюнкции получим новые утверждения: A v B? (читается «А или B»), А & В (читается «A и В»). Утверждение A v В считается истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных утверждений; утверждение А & В -когда истинны оба утверждения. Дизъюнкцию и конъюнкцию можно рассматривать как особые операции, определённые не на числах, а на логических значениях ИСТИНА и ЛОЖЬ. Для этих операций существуют таблицы, подобные таблице умножения.
ИСТИНА v ИСТИНА = ИСТИНА, ИСТИНА v ЛОЖЬ = ИСТИНА, ЛОЖЬ v ИСТИНА = ИСТИНА, ЛОЖЬ v ЛОЖЬ = ЛОЖЬ, ИСТИНА & ИСТИНА = ИСТИНА, ИСТИНА & ЛОЖЬ = ЛОЖЬ, ЛОЖЬ & ИСТИНА = ЛОЖЬ, ложь & ложь = ложь.
Более традиционной для таких таблиц истинности является следующая (табличная) форма записи:
……………………..
Примеры: «Люблю футбол и люблю хоккей», «Или я никого не обижаю, или мне плохо».
[pagebreak]
Логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ называют также булевыми значениями – в честь Джорджа Буля. Функции, аргументами и значениями которых являются ИСТИНА и ЛОЖЬ, называются булевыми функциями. Операции конъюнкции и дизъюнкции – это два примера булевых функций от двух аргументов.
Булевы операции можно представить в виде электрических цепей:
……………………..
«Я поеду домой, если я сдам все экзамены и меня отпустит ректор».
… Эта операция называется логическим следованием или импликацией. Функцию А => В можно выразить словами «из A следует В» или «если A, то В». Наряду со знаком => используется знак =>. Обратите внимание, что импликация А => В является ложной, только если A истинно, а В – нет. Если А ложно, то о В ничего не утверждается, и потому в данном случае импликация считается истинной вне зависимости от значения В. В отличие от конъюнкции и дизъюнкции в импликации аргументы нельзя поменять местами. Так верно, что «всякий семинарист – мужчина», но высказывание «всякий мужчина – семинарист» ложно.
«Если я сдам все экзамены на отлично, то мне дадут повешенную стипендию».
А <=> В соответствует фразе «А тогда и только тогда, когда В».
Операция ^ называется логическим отрицанием. Для передачи отрицания в русском языке используется частица «не». Она может стоять перед разными членами предложения, и от этого зависит смысл высказывания. Напр.: Петя не купил мороженое. Не Петя купил мороженое. Петя купил не мороженое. Логическое отрицание соответствует «не», стоящему перед сказуемым, как в первом предложении. Другой способ выразить логическое отрицание – добавить к высказыванию-аргументу слова «неверно, что». Сравните первое предложение со следующим: Неверно, что Петя купил мороженое.
3. Связь логических операций между собой
2. Логические операции связаны между собой следующим образом:
A => B = ~A V B ~ (A V B) = ~A & ~B
~ (A & B) = ~A V ~B A <=> B = (A & B) v (¬A & ¬B),
~~A = A Л => A
4. Некоторые законы математической логики
Закон противоречия. Высказывание Л не может быть одновременно истинным и ложным: ¬ (а & ¬А).
Закон исключённого третьего. Либо верно, что А, либо неверно, что Л, третьего не дано: A v ¬A = И.
Закон двойного отрицания. Если неверно, что неверно А, то А истинно: ¬¬A =>А.
Закон тройного отрицания. Если неверно, что неверно, что неверно А, то А ложно: ¬¬¬A => ¬A.
Закон контрапозииии. Если из А следует В и неверно, что В, то неверно, что А: (А=>B) => (¬B => ¬А).
Закон приведения к абсурду. Если из А следует, что верно В и что неверно B, то А ложно: (А=>B) => ((A =>¬B) => ¬А).
Закон Дунса Скотта. Если ложного утверждения следует всё что угодно: Л => А
Правило Дунса Скота на первый взгляд кажется менее очевидным, чем предыдущие правила, но в действительности даже люди, далекие от науки, интуитивно уверены в его справедливости. Когда кто-нибудь, желая показать, что убежден в ложности некоего утверждения, говорит: «Если это верно, то я китайский император», он пользуется правилом Дунса Скота. Именно в силу этого правила условное утверждение считается истинным, когда его посылка опровергнута.
2. Аксиоматический метод построения систем
1. Аксиома и теорема
Аристотель учил, что изложение теории должно начинать с первоначальных предложений – аксиом, из которых выводятся дальнейшие факты (теоремы). Вот две аксиомы, сформулированные Евклидом: «через две точки можно провести прямую»; «порознь равные третьему равны между собой».
Современный подход к аксиоматическому построению некоторой теории состоит в следующем. Во-первых, указываются первоначальные (неопределяемые) понятия. В геометрии к ним относятся: точка, прямая, расположение точки на прямой, равенство фигур и др. Дальнейшие понятия вводятся с помощью определений. Правда, Евклид попытался определить все понятия, включая и первоначальные. Например: «точка есть то, что не имеет частей», т. е. идеализированная, геометрическая точка лишена размеров. Но, конечно, это не точное математическое определение, а наглядное описание точки, как чего-то предельно малого. Столь неясным определением точки Евклид нигде не пользуется.
Во-вторых, после перечисления первоначальных (неопределяемых) понятий формулируются аксиомы – первоначальные положения, указывающие на связь между понятиями. Вопрос об «очевидности» аксиом не рассматривается (к тому же нечто, очевидное одному человеку, может показаться другому совсем не очевидным). Дальнейшие факты – теоремы доказываются на основании аксиом и уже доказанных теорем. Это означает, что, в-третьих, должны быть чётко сформулированы правила вывода – те логические средства, которые используются при доказательствах.
[pagebreak]
Разумеется, аксиомы (а также понятия) – плод многовекового опыта человечества. Потому-то абстрактно сформулированные аксиомы и выводимые из них теоремы тесно связаны с жизнью. Однако при чисто аксиоматическом построении теории вопрос о происхождении аксиом, об их практической значимости не рассматривается.
Исторически аксиоматический метод построения математики начался с геометрии. В классической работе «Начала» Евклид предпринял попытку дать полный список требуемых аксиом. В последующие столетия было обнаружено, что этих аксиом не хватает, т. е. где-то в доказательствах происходит апелляция к зрительным образам. Этого недостатка смог избежать Д. Гильберт, предложивший в конце XIX в. свою аксиоматику элементарной геометрии. Широко известной стала фраза Гильберта: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках».
2. Непротиворечивость аксиоматической системы
Что такое непротиворечивость – понятно …
Ник. Ив. Лобачевский, пользуясь материалом своей «воображаемой» геометрии, смог построить модель геометрии Евклида на поверхности, которую назвал орисферой. Однако Лобачевского прежде всего интересовал противоположный результат, если мы не сомневаемся в непротиворечивости геометрии Евклида, то непротиворечива и «воображаемая» геометрия. То есть надо было из материала евклидовой геометрии построить модель геометрии Лобачевского. Но он такую модель создать не смог. Её построили (уже после смерти гениального математика) Феликс Клейн и другие учёные. И тем самым установили, что обе геометрии – и Евклида, и Лобачевского – одинаково непротиворечивы. Если непротиворечива одна, то же верно и для другой, и наоборот.
Непротиворечивость евклидовой геометрии была доказана путем указания модели.
3. Полнота аксиоматики
Кроме непротиворечивости есть ещё одна важная характеристика системы аксиом – т. н. полнота. Непротиворечивая система аксиом называется полной, если всякое истинное суждение в ней (касающееся ее объектов) является в ней теоремой или аксиомой (т. е. выводимо).
Для полной системы все ее модели изоморфны. Грубо говоря, полная система аксиом определяет, с точностью до изоморфизма, только одну теорию.
Оказалось, что гильбертова аксиоматика является полной. Иначе говоря, она определяет (с точностью до изоморфизма) единственную теорию – евклидову геометрию.
В качестве ещё одного примера рассмотрим так называемую абсолютную геометрию, т. е. систему теорем, которые вытекают из всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы параллельности. Очевидно, что система аксиом абсолютной геометрии неполна. Добавив к её аксиомам аксиому параллельности, мы получаем одну теорию – евклидову геометрию. Включив в систему тех же аксиом отрицание аксиомы параллельности, приходим к другой, неизоморфной первой теории – геометрии Лобачевского.
4. Независимость
Любая система аксиом должна обладать свойством независимости (хотя оно менее существенно, чем непротиворечивость и полнота). Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом невозможно доказать как теорему исходя из остальных аксиом. Напр., аксиома параллельности независима от остальных аксиом геометрии (поскольку не только система аксиом, в которой данная аксиома выполняется, непротиворечива, но и система аксиом, в которой выполняется отрицание аксиомы параллельности, также непротиворечива). Вообще, чтобы доказать независимость какой-либо аксиомы от остальных, надо построить две модели, в одной из которых выполняются все аксиомы, включая и выбранную, а в другой модели выполняются все аксиомы, кроме выбранной – она не выполняется.
3. Теоремы Курта Гёделя (1906–1979) как указание на ограниченность формальной логики
1. Отсутствие механической процедуры определения общезначимости логической формулы
Если некоторая замкнутая формула является общезначимой, то в этом можно убедиться за конечное число шагов с помощью исчисления предикатов. А что делать, если формула не общезначима? Здесь кончается аналогия с пропозициональными формулами, нетавтологичность которых, по крайней мере в принципе, устанавливается перебором конечного количества возможных значений переменных. Одно из важнейших достижений математической логики состоит в том, что было доказано:
Не существует универсального метода, который позволял бы по произвольной замкнутой формуле исчисления предикатов узнавать, является ли эта формула общезначимой. Иными словами: определение общезначимости – дело не механическое.
[pagebreak]
Для того чтобы доказать этот факт, потребовалось создать новый раздел математической логики – теорию алгоритмов. Она занимается изучением не того, что можно и что нельзя доказать, а того, что можно и что нельзя вычислить.
2. Неполнота арифметики
Раньше верили, что полнота любой системы достижима путем добавления нужного числа аксиом. Но оказалось, что это – не так.
Оказалось, для любой не слишком простой аксиоматической теории, напр. уже для арифметики натуральных чисел, полнота аксиоматики – вещь недостижимая, как утверждает знаменитая первая теорема Гёделя о неполноте арифметики (1931, Kurt Godel, 1906–1979). Её можно сформулировать в усиленной форме следующим образом:
Для любой непротиворечивой системы аксиом А1, А2, ..., Аn можно указать многочлен М от многих переменных с целыми коэффициентами, такой, что уравнение
M(x1, х2, … xn) = 0
не имеет решений в целых числах, но это нельзя вывести из А1, А2, ..., Аn.
Т. обр., один из видов деятельности математиков – выработка систем аксиом – никогда не будет исчерпан.
3. В непротиворечивость можно только верить
Казалось бы, это несложная работа (в отличие от доказательства теорем), но в действительности соблюсти требование непротиворечивости аксиоматики очень непросто. В самом деле, как доказать, что данный набор аксиом непротиворечив? Само доказательство непротиворечивости некоторого набора аксиом А1 А2, ..., Аn можно было бы попытаться провести на основе некоторого другого множества аксиом А'1 А'2 ..., А'n. К сожалению, новая аксиоматика должна быть не слабее той, непротиворечивость которой хотелось бы доказать. Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте:
Непротиворечивость никакой нетривиальной аксиоматической системы не может быть доказана средствами самой этой системы.
Т. обр., развитие мат. логики, создатели которой в значительной мере вдохновлялись идеями Лейбница, не оправдало его надежд на замену рассуждений вычислениями.
4. Обсуждение философских следствий теорем Геделя
Итак, даже наиболее фундаментальные разделы математики (напр., арифметика) несводимы к формальной логике. Значит, невозможно обойтись без предельных (трансфинитных) переходов.
Фактически первая теорема Геделя гласит: «Если развитая (не ниже арифметики) логическая система строится исключительно рациональным путем (т. е. минуя интуитивные “предельные переходы”), и если она при этом непротиворечива (что является естественным требованием к системе), то она заведомо неполна. Т. е. в ней непременно найдется такое утверждение (может быть и не очевидное), оценка истинности или ложности которого невыводима из заложенных в ней аксиом».
Когда Спиноза разрабатывал свою философскую систему, то он исходил из того, что ее рациональное постижение и даже изложение – дело вполне возможное. Теорема, открытая 200 лет спустя австрийским логиком К. Гёделем положила предел всем такого рода притязаниям.
4. Интуиционистская логика и конструктивная математика.
Совр. этап М. л. характеризуется исследованием разнообразных видов логических исчислений, интересом к проблемам семантики и вообще металогики, к вопросам специальных математических и технических приложений логики. В связи с задачами обоснования математики наряду с работами в области классической логики разрабатывается интуиционистская и конструктивная логика. С анализом оснований логики связаны исследования по комбинаторной логике. Создается теория многозначных логик. Попытки решить проблему формализации логического следования привели к созданию исчислений строгой и сильной импликации. Построен ряд систем модальной логики. Вместе о тем М. л. оказывает большое влияние на совр. математику. Из М. л. выросли такие существенные разделы последней, как теория алгоритмов и рекурсивных функций. М. л. находит приложение в электротехнике (исследование релейно-контактных и электронных схем), вычислительной технике (программирование), кибернетике (теория автоматов), нейрофизиологии (моделирование нейронных сетей), языкознании (структурная лингвистика и семиотика.
Сомнению был подвергнут закон исключённого третьего: А v ¬А. Правомерно ли считать эту дизъюнкцию истинной, если мы не можем установить, которое из двух утверждений, А или ¬А, истинно? В результате были предложены логические системы без закона исключённого третьего – интуиционистская логика (в начале XX в., основоположник интуиционистской математики – Ян брауэр (1881–1966)) и конструктивная математическая логика (в середине XX в., с развитием теории алгоритмов) и на их основе построены математические теории, существенно отличающиеся от классических. | |
|
|
|---|
При помощи понятийно-терминологического анализа, можно выделить 4 специфических подхода к определению ценности. Однако все они весьма противоречивы.
1. Ценность как новая идея
Ценность отождествляется с новой идеей, выступающей в качестве индивидуального или социального ориентира.
Действительно ценность фиксируется и обозначается через определенные жизненные представления. Ее содержание раскрывается с помощью конкретного комплекса идей. Однако ценность ни в коей мере не может быть отождествлена с идеей, ибо между ними пролегает существенное принципиальное различие.
Идеи могут быть истинными или ложными, научными или религиозными, философскими или мистическими. Они характеризуются через тот тип мышления, который дает им нужный импульс. Главный критерий в данном отношении степень истинности той или иной идеи.
Наука утверждает, что все люди смертны. Это вовсе не означает, что каждый индивидум воспринимает данное неопровержимое суждение как безусловное благо. Напротив, в сфере ценностного поведения человек как бы опровергает безоговорочность приведенного суждения. Человек в своем поведении может отвергать конечность своего существования. Более того, традиции некоторых культур опровергают идею смертности человека.
Человек сам определяет, что для него свято, какие святыни ему дороги. Однако многие духовные абсолюты у людей тождественны, одинаковы. О том, что у человека могут быть безмерно дорогие для него жизненные установки, знали давно. Однако общепринятого слова, которое закрепляло бы данное понятие, не было. Оно появилось только в XIX в. Незыблемую сокровенную жизненную ориентацию философы называли ценностью. Это и есть то, без чего человек не смыслит полноценной жизни. Исследователи подразумевают под ценностью то, что свято для конкретного человека, что для меня лично.
Личность далеко не всегда стремится жить по науке. Напротив, многие с опаской относятся к ее чисто умозрительным рекомендациям, хотят погрузиться в теплый мир мечты, презрев общезначимые реальности. Люди часто ведут себя так, словно они бессмертны. Человек черпает жизненную энергию в том, что по существу противостоит холодному научному постулату. Стало быть ценность – это нечто иное, нежели одухотворяющая истина.
2. Культурная обусловленность ценностей
Ценность воспринимается как распространенный субъективный образ или представление, имеющее человеческое измерение.
Скорее всего, было бы неоправданно отождествлять ценность с субъективным образом, с индивидуальным предпочтением, возникающим в противовес аналитическому, всеобщему суждению. Разумеется, спектр ценностей в любой культуре достаточно широк, но не беспределен. Человек волен выбирать те или иные ориентации, но это происходит не в результате абсолютного своеволия. Иначе говоря, ценности обусловлены культурным контекстом и содержат в себе некую нормативность.
Факты, явления, события, происходящие в природе, обществе, жизни индивида осознаются не только посредством логической системы знания, но и через призму отношения человека к миру, его гуманистических или антигуманистических представлений, нравственных и эстетических норм. Хотя ценности более субъективны, а научные истины объективны, они далеко не всегда противостоят друг другу. Я, скажем, вряд ли могу доказать, что добро – это благо. Однако, с другой стороны, приверженность добру – глубинная человеческая потребность, а не только мой индивидуальный выбор. Познание и оценка не одно и то же, но это не означает, будто они фатально разъединены.
[pagebreak]
3. Ценность как культурно-исторический стандарт
Ценность синонимизируется с культурно-историческими стандартами.
Люди постоянно соизмеряют свои действия со своими целями, общепризнанными нормами. В истории сталкиваются различные идеалы, абсолюты и святыни. В каждой культуре обнаруживается ее ценностная природа, το есть наличие в ней стойких ценностных ориентации.
Например, технократическое сознание предлагает людям следовать социоинженерным рецептам. Общество в целом представляется им грандиозной машиной, где отлажены все человеческие связи. Однако люди поступают нередко вопреки этим императивам. Технократы с горечью констатируют: «Человек неуправляем!». Многие поэтому отказываются рассматривать науку как единственное и всесильное средство разрешения любых человеческих проблем. Они даже отвергают науку как способ достижения гармонии на путях рационально спроектированного миропорядка.
Ценности также более подвижны, нежели культурно-исторические стандарты. В рамках одной культуры может произойти смена ценностных ориентаций. Американский культуролог Даниэль Белл в работе «Культурные противоречия капитализма» показал, что на протяжении исторической судьбы капиталистической формации радикально менялись ценностные ориентации от протестантской этики до модернизма, то есть совокупности новых жизненно-практических установок.
4. Ценность как жизненный стиль
Ценность ассоциируется с типом "достойного" поведения, с конкретным жизненным стилем.
Ценности далеко не всегда находят прямое отражение в социальной практике. Иначе говоря, можно иметь и умозрительные идеалы. Те или иные ориентации могут не подкрепляться реальными поступками и, следовательно, не получать воплощения в жизненном стиле. Скажем, индивид воспринимает доброту как безоговорочную ценность, однако реальных добрых поступков не совершает.
Многообразие трактовок центрального, для аксиологии понятия "ценность", обусловлено различиями в решении проблемы соотношения онтологического-гносеологического-социологического, объективного-субъективного, материального-идеального, индивидуального-общественного. Поэтому, применительно к характеристике ценностной системы, оно порождает многообразие аксиологических интерпретаций мира культуры, толкований структуры, положения и роли ценностей в социокультурном пространстве.
Тем не менее, базовой для аксиологии является проблема обоснования возможности существования ценностей в структуре бытия в целом и их связи с предметной реальностью. С этой точки зрения ценность как бы стягивает все духовное многообразие к разуму, чувствам и воле человека. Она характеризует человеческое измерение общественного сознания, поскольку пропущена через личность, через ее внутренний мир. Если идея, к примеру, это прорыв к постижению отдельных сторон бытия, индивидуальной и общественной жизни, то ценность – это скорее личностно окрашенное отношение к миру, возникающее не только на основе знания и информации, но и собственного жизненного опыта человека.
Человек соизмеряет свое поведение с нормой, идеалом, целью, которая выступает в качестве образца, эталона. Понятия "добро" или "зло", "прекрасное" или "безобразное", "праведное" или "неправедное" могут быть названы ценностями. В свою очередь, вязанные с ними взгляды, убеждения людей – ценностными идеями, которые могут оцениваться как приемлемые или неприемлемые, оптимистические или пессимистические, активно-творческие или пассивно-созерцательные.
Именно в этом значении те ориентации, которые обусловливают человеческое поведение, называют ценностными. | |
|
|
|---|
В современной философии есть раздел, отведенный исследованию ценностей, – аксиология (от греч. axios – ценный и logos – слово, понятие, учение). Для философского мировоззрения аксиологическая проблематика имеет фундаментальное значение. Оно обусловлено тем, что задачей философии является установление предельных оснований бытия и построение, исходя из их понимания, целостного мировидения, которое помогло бы выбрать общее направление жизни, указать ее главные цели. В решении этой задачи первостепенную важность имеет определение ценностных оснований человеческого бытия. Отсюда проистекает проясняющая сила ценностного подхода в философии. Существенные различия между философскими системами, школами, течениями и т. д. обусловливаются тем, какие ценности и в каком соотношении полагаются в их основание. Например, в философии Ницше на первый план выдвигается ценность индивидуальной воли к могуществу (воли к власти), которая становится мерилом в его «переоценке всех ценностей». Философствуя, человек размышляет о том, в чем суть всего существующего, ставя под вопрос себя самого. Он неизбежно оказывается перед проблемами смысла, назначения своей жизни, ее задач и возможностей. Ценность, достоинство отдельного существования, включая личное, определяется в соотнесении его с иерархией ценностей, на вершине которой – абсолютное благо. Исследование его выявляет глубокий смысл и действенность идущего от Платона сближения идеального и идеала; тождества и различия ценностей божественного, бытия, истины, добра, красоты, сливающихся в идее Единого-Блага, т. е. – ценностного абсолюта.
Долгое время ценностная проблематика разрабатывалась философами преимущественно в рамках онтологии, поскольку считалось, что ценности обладают абсолютным бытием в божественном начале: безличном природном (космоцентризм) или личном трансцендентном (теоцентризм). Только с упрочением антропоцентристского мировоззрения в результате развития просветительских идей появились представления о том, что высшие ценности суть «регулятивные идеи». Так называет Кант «чистые» цели, «идеалы будущего», к которым люди должны направлять свою волю, чтобы шло совершенствование человека, осуществлялся Прогресс человеческого рода. Бытие остается ценностью, но не как вневременное абсолютное бытие, а как одна из целей – осуществление ценности в будущем или сохранение ценного в настоящем. Кант разграничивает ценность [то, что подвигает человека] и бытие, полагая, что ценность не существует, но обладает значимостью. Благодаря усилиям немецких последователей Лейбница (Р. Г. Лотце, 1817–1881) и Канта (неокантианцы) во 2-й пол. XIX в. разворачивается философское исследование ценностей, аксиология превращается в особую философскую дисциплину. Глава Баденской школы неокантианства В. Виндельбанд трактует философию как учение об общезначимых ценностях. Он выявляет ценностный характер культуры, усматривает смысл исторического движения в прогрессирующем воплощении ценностей. Важную роль в аксиологии играет введенное Виндельбандом различие между ценностями-идеалами (чистыми целями) и ценностями-благами, существующими в реальности и необходимыми для культуры. К первым относится, например, истина, ко вторым – наука, воплощающая идеалы истины. Блага остаются ценностями, поскольку их сохранение и развитие выступает как цель. Значительный вклад в аксиологию вносят учения немецких философов Г. Риккерта (1863–1936), М. Шелера (1874–1928), русского философа Н.О. Лосского (1870–1965).
Аксиологический подход к этическим проблемам
Само понятие о ценности нам знакомо с детства – все слова (особенно прилагательные) характеризуют предметы по ценности. Прилагательные фиксируют наличие признаков у предмета: предметы сами по себе, а ценности сами по себе. И под ценностью мы понимаем качество – qualitas (лат.) Качество предмета – всегда какое-то его свойство. Лучше: ценности – это качества, но не все качества есть ценности. Если качество может иметь и "-", и "+", то оно является ценностью, например:
красивый – безобразный,
добрый – злой.
А некоторые качества для нас ценностями быть не могут – это "необратимые" качества, не имеющие одновременно и "+", и "-", например:
зеленый.
Природу ценностей выяснить трудно. Существует 2 точки зрения:
1. Источник ценности – труд. Так считали Адам Смит ® Риккардо ® Маркс.
2. Теория предельной полезности. Но воздух, например, максимально полезен, а ценности нет – мы же его не покупаем. Тем более сложно разобраться с теми вещами, которые нематериальны.
Единственный выход – объявить ценность субъективной:
1. Ценно то, что желанно.
2. Ценно то, что необходимо (лекарство, например).
Но это – не так. На самом деле человек стремится к тем предметам, которые мы заранее высоко оценили, т. е. сначала даем высокую оценку, а затем стремимся приобрести предмет.
Сказали: "ценности обладают первичным характером". Есть субстрат, субстанция, а признак "приклеивается" к этому субстрату – это в философии. А в аксиологии наоборот: субстрат уходит в сторону – и на первое место выступают "качества-ценности", т. е. абстрактные существительные, образованные от прилагательных – пример качеств-ценностей ("красота", "доброта" и т.п.). | |
|
|
|---|
В значительной степени независимо от направления Буля — Шредера идеи математической логики в последней четверти XIX в. формировались в силу внутренних потребностей самой математики (в первую очередь в виду необходимости аксиоматической трактовки ее основ). Пальма первенства здесь принадлежит немецкому ученому Готлобу Фреге, которому пришлось заняться выяснением самых глубоких и основных логических связей между наиболее элементарными понятиями и предложениями математики.
С именем Фреге обычно связывают возникновение нового этапа в развитии математической логики, который характеризуется аксиоматической трактовкой пропозиционального исчисления, закладкой основ теории математического доказательства, формулировкой начатков логической семантики.
1. Методологическая позиция
Алонзо Черч характеризует Фреге как "последовательного платоника" или "крайнего реалиста". Б.В. Бирюков находит у Фреге элементы материализма. Как направления в логике. В своей работе “Основания арифметики. Логико-математическое исследование понятия числа” иенский математик выступил с критикой взглядов одного из лидеров логического психологизма Д. С. Милля. Фреге выступает против грубо эмпирической трактовки предмета арифметики Миллем. Против миллевского утверждения о том, что общие законы арифметики суть индуктивные истины, Фреге выставляет тот тезис, что сама индукция нуждается для своего обоснования в некоторых общих предложениях арифметического характера. Согласно иенскому мыслителю, ошибка Милля состояла в том, что он рассматривал знак сложения как относящийся к процедуре физического присоединения. Сам Фреге склонен обосновывать индукцию на теоретико-вероятностных принципах.
Фреге критикует кантовский способ различения между аналитическим и синтетическим суждениями (в основном за его неконструктивный характер). Сам Фреге был близок к мысли о том, что аналитическим следует называть суждение, вытекающее из одних только определений и аксиом логики. Тогда суждение, не являющееся в этом смысле аналитическим, можно рассматривать как синтетическое.
Итак, Фреге в целом не согласен ни с субъективистским априоризмом И. Канта, ни с наивным эмпиризмом и психологизмом Д. Милля. Расхождения между Фреге и Миллем напоминают разницу в подходах к логике, которую можно выявить, сравнивая методологические позиции Милля и Дж. Буля. Однако, в противоположность Булю, почти на всем протяжении своего творчества считавшему, что логика является частью математики, Фреге задумал вывести всю содержательную математику из формальной логики. Определяемая этим замыслом его общая концепция о соотношении математики и логики получила в литературе наименование “логицизма” и представляла собой попытку, по существу, родственную “универсальной характеристике” Г. Лейбница. Свою логику Фреге приложил к обоснованию арифметики, которая предстала у него в виде некоторого формализованного языка. Чрезмерная усложненность формализованного языка Фреге длительное время отталкивала математиков от изучения его работ. Пожалуй, лишь Рассел первый дал себе труд основательно разобраться в логическом наследии иенского мыслителя.
У Фреге возникла иллюзия того, что ему вполне удалось как определить неопределяемые понятия арифметики, так и доказать не доказываемые арифметические аксиомы путем редукции их к понятиям и законам логики. Несостоятельность логицизма Фреге (несмотря на массу выявленных в его системе интересных логических связей) была продемонстрирована Бертраном Расселом, когда он в начале XX в. открыл парадоксы расширенного исчисления предикатов.
2. Двумерная идеография с одномерным эквивалентом
Фреге вводит свою логическую символику, которая носит двумерный характер. На языке этой символики он записывает теоремы, относящиеся как к логике предложений, так и к логике предикатов (следует заметить, что именно Фреге в 1879 г. впервые в логике символизирует кванторы общности и существования. Он устанавливает различие между формулировкой суждения и утверждением, что это суждение может быть принято в качестве доказанного. Так, символ “В” означает знак суждения, а символ “ В” означает: “утверждается, что имеет место В”, где “ ” есть знак утверждения. Отрицание суждения В Фреге передает записью: “ В”, что соответствует современному обозначению “ ” (словесно: не-В).
Логическое следование Фреге трактует в смысле материальной импликации и записывает в следующем виде:
(1)
Здесь А является антецедентом, В — консеквентом, так что приведенный символ Фреге родственен современному способу записи материальной импликации посредством А В. Согласно Фреге, аппарат условных суждений достаточен для формализации каузальных высказываний. С помощью функторов импликации и логического отрицания Фреге выражает остальные связки логики предложений. Конъюнкция (союз “и”) предстает у него в виде:
B
A
Легко видеть, что здесь символизируется выражение , являющееся эквивалентной формой записи конъюнкции А  В. Дизъюнкция записывается схемой:
B
A
Здесь графически представлена импликация , являющаяся другой формой записи дизъюнкции А / В. Несколько более сложна запись строгой (булевой) дизъюнкции, которая, как известно, равносильна конъюнкции двух таких импликаций: , и :
Утверждение о тождестве имен В и А некоторых объектов записывается у Фреге так: ? (В A), что означает: имя В и имя А имеют идентичное понятийное содержание.
3. Логистический метод и его приложение
Фреге построил первую аксиоматическую систему для исчисления суждений, базирующуюся лишь на импликации и отрицании в качество неопределяемых логических функторов.
Эта система имеет следующий вид (приводим ее, для простоты, на современном формализованном языке):
(1) А (B A),
(2) (С (A B)) ((C A) (C B)),
(3) (А (В С)) (В (А С)),
(4) (А В) ( ),
(5) .
(6) .
Первая аксиома выражает закон утверждения консеквента импликации, вторая — закон самодистрибутивности функтора “ ”, третья аксиома формулирует закон коммутации, четвертая есть принцип контрапозиции, а две последние аксиомы (пятая и шестая) в совокупности выражают теорему о равносильности утверждения двойному отрицанию. Из системы аксиом (1) — (6) Фреге формально выводит ряд теорем исчисления суждений, таких, например, как:
(7) .
(8) .
и подобных им. Правилами вывода у Фреге были правило подстановки равнозначного на место равнозначного и модус поненс. Аксиоматическая трактовка Фреге логики суждений, однако, довольно долго после опубликования натыкалась на барьер непонимания, а конкретные связи пропозиционального исчисления развивались в русле первоначального подхода к нему в школе Буля.
Эта система аксиом удовлетворяет критерию непротиворечивости. Однако, как показал Я. Лукасевич, она не является независимой, так как аксиома (3) логически следует из конъюнкции первых двух аксиом. В связи с этим Лукасевич предлагает свой вариант аксиоматики для исчисления высказываний (с импликацией и отрицанием), который является упрощением аксиоматики (1) — (6). Аксиоматика Лукасевича состоит из следующих трех аксиом:
(1) (А В) ((B C) (A C)).
(2) .
(3) .
Аксиоматика Фреге послужила образцом для последующих способов аксиоматической трактовки исчисления высказываний. Так, Ф. Брентано кладет в основу последней конъюнкцию и отрицание, Б. Рассел — отрицание и дизъюнкцию.
Вводя в употребление кванторы и понятие, родственное понятию графика функции, Фреге осуществляет переход от чистого исчисления суждений к логике предикатов. На основе этого базиса он рассчитывает формализовать всю содержательную арифметику. Начинать ему, понятно, приходится с попытки логического определения количественного числа. Естественно, он старается так определить понятие числа, чтобы это определение было независимо от каких-либо иных понятий, помимо связанных с истолкованием его исчисления как логистической системы. В основе определения числа у Фреге лежит использование им понятия взаимно однозначного соответствия. В § 72 его “Оснований арифметики” мы читаем: “(1) Выражение “понятие F равночисленно с понятием G” означает то же самое, что и “существует отношение f , которое устанавливает взаимно-однозначное соответствие между объектами, подпадающими под понятие F, с одной стороны, и объектами, подпадающими под понятие G, с другой стороны”. (2) Число, которое принадлежит к понятию F, является объемом понятия “равночисленно с понятием F”.(3) “N есть число” означает то же самое, что и “существует понятие такое, что N есть присущее этому понятию число””.
Следует заметить, что в этом определении выражение “равночисленность” по смыслу совпадает с понятием “равномощность множеств” у основоположника теории множеств Георга Кантора.
Итак, “натуральное число” рассматривается Фреге как “свойство понятия”, а не как свойство предмета. Другими словами, число есть некоторый предикат от предиката. Иенский математик специально подчеркивал, что понятие взаимно однозначного (по другой терминологии, “одно-однозначного”) соответствия отнюдь не подразумевает использование понятия “единица”, и, таким образом, оно не содержит порочного круга. Попутно Фреге устанавливает строгое различие между предметом и классом, сводящимся к одному этому предмету. Мы находим у Фреге определение кардинального числа множества А как множества всех множеств, равномощных этому А. Но, однако, именно с этим принципиальным определением была связана “ахиллесова пята” формализма Фреге: дело в том, что множество множеств, равномощных множеству А, оказалось обладающим парадоксальными свойствами. Это последнее обстоятельство и было установлено в 1905 г. Бертраном Расселом, выявившим противоречивость понятия о множестве всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Логические парадоксы в системе Фреге выступили как камень преткновения для его попыток обоснования математики.
4. Начатки логической семантики
Предметом особых забот у Фреге было выяснение вопроса о приложимости так называемого тезиса объемности к высказываниям, включающим собственные имена. В этой связи он различает “прямое” и “косвенное” употребление имен. От косвенного употребления имен следует, впрочем, отличать “упоминание” выражений, что видно из следующего текста Фреге: “При прямом употреблении имен предмет называния (Nominatum) представляет собой значение имени. Однако возможна ситуация, при которой намереваются говорить о самих именах или об их смысле. Например, это случается, когда цитируют слова другого лица... При этом собственные имена обозначают, прежде всего, слова другого человека так, что лишь эти последние употребляются прямо. Здесь мы имеем дело со знаками знаков. Поэтому в письменной речи соответствующие обозначения имен заключают в кавычки. Вследствие этого графическое начертание имени, стоящего в кавычках, недопустимо рассматривать с точки зрения его прямого употребления”. Проиллюстрируем разницу между “прямым” и “косвенным” употреблением выражений. Например, в высказывании (1) “Тегусигальпа — столица Гондураса” и подлежащее (“Тегусигальпа”), и сказуемое (“столица Гондураса”) употребляются прямо, в то время как в высказывании: (2) “Ученик Шмидт интересовался: “Является ли Тегусигальпа столицей Гондураса?”” те же имена (“Тегусильгальпа” и “столица Гондураса”) употребляются косвенно. Поскольку “Тегусигальпа” на самом деле есть имя столицы Гондураса, мы можем считать их взаимозаменимыми (то есть применить к ним тезис объемности (для понятий): ведь они имеют один номинат). Высказывание (1) при такой замене переходит в тавтологию: (1)* “Тегусигальпа есть Тегусигальпа”. В то время как фраза (1) содержит географическую информацию, полученная из (1) по тезису объемности фраза (1)*, по-видимому, не содержит никакой полезной информации. Однако, как (1), так и (1)*— истинные фразы. Посмотрим, что произойдет, если аналогичная замена равнообъемного на равнообъемное будет произведена в высказывании (2). В результате получаем фразу: (2) “Ученик Шмидт интересовался: “Является ли Тегусигальпа Тегусигальпой?”” Эту фразу (2*) естественно рассматривать как ложную. Причину того обстоятельства, что здесь тезис объемности терпит фиаско, надо усматривать в специфике косвенного употребления собственных имен. Эта специфика состоит в том, что номинатом при косвенном употреблении имени становится смысл того же имени при прямом употреблении.
Трудности, связанные с отношением именования, до сих пор являются объектом оживленной дискуссии в современной логической семантике, а семантические идеи Фреге все еще достаточно актуальны.
| |
|
|
|---|
Американский представитель математической логики Чарльз Сандерс Пирс (Charls Sanders Peirs) внес существенный вклад в разработку алгебро-логических концепций и выступил основоположником новой науки — семиотики (общей теории знаков). Пирс родился 10 сентября 1839 г., в Кембридже (США) в семье профессора Гарвардского университета. Предки Пирса были англичанами.
В 1887 г. Пирс поселился в Милфорде (штат Пенсильвания). Скончался он 19 апреля 1914 г., в нищете, забытый своими друзьями и знакомыми. Высокогорные вершины края не раз оказывали ему свой приют и защиту от докучливой общительности кредиторов.
Пирса можно рассматривать как основоположника семиотики, зачинателя логико-семантических исследований. Он разрабатывал науку, изучающую любые системы знаков, применяемые в человеческом коллективе. Пирс пытался, в частности, исследовать языки науки как частный случай знаковых систем. Предметом семиотического анализа, согласно Пирсу, являются модели отображаемых объектов, состоящие из конечного набора элементов и связывающих их соотношений.
Пирс определяет знак как такой элемент х, который заменяет субъекту (как интерпретатору знака) некоторый элемент у (денотат) по признаку (или отношению) Д. Согласно Пирсу, “наиболее общее подразделение знаков таково: изображения (icons), индексы (indices) и символы (symbols). Объектом знака является вещь. Основная функция знака, по Пирсу, состоит в квантовании (“кадрировании”) опыта. У Пирса имеется уже в зародыше моррисовское расчленение семиотики на прагматику (касается отношения знака к его использователю), семантику (выясняет отношение знака к обозначаемому им объекту) и синтактику (исследует взаимоотношения между знаками). Анализирует Пирс и семиотику восприятия знака, учитывая, в частности, существенную разницу между воспринимаемыми и передаваемыми знаковыми сообщениями. В свете своей знаковой теории рассматривает Пирс логическую проблему значения. Именно, значение описывается им как отношение между знаком и операциями познающего субъекта.
В комбинированном исчислении классов и высказываний Пирс употреблял еще в 1880 г. точные аналоги как совершенной дизъюнктивной нормальной формы (разумеется, в несколько отличных от современных обозначениях). Эти результаты допускали их простую синтаксическую интерпретацию для чистого исчисления высказываний, которое было представлено у Пирса в довольно развитой форме. Вот, в частности, некоторые переданные в современной записи законы материальной импликации, сформулированные Пирсом в его исчислении (ниже знак “-” символизирует материальную импликацию);
(1) ((x - y) - x) - x (закон Пирса),
(2) x-(y-x),
(3) ((x-y) - a)- x, где a - есть имя тождественно ложной константы.
(4) (x-(y-z)) -(y-(x-z),
(5) x-((x-y) -y)),
(6) (x-y) -((y-z) - (x-z)).
Наряду с материальной импликацией Пирс допускал еще содержательную трактовку логического следования, которая дает возможность считать Пирса в известном смысле предшественником льюисовской теории строгой импликации.
Определенное развитие получила, у Пирса и логика отношений. Он следующим образом вводит нас в круг понятий этой теории. Пусть элементы данного конечного класса {а} обозначены с помощью символов A1, A2, A3,…An-1, An. Их сумму он записывает так: а = A1+A2+A3+…+An-1+An= , где i=1…., n . Пусть а означает: “живые люди”, А1, ..., Аn — имена ныне живущих людей, р — “группа предков”. Тогда относительный термин “группа предков некоторых живых людей” Пирс передаст символикой , так как Рa = Р (А1 +А2,+А3+... + ... An-1 + Аn). Относительный термин “группа предков каждого живого человека” Пирс передал бы записью: Па(p/a), так как Ра = Р(А1 .А2 . Аn-1 + An)=рА1 . рА2.…. рAn. Легко убедиться в справедливости следующей теоремы о выполнимости такой дизъюнкции: Па Пр((Па (р/a))
Употребляя табличное задание отношений с помощью матриц, состоящих из нулей и единиц, Пирс явно упреждает соответствующие методы в алгебре отношений Эрнста Шредера. Вместе с последним он должен рассматриваться как пионер математической теории структур. Так, уже в 1870 г. Пирс дал аксиоматическое определение частично-упорядоченного множества, задав его с помощью аксиом рефлексивности, несимметричности и транзитивности. Он сформулировал также определение сумм и произведений в терминах отношения включения.
Логические и математические результаты Пирса своевременно оценены не были, а часть их увидела свет только после смерти автора. Его семиотические идеи были продолжены в работах Ч.Морриса. Для современных исследований по семиотике характерно синтезирование традиций Пирса с логическими построениями Р. Карнапа.
| |
|
|
|---|
С вопросом о единстве логики тесно связана проблема ее прогресса. Достоверно здесь одно: то, что эту проблему надлежит решать не a priori через слепую веру в постоянное совершенствование человеческого знания, а только на основе подробных отдельных эмпирических исследований. Существует ли в истории логики прогресс, мы можем узнать только из истории, но не через философскую догму.
Однако с одними лишь сегодняшними историческими знаниями проблему решить нелегко. Некоторые из вопросов, которые она содержит, кажется, могут надежно разрешиться, а для ответа на другие у нас пока еще отсутствуют предпосылки.
С уверенностью допустимо лишь принять следующее:
1. История логики, как уже отмечено, не обнаруживает никакого линейного восходящего развития. Если, следовательно, в ней имеется прогресс, то, во-первых, он может состояться или внутри определенных периодов и формообразований логики, или, во-вторых, еще и так, что позднейшие формообразования логики в качестве уходящих вперед должны рассматриваться как более высокие.
2. Следует отчетливее видеть прогресс внутри отдельных периодов и формообразований логики. Лучше всего мы можем установить его в индийской логике, а также в схоластической и математической. При этом каждый из этих отдельных периодов доставляет нам надежный критерий прогресса: каждый из них имеет свои существенные проблемы, и через сравнение формулировок и решений у различных логиков отдельных периодов легко усмотреть, что более поздние ставят вопросы острее, применяют лучшие методы их разрешения, знают больше законов и правил.
3. Рассматривая историю логики как целое, можно также с уверенностью установить определенный прогресс. Он состоит в том, что в позднейших формообразованиях логики мы находим новые проблемы. Так, например, значительно расширенная по сравнению с античностью семиотическая проблематика схоластиков отчасти является совершенно новой и вместе с тем усовершенствованной; логические антиномии (в противоположность к семантическим) у математических логиков являются новыми; также и проблема определения кванторов у Альберта Саксонского является новой. Это опять-таки всего лишь некоторые примеры среди многих возможных.
Напротив, при сегодняшнем состоянии знаний следующий вопрос, кажется, пока еще является неразрешимым: выглядит ли каждое позднейшее формообразование логики как целое выше в качестве ушедшего вперед?
На этот вопрос чересчур часто отвечают, взирая позитивно на математическую логику, причем преимущественно потому, что ее, с одной стороны, сопоставляют с непосредственно прогрессирующей "классической" логикой, с другой стороны, под воздействием массы законов и правил, которые в новом формообразовании установлены вычислительным путем.
Однако ни в коей мере не следует сравнивать "классическую" логику со всей старой логикой: она скорее представляет собой всего лишь декадентскую форму нашей науки, "мертвый период" ее развития. Конечно, исчисление полезный инструмент логики, но лишь настолько, насколько допускает новые подходы (Einsichten) к логическим связям. То, что такие подходы, - например, в логике отношений - достигнуты через него, не подлежит отрицанию. Удобство так же, как и острота этого инструмента, настолько велики, что ни один серьезный логик сегодня не сможет от него отказаться. Однако, что исчисление всюду позволяет математической логике превзойти все старые формообразования логики, мы не отважимся утверждать. Взгляните, к примеру, на двузначную логику высказываний: то существенно новое, что принесла в этой области Principia Mathematica, совершенно неубедительно в сравнении со схоластикой.
К этому добавляется еще и то, что мы недостаточно знаем ранние формообразования логики. Десятилетиями говорили о якобы великом изобретении де Моргана; однако потом Лукасевич показал, что его знаменитый закон принадлежит к числу основных в схоластике. Изобретение матрицы истинности приписывали Пирсу или Витгенштейну; сам же Пирс нашел ее, однако, у мегариков. Классическое фрегевское определение числа Д.Ингаллс открыл у Матхуранатха в Индии (XVII в.). И притом нам точно известно, что о схоластической логике и индийской мы, как уже сказано, знаем всего лишь обрывки, хотя в наличии имеются рукописи и даже - непрочитанные - отпечатанные произведения, и что мегарико-стоическая логика, за исключением некоторых скудных, переданных противниками фрагментов, утеряна.
При ответе на вопрос о прогрессирующем усовершенствовании логики во всей ее истории сплошь играет роль то обстоятельство, что имеются различные формообразования логики, причем ранние формообразования логики не являются простыми предвестниками сегодняшних, а, хотя и имеют отчасти те же самые проблемы или похожие, однако они истолковываются с некоторой другой точки зрения и другими методами. Поэтому логику, который сам вышколен в сегодняшнем формообразовании логики, очень трудно воспринимать другие формообразования. Иначе говоря, ему трудно найти критерий для сравнения. Он всегда будет склонен признавать ценным только то, что привычно в рамках его логики. Находясь под воздействием нашей техники, - которая ведь сама по себе не есть логика, - зная лишь поверхностно прошлые формообразования логики, руководствуясь в суждении некоторой особой точкой зрения, мы чрезвычайно подвержены опасности превратно понять и недооценить другие формообразования логики.
Уже при теперешнем состоянии изучения различий можно указать, что было в наличии в старых формообразованиях логики, а у нас теперь все же отсутствует. Одним примером является схоластическое учение о суппозиции, которое, очевидно, богаче по существенным достижениям и правилам всего, что доныне сотворила математическая семиотика. Другим, вероятно, является обсуждение импликации у мыслителей навья-ньяя. Можно привести и дальнейшие примеры.
Кроме того: Если логик читает непредвзято, скажем, определенные позднесхоластические тексты или даже некоторые стоические фрагменты, то он не может избавиться от впечатления, что их общий логический уровень, свобода движения в очень абстрактных мирах, точность формулировок, видимо, в наше время достигнуты, но во любом случае не превзойдены. Современный математический логик имеет, конечно, сильную опору в исчислении; но это самое исчисление слишком часто позволяет ему уклоняться от мыслительной работы, когда она была бы, может быть, как раз необходима. Скажем, то, что длительное время утверждалось математическими логиками в связи с проблемой пустых классов, является, видимо, бьющим в глаза примером такой опасности.
Эти соображения говорят против тезы о прогрессе логики в целом, т.е. от формообразования к формообразованию: дело выглядит так, будто мы не имеем достаточных оснований, чтобы ее сохранять. Но отсюда, однако, не следует, что другая теза, такая, которая утверждает чисто циклическое развитие формальной логики с постоянным возвращением тех же самых пиковых точек, была бы достаточно подкреплена.
Историк может только сказать: существует ли прогресс в истории логики как целом, мы не знаем.
Примечание переводчика: Утверждение об отсутствии твердой уверенности в прогрессивном восхождении науки, изучающей законы мышления, думается, надо объяснять тем, что автор чрезмерно увлекся задачей доказать, что логики прошлых эпох заслуживают намного более высокой оценки, чем до сих пор считалось. Сама по себе эта задача, можно сказать, уже решена благодаря Шольцу, Лукасевичу и самому Бохеньскому. Но можно ли согласиться с тем, что нет постепенного накопления достижений и на основе этого продвижения вверх? Уже одно то, что нынешняя наука стремится собрать и правильно взвесить все имеющиеся к настоящему времени результаты, воссоздать всеобщую картину исторического развития логической науки, есть новое, чего не было и не могло быть ни у схоластической, ни у индийской логики. Логические достижения прошлого не накапливались, а воспроизводились каждый раз заново только потому, что научные центры того времени, изучая одну и ту же реальность - мышление - имели очень мало контактов между собой и работали изолированно.
Вряд ли также оправдано называть декадентским период от Декарта до XIX в. Уже хотя бы потому, что здесь сложилась теория индуктивных умозаключений, не остается оснований считать этот отрезок истории логики бесплодным. Правда, исчисления, которые выглядят самым внушительным достижением этого периода, на самом деле, переводили на символический язык то, что отчасти было известно даже мегарикам, не говоря о других более поздних мыслителях. Однако и простой перевод открытых ранее законов на язык формул принес с собой радикальное обновление методов анализа высказываний. Формулы позволяют оперировать любым числом переменных, естественный же язык в этом отношении очень ограничен. И - самое главное - с появлением символического языка еще больше многообещающих обновлений просматривается в перспективе.
| |
|
|
|---|
Выше было сказано, что каждое новое формообразование логики включает в себя постановку новых логических проблем. Примеры этого отыскать лекго: скажем, в схоластике грандиозные семиотические исследования, которые направлены на proprietates terminorum, затем анализ высказываний, которые содержат временные переменные, исследования кванторов и т.д.; в математической логике проблема многократной квантификации, знаков, логических антиномий и тому подобное. Что при этом образуются совершенно различные системы формальных логик, является очевидным. Конечно, подчас это совершается в рамках некоторого единного формообразования логики, в котором мы теофрастовскую модальную логику обозначаем как отличающуюся от таковой у Аристотеля. Множество стоящих рядом друг с другом формально-логических систем стало особенно великим со времени Principia Mathematica.
Здесь могло бы возникнуть впечатление, будто история логики демонстрирует нам релятивизм логических учений, что мы видим в этой истории возникновение различных логик. Однако мы говорили не о различных логиках, а о различных формообразованиях одной логики. Этот способ выражения выбран уже по спекулятивным основаниям, а именно потому, что множественность логических систем еще не доказывает логический релятивизм. Но, сверх этого, имеется еще и эмпирическое основание говорить об одной логике: что демонстрирует нам история, не есть один лишь наплыв новых проблем и законов, но также - и это, вероятно, чаще всего бросается в глаза - постоянное возвращение той же самой логической проблематики.
В качестве подтверждения этому могут послужить следующие примеры:
1. Проблема импликации. Поставленная мегариками и стоиками, она воспринимается схоластиками и затем математическими логиками. То, что обсуждается в Индии под названием , находится с ней, как представляется, в тесной связи. Еще примечательнее, может быть, то, что в различные периоды совершенно независимо приходят к одним и тем же результатам; так, материальная импликация определяется в точности одинаковым способом через истинностные значения у Филона, Берли и Пирса. Другое определение сначала также встречается у мегариков, снова - в качестве главного определения импликации - у схоластиков, наконец, снова вводится Льюисом (1918 г.).
2. Второй пример дают семантические антиномии. Поставленные еще во времена Аристотеля и истолкованные у стоиков, эти проблемы снова обнаруживаются у схоластиков и становятся главной темой в математической логике. И здесь также имеется повторное открытие тех же самых решений, например, Расселом встречающегося уже у Павла Венецианского принципа порочного круга (vicious-circle-principle).
3. Третья группа проблем, общих для всей западной логики, связана с вопросами модальной логики. Поставленные Аристотелем, эти вопросы были подробно истолкованы схоластиками и стали опять животрепещущими у математических логиков.
4. Следует указать еще на анализ кванторов: те, которые дали нам Альберт Саксонский и Пирс, возникли из одного и того же подхода к проблеме и в точности параллельны.
5. Подобные совпадения можно указать и между индийской логикой и западной. Недавно Д.Ингальс открыл большой ряд общих проблем и решений в обоих регионах. Бросается в глаза в первую очередь тот факт, что индийская логика развиваясь при совершенно иных условиях, чем западная, и совершенно независимо от нее, в конце концов нашла в точности схоластический силлогизм и сделала центральной проблемой вопрос о "необходимой связи".
Можно было бы привлечь еще и дальнейшие примеры с этой связью; дело выглядит так, будто история формальной логики состоит из множества основных проблем, которые, вопреки всем различиям точек зрения, выступали все снова и снова и - что еще важнее - разрешаются все снова и снова сходным образом.
Вероятно не так легко точно выразить, но каждому читателю, который сам является логиком, видимо, непосредственно ясна общность духа; мы имеем в виду интерес к определенным вопросам и манеру и способ их обсуждать при всех исследованиях в таких областях, которые мы помещаем в различные формообразования формальной логики. Почитайте только друг за другом тексты. Не может быть сомнения в том, что в них выражается один и тот же образ действий и один и тот же дух.
| |
|
|
|---|
Из формообразований логики существенными, насколько мы можем определить, являются четыре:
1. Античное формообразование логики. Логические установления формулируются здесь чаще всего объектным языком, а семантика, хотя и присутствует, но остается неразвитой. Логические формулы состоят из слов повседневного языка с добавлением переменных. Однако этот повседневный язык, так сказать, упрощен тем, что слова в нем принципиально фигурируют только в некоторой семантической функции. Основанием этой логики является мышление, насколько оно выражается в естественном языке и принимаются синтаксические законы этого языка. Из него античные логики абстрагируют свои законы и правила.
2. Схоластическое формообразование логики. Схоластики сначала испытывали влияние античности и, поскольку они действовали только под таким влиянием, они всего лишь воспринимали и продолжали старое. Но с конца XII столетия они творят нечто совершенно новое. Эта их собственная логика почти сплошь формулируется метаязыком. Она подкрепляется остроумной и пространной семантикой и ею сопровождается. Формулы состоят из слов повседневного языки с очень немногими переменными или же совершенно без них; но это не приводит к сужению семантических функций, как в античности. Тем самым схоластическая логика есть грандиозная попытка постигнуть с помощью богато дифференцированных синтаксических правил и семантических функций формальные законы, выраженные в естественном (латинском) языке. Как и в античной логике, здесь также речь идет об абстракции из естественного языка.
3. Математичекое формообразование логики. Здесь мы имеем известный возврат к античности: вплоть до довольно позднего временного момента (примерно 1930 г.) математическая логика формулируется чисто объектным языком с обильным использованием переменных; употребляемые слова и знаки имеют строго ограниченные семантические функции; семантика остается совершенно вне внимания и в дальнейшем тоже она не играет, как в средневековье, определяющей роли, когда примерно с 1930 г. она была снова встроена (aufgebaut). Математическая логика приносит два значительных обновления: сначала использование искусственного языка; затем - что еще важнее - конструктивное строение логики. Это последнее означает, что система сначала выстраивается формально и только потом, по крайней мере в принципе, истолковывается.
Общими для всех трех западных формообразований логики являются пространный формализм и преимущественно экстенсиональная проработка логических законов.
4. Индийское формообразование логики. Оно отличается от западного в обоих только что названных отношениях. Индийская логика тоже приходит к установлению определенных формальных законов, однако формализм здесь развит мало и явно рассматривается как что-то побочное. В то же время по преимуществу она выстраивается интенсионально причем в такой мере, что индийские логики последнего периода знали, как без кванторов формулировать совершенно запутанные логико-именные (termlogische) предложения. Подобно античной и схоластической логике речь и здесь тоже идет об абстрактно происходящем.
Данное распределение являетя схематичным и упрощенным особенно в отношении античных и индийских логиков. Конкретнее, можно было бы задаться вопросом, действительно ли мегарико-стоическая логика принадлежит к тому же самому формообразованию, что и аристотелевская или, напротив, она есть что-то принципиально новое, скажем, из-за ее особого семантического образа действий.
Возможно, еще более основательным было бы разделение всей индийской логики на различные формообразования. Можно было бы, например, с полным правом принять, что буддийская логика отличается от строгой ньяя-традиции не только по философской подоплеке и не только в частностях, но и совершенно принципиально потому, что буддисты, в противоположность к ньяя-комментаторам, отстаивают экстенсиональную логико-высказывательную тенденцию. Можно было бы также не без оснований утверждать, что собственно навья-ньяя предлагает совершенно новый тип логики, который в одних учениях (например, в связи с перенимает буддийские воззрения, в других следует ньяя-традиции, а еще в других развивает новую проблематику и принимает некоторую новую точку зрения.
Однако разница между Аристотелем и мегарско-стоической школой слишком малозначительна, чтобы позволительно было говорить здесь о двух различных формообразованиях логики. Что же касается индийской логики, то наше знание ее настолько несовершенно, что было бы поспешно делать наброски отличий и характеристики ее различных формообразований.
Следующая проблема, которая входит сюда, есть проблема так называемой "классической" логики. Не было бы ничего невозможного воспринимать ее как особое формообразование логики, ведь, с одной стороны, она состоит из обрывков схоластической логики (так, она принимает мнемотехнические выражения Barbara, Celarent и т.д.); с другой строны, эти обрывки истолковываются совершенно несхоластически, по способу, скорее подобному античному, чем схоластическому. И все же содержание этой логики настолько скудное, число обременяющих ее грубых нарушений так велико, творческая сила так исключительно слаба, что вряд ли допустимо воспринимать ее, декадентскую, какой она является, в качестве особого формообразования и тем самым сопоставлять с античной логикой, схоластической, математической и индийской.
| |
|
Всего 94 на 10 страницах по 10 на каждой странице<< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> |
|
|
|
