|
|
Общее количество: 94 вопросов и ответов в 20 категориях |
|
|
|---|
Из формообразований логики существенными, насколько мы можем определить, являются четыре:
1. Античное формообразование логики. Логические установления формулируются здесь чаще всего объектным языком, а семантика, хотя и присутствует, но остается неразвитой. Логические формулы состоят из слов повседневного языка с добавлением переменных. Однако этот повседневный язык, так сказать, упрощен тем, что слова в нем принципиально фигурируют только в некоторой семантической функции. Основанием этой логики является мышление, насколько оно выражается в естественном языке и принимаются синтаксические законы этого языка. Из него античные логики абстрагируют свои законы и правила.
2. Схоластическое формообразование логики. Схоластики сначала испытывали влияние античности и, поскольку они действовали только под таким влиянием, они всего лишь воспринимали и продолжали старое. Но с конца XII столетия они творят нечто совершенно новое. Эта их собственная логика почти сплошь формулируется метаязыком. Она подкрепляется остроумной и пространной семантикой и ею сопровождается. Формулы состоят из слов повседневного языки с очень немногими переменными или же совершенно без них; но это не приводит к сужению семантических функций, как в античности. Тем самым схоластическая логика есть грандиозная попытка постигнуть с помощью богато дифференцированных синтаксических правил и семантических функций формальные законы, выраженные в естественном (латинском) языке. Как и в античной логике, здесь также речь идет об абстракции из естественного языка.
3. Математичекое формообразование логики. Здесь мы имеем известный возврат к античности: вплоть до довольно позднего временного момента (примерно 1930 г.) математическая логика формулируется чисто объектным языком с обильным использованием переменных; употребляемые слова и знаки имеют строго ограниченные семантические функции; семантика остается совершенно вне внимания и в дальнейшем тоже она не играет, как в средневековье, определяющей роли, когда примерно с 1930 г. она была снова встроена (aufgebaut). Математическая логика приносит два значительных обновления: сначала использование искусственного языка; затем - что еще важнее - конструктивное строение логики. Это последнее означает, что система сначала выстраивается формально и только потом, по крайней мере в принципе, истолковывается.
Общими для всех трех западных формообразований логики являются пространный формализм и преимущественно экстенсиональная проработка логических законов.
4. Индийское формообразование логики. Оно отличается от западного в обоих только что названных отношениях. Индийская логика тоже приходит к установлению определенных формальных законов, однако формализм здесь развит мало и явно рассматривается как что-то побочное. В то же время по преимуществу она выстраивается интенсионально причем в такой мере, что индийские логики последнего периода знали, как без кванторов формулировать совершенно запутанные логико-именные (termlogische) предложения. Подобно античной и схоластической логике речь и здесь тоже идет об абстрактно происходящем.
Данное распределение являетя схематичным и упрощенным особенно в отношении античных и индийских логиков. Конкретнее, можно было бы задаться вопросом, действительно ли мегарико-стоическая логика принадлежит к тому же самому формообразованию, что и аристотелевская или, напротив, она есть что-то принципиально новое, скажем, из-за ее особого семантического образа действий.
Возможно, еще более основательным было бы разделение всей индийской логики на различные формообразования. Можно было бы, например, с полным правом принять, что буддийская логика отличается от строгой ньяя-традиции не только по философской подоплеке и не только в частностях, но и совершенно принципиально потому, что буддисты, в противоположность к ньяя-комментаторам, отстаивают экстенсиональную логико-высказывательную тенденцию. Можно было бы также не без оснований утверждать, что собственно навья-ньяя предлагает совершенно новый тип логики, который в одних учениях (например, в связи с перенимает буддийские воззрения, в других следует ньяя-традиции, а еще в других развивает новую проблематику и принимает некоторую новую точку зрения.
Однако разница между Аристотелем и мегарско-стоической школой слишком малозначительна, чтобы позволительно было говорить здесь о двух различных формообразованиях логики. Что же касается индийской логики, то наше знание ее настолько несовершенно, что было бы поспешно делать наброски отличий и характеристики ее различных формообразований.
Следующая проблема, которая входит сюда, есть проблема так называемой "классической" логики. Не было бы ничего невозможного воспринимать ее как особое формообразование логики, ведь, с одной стороны, она состоит из обрывков схоластической логики (так, она принимает мнемотехнические выражения Barbara, Celarent и т.д.); с другой строны, эти обрывки истолковываются совершенно несхоластически, по способу, скорее подобному античному, чем схоластическому. И все же содержание этой логики настолько скудное, число обременяющих ее грубых нарушений так велико, творческая сила так исключительно слаба, что вряд ли допустимо воспринимать ее, декадентскую, какой она является, в качестве особого формообразования и тем самым сопоставлять с античной логикой, схоластической, математической и индийской.
| |
|
|
|---|
Выше было сказано, что каждое новое формообразование логики включает в себя постановку новых логических проблем. Примеры этого отыскать лекго: скажем, в схоластике грандиозные семиотические исследования, которые направлены на proprietates terminorum, затем анализ высказываний, которые содержат временные переменные, исследования кванторов и т.д.; в математической логике проблема многократной квантификации, знаков, логических антиномий и тому подобное. Что при этом образуются совершенно различные системы формальных логик, является очевидным. Конечно, подчас это совершается в рамках некоторого единного формообразования логики, в котором мы теофрастовскую модальную логику обозначаем как отличающуюся от таковой у Аристотеля. Множество стоящих рядом друг с другом формально-логических систем стало особенно великим со времени Principia Mathematica.
Здесь могло бы возникнуть впечатление, будто история логики демонстрирует нам релятивизм логических учений, что мы видим в этой истории возникновение различных логик. Однако мы говорили не о различных логиках, а о различных формообразованиях одной логики. Этот способ выражения выбран уже по спекулятивным основаниям, а именно потому, что множественность логических систем еще не доказывает логический релятивизм. Но, сверх этого, имеется еще и эмпирическое основание говорить об одной логике: что демонстрирует нам история, не есть один лишь наплыв новых проблем и законов, но также - и это, вероятно, чаще всего бросается в глаза - постоянное возвращение той же самой логической проблематики.
В качестве подтверждения этому могут послужить следующие примеры:
1. Проблема импликации. Поставленная мегариками и стоиками, она воспринимается схоластиками и затем математическими логиками. То, что обсуждается в Индии под названием , находится с ней, как представляется, в тесной связи. Еще примечательнее, может быть, то, что в различные периоды совершенно независимо приходят к одним и тем же результатам; так, материальная импликация определяется в точности одинаковым способом через истинностные значения у Филона, Берли и Пирса. Другое определение сначала также встречается у мегариков, снова - в качестве главного определения импликации - у схоластиков, наконец, снова вводится Льюисом (1918 г.).
2. Второй пример дают семантические антиномии. Поставленные еще во времена Аристотеля и истолкованные у стоиков, эти проблемы снова обнаруживаются у схоластиков и становятся главной темой в математической логике. И здесь также имеется повторное открытие тех же самых решений, например, Расселом встречающегося уже у Павла Венецианского принципа порочного круга (vicious-circle-principle).
3. Третья группа проблем, общих для всей западной логики, связана с вопросами модальной логики. Поставленные Аристотелем, эти вопросы были подробно истолкованы схоластиками и стали опять животрепещущими у математических логиков.
4. Следует указать еще на анализ кванторов: те, которые дали нам Альберт Саксонский и Пирс, возникли из одного и того же подхода к проблеме и в точности параллельны.
5. Подобные совпадения можно указать и между индийской логикой и западной. Недавно Д.Ингальс открыл большой ряд общих проблем и решений в обоих регионах. Бросается в глаза в первую очередь тот факт, что индийская логика развиваясь при совершенно иных условиях, чем западная, и совершенно независимо от нее, в конце концов нашла в точности схоластический силлогизм и сделала центральной проблемой вопрос о "необходимой связи".
Можно было бы привлечь еще и дальнейшие примеры с этой связью; дело выглядит так, будто история формальной логики состоит из множества основных проблем, которые, вопреки всем различиям точек зрения, выступали все снова и снова и - что еще важнее - разрешаются все снова и снова сходным образом.
Вероятно не так легко точно выразить, но каждому читателю, который сам является логиком, видимо, непосредственно ясна общность духа; мы имеем в виду интерес к определенным вопросам и манеру и способ их обсуждать при всех исследованиях в таких областях, которые мы помещаем в различные формообразования формальной логики. Почитайте только друг за другом тексты. Не может быть сомнения в том, что в них выражается один и тот же образ действий и один и тот же дух.
| |
|
|
|---|
С вопросом о единстве логики тесно связана проблема ее прогресса. Достоверно здесь одно: то, что эту проблему надлежит решать не a priori через слепую веру в постоянное совершенствование человеческого знания, а только на основе подробных отдельных эмпирических исследований. Существует ли в истории логики прогресс, мы можем узнать только из истории, но не через философскую догму.
Однако с одними лишь сегодняшними историческими знаниями проблему решить нелегко. Некоторые из вопросов, которые она содержит, кажется, могут надежно разрешиться, а для ответа на другие у нас пока еще отсутствуют предпосылки.
С уверенностью допустимо лишь принять следующее:
1. История логики, как уже отмечено, не обнаруживает никакого линейного восходящего развития. Если, следовательно, в ней имеется прогресс, то, во-первых, он может состояться или внутри определенных периодов и формообразований логики, или, во-вторых, еще и так, что позднейшие формообразования логики в качестве уходящих вперед должны рассматриваться как более высокие.
2. Следует отчетливее видеть прогресс внутри отдельных периодов и формообразований логики. Лучше всего мы можем установить его в индийской логике, а также в схоластической и математической. При этом каждый из этих отдельных периодов доставляет нам надежный критерий прогресса: каждый из них имеет свои существенные проблемы, и через сравнение формулировок и решений у различных логиков отдельных периодов легко усмотреть, что более поздние ставят вопросы острее, применяют лучшие методы их разрешения, знают больше законов и правил.
3. Рассматривая историю логики как целое, можно также с уверенностью установить определенный прогресс. Он состоит в том, что в позднейших формообразованиях логики мы находим новые проблемы. Так, например, значительно расширенная по сравнению с античностью семиотическая проблематика схоластиков отчасти является совершенно новой и вместе с тем усовершенствованной; логические антиномии (в противоположность к семантическим) у математических логиков являются новыми; также и проблема определения кванторов у Альберта Саксонского является новой. Это опять-таки всего лишь некоторые примеры среди многих возможных.
Напротив, при сегодняшнем состоянии знаний следующий вопрос, кажется, пока еще является неразрешимым: выглядит ли каждое позднейшее формообразование логики как целое выше в качестве ушедшего вперед?
На этот вопрос чересчур часто отвечают, взирая позитивно на математическую логику, причем преимущественно потому, что ее, с одной стороны, сопоставляют с непосредственно прогрессирующей "классической" логикой, с другой стороны, под воздействием массы законов и правил, которые в новом формообразовании установлены вычислительным путем.
Однако ни в коей мере не следует сравнивать "классическую" логику со всей старой логикой: она скорее представляет собой всего лишь декадентскую форму нашей науки, "мертвый период" ее развития. Конечно, исчисление полезный инструмент логики, но лишь настолько, насколько допускает новые подходы (Einsichten) к логическим связям. То, что такие подходы, - например, в логике отношений - достигнуты через него, не подлежит отрицанию. Удобство так же, как и острота этого инструмента, настолько велики, что ни один серьезный логик сегодня не сможет от него отказаться. Однако, что исчисление всюду позволяет математической логике превзойти все старые формообразования логики, мы не отважимся утверждать. Взгляните, к примеру, на двузначную логику высказываний: то существенно новое, что принесла в этой области Principia Mathematica, совершенно неубедительно в сравнении со схоластикой.
К этому добавляется еще и то, что мы недостаточно знаем ранние формообразования логики. Десятилетиями говорили о якобы великом изобретении де Моргана; однако потом Лукасевич показал, что его знаменитый закон принадлежит к числу основных в схоластике. Изобретение матрицы истинности приписывали Пирсу или Витгенштейну; сам же Пирс нашел ее, однако, у мегариков. Классическое фрегевское определение числа Д.Ингаллс открыл у Матхуранатха в Индии (XVII в.). И притом нам точно известно, что о схоластической логике и индийской мы, как уже сказано, знаем всего лишь обрывки, хотя в наличии имеются рукописи и даже - непрочитанные - отпечатанные произведения, и что мегарико-стоическая логика, за исключением некоторых скудных, переданных противниками фрагментов, утеряна.
При ответе на вопрос о прогрессирующем усовершенствовании логики во всей ее истории сплошь играет роль то обстоятельство, что имеются различные формообразования логики, причем ранние формообразования логики не являются простыми предвестниками сегодняшних, а, хотя и имеют отчасти те же самые проблемы или похожие, однако они истолковываются с некоторой другой точки зрения и другими методами. Поэтому логику, который сам вышколен в сегодняшнем формообразовании логики, очень трудно воспринимать другие формообразования. Иначе говоря, ему трудно найти критерий для сравнения. Он всегда будет склонен признавать ценным только то, что привычно в рамках его логики. Находясь под воздействием нашей техники, - которая ведь сама по себе не есть логика, - зная лишь поверхностно прошлые формообразования логики, руководствуясь в суждении некоторой особой точкой зрения, мы чрезвычайно подвержены опасности превратно понять и недооценить другие формообразования логики.
Уже при теперешнем состоянии изучения различий можно указать, что было в наличии в старых формообразованиях логики, а у нас теперь все же отсутствует. Одним примером является схоластическое учение о суппозиции, которое, очевидно, богаче по существенным достижениям и правилам всего, что доныне сотворила математическая семиотика. Другим, вероятно, является обсуждение импликации у мыслителей навья-ньяя. Можно привести и дальнейшие примеры.
Кроме того: Если логик читает непредвзято, скажем, определенные позднесхоластические тексты или даже некоторые стоические фрагменты, то он не может избавиться от впечатления, что их общий логический уровень, свобода движения в очень абстрактных мирах, точность формулировок, видимо, в наше время достигнуты, но во любом случае не превзойдены. Современный математический логик имеет, конечно, сильную опору в исчислении; но это самое исчисление слишком часто позволяет ему уклоняться от мыслительной работы, когда она была бы, может быть, как раз необходима. Скажем, то, что длительное время утверждалось математическими логиками в связи с проблемой пустых классов, является, видимо, бьющим в глаза примером такой опасности.
Эти соображения говорят против тезы о прогрессе логики в целом, т.е. от формообразования к формообразованию: дело выглядит так, будто мы не имеем достаточных оснований, чтобы ее сохранять. Но отсюда, однако, не следует, что другая теза, такая, которая утверждает чисто циклическое развитие формальной логики с постоянным возвращением тех же самых пиковых точек, была бы достаточно подкреплена.
Историк может только сказать: существует ли прогресс в истории логики как целом, мы не знаем.
Примечание переводчика: Утверждение об отсутствии твердой уверенности в прогрессивном восхождении науки, изучающей законы мышления, думается, надо объяснять тем, что автор чрезмерно увлекся задачей доказать, что логики прошлых эпох заслуживают намного более высокой оценки, чем до сих пор считалось. Сама по себе эта задача, можно сказать, уже решена благодаря Шольцу, Лукасевичу и самому Бохеньскому. Но можно ли согласиться с тем, что нет постепенного накопления достижений и на основе этого продвижения вверх? Уже одно то, что нынешняя наука стремится собрать и правильно взвесить все имеющиеся к настоящему времени результаты, воссоздать всеобщую картину исторического развития логической науки, есть новое, чего не было и не могло быть ни у схоластической, ни у индийской логики. Логические достижения прошлого не накапливались, а воспроизводились каждый раз заново только потому, что научные центры того времени, изучая одну и ту же реальность - мышление - имели очень мало контактов между собой и работали изолированно.
Вряд ли также оправдано называть декадентским период от Декарта до XIX в. Уже хотя бы потому, что здесь сложилась теория индуктивных умозаключений, не остается оснований считать этот отрезок истории логики бесплодным. Правда, исчисления, которые выглядят самым внушительным достижением этого периода, на самом деле, переводили на символический язык то, что отчасти было известно даже мегарикам, не говоря о других более поздних мыслителях. Однако и простой перевод открытых ранее законов на язык формул принес с собой радикальное обновление методов анализа высказываний. Формулы позволяют оперировать любым числом переменных, естественный же язык в этом отношении очень ограничен. И - самое главное - с появлением символического языка еще больше многообещающих обновлений просматривается в перспективе.
| |
|
|
|---|
Ученик Диодора Филон из Мегар может считаться родоначальником теории материальной импликации. Секст-Эмпирик свидетельствует: “Филон учил, что истинная связь бывает тогда, когда антецедент не истинный или когда консеквент верен, так что, согласно его мнению, истинная связь получается тремя способами, а ложная - только одним”.
Другие авторы так передают точку зрения Филона: “Условная связь истинна, если и только если она не имеет истинного антецедента при ложном консеквенте”. Филон выступал против идей Диодора Кроноса сузить понятие импликации путем связывания ее с концепцией формального смысла. По преданию, Филон полемизировал и со стоиком Хризиппом (не только по методологическим вопросам, но и по теории импликации); ниже мы убедимся в том, что и у Хризиппа были представлены начатки концепции материальной импликации. Его расхождения с Хризиппом шли, в основном, по линии различий в трактовке категорий логики модальностей.
Боэций свидетельствует: “Филон говорит, что “возможность” есть то, что совместимо с истиной согласно внутренней природе соответствующего высказывания; так, например, я говорю, что буду иногда днем читать “Буколики” Теокрита. Если нет внешних обстоятельств, могущих помешать этому, то тогда, рассматриваемое само по себе, это высказывание может утверждаться как истинное. Подобным же образом определяет Филон и “необходимость” - как то, что, будучи истинным, никогда не может, рассматриваемое само по себе, оказаться совместимым с ложью. “Не необходимость” он трактует как то, что, рассматриваемое само по себе, может быть совместимо с ложью, а “невозможность” как то, что по своей внутренней природе никогда не может быть совместимой с истиной”. Легко видеть, что основой модальных понятий для Филона является категория возможности, понимаемая как несамопротиворечивость.
Трудно переоценить историческое значение фактически наметившегося у Филона истолкования импликации как функции истинности - истолкования, принятого ныне в классическом пропозициональном исчислении.
Дискуссии по проблеме истинности условных предложений, развернувшиеся в стоико-мегарской логической школе, не получили широкого резонанса в античном мире. Отчасти это было связано с тем, что логические расхождения зачастую напрасно связывались с соответствующими онтологическими различиями. Постепенно взяла верх содержательная (не формальная!) трактовка логического следования. Эта тенденция заметна в Древнем Риме, заметна она и в Средневековье. Новый взлет теории материальной импликации можно связать лишь с именем Ч. С. Пирса (ХIХ в.).
| |
|
|
|---|
Стоицизм явился продуктом цивилизации эллинизма. Как философская доктрина стоицизм представляет собой своеобразный синтез идей Гераклита, мегариков, Аристотеля и отчасти Платона. Необходимо учитывать, что эволюция стоических учений протекала на фоне заметного роста математических, естественных и технических наук. Возникают крупные научные центры. Египетская Александрия оказывается серьезным конкурентом Афин. Александрийскую математическую школу возглавляет знаменитый Эвклид (IV - III вв. до н. э.), известные “Начала” которого навсегда вошли в золотой фонд геометрической культуры человечества.
Знаменитым современником Эвклида был Архимед (287 - 212 гг. до н. э.) - основоположник механики и гидравлики.
На ту же эпоху падает деятельность гениального астронома Эратосфена (276 - 194 гг. до н. э.), известного также как автора метода определения простых чисел посредством так называемой решетки Эратосфена. Наконец, современником стоика Хризиппа был знаменитый геометр Аполлоний (247 - 222 гг. до н. э.) из Перги в Памфлии, автор известных работ о конических сечениях.
Цель логики, по учению стоиков, состоит “в подготовке разума к изучению физических и этических положений”. Нельзя не заметить в таком подходе известного родства с тезисом Аристотеля о логике как пропедевтике философии. Однако в действительности стоики пришли к гораздо более широкой и плодотворной теории логики, чем та, которая была намечена у Стагирита. Силлогистика последнего - всего лишь весьма узкий раздел современного исчисления предикатов (именно одноместного исчисления предикатов), тогда как логическая доктрина Стои в форме исчисления высказываний является необходимым элементом любого логического формализма.
Понятие трактуется стоиками как осмысленное представление. Согласно стоикам, общее не имеет никакой реальности за пределами мышления. Истина - особый вид предиката. Наука имеет дело с индивидуальными обьектами, общее как таковое реально не существует.
Состав логики определялся стоиками в связи с их учением о внутренней и внешней речи. Согласно свидетельству Секста Эмпирика, основное место в их логике занимала теория высказываний (если пользоваться современным языком символической логики), которыми стоики оперировали как едиными нерасчлененными целыми. То обстоятельство, что в логике стоики говорят не о мыслях, а о высказываниях, естественно поставить в связь, с их общими номиналистическими установками.
Основным типом суждений у стоиков считаются условные высказывания формы “если p, то q”, где p есть основание (антецедент), а q - следствие (консеквент). Стоики делят высказывания на простые и сложные. Например, если p есть простое высказывание, то высказывания “p и q”, “p или q”, “не-p или q” должны рассматриваться как сложные. Сложные высказывания образуются таким образом из простых с помощью грамматических союзов и частиц вроде “не”, “или”, “и”, и т. п. и их языковых эквивалентов. Стоики различали два вида дизъюнктивных предложений: с одной стороны, дизъюнкцию в неразделительном (“или также”), с другой стороны, строго разделительную дизъюнкцию (“либо”).
В последнем случае они налагали на дизъюнктивное суждение требование, чтобы имела место взаимоисключаемость альтернатив. Cамо собой разумеется, что последнее требование не предъявлялось ими к сложным суждениям с нестрогой дизъюнкцией.
Логические достижения стоиков достигли апогея у Хризиппа из Стои (в Киликии) (по одному свидетельству, - 281 - 208 гг. до н.э., по другому, - 278 - 205 гг. до н. э.). Его считают как бы вторым основателем Стои. Хризипп был последователем Зенона - стоика. О размахе литературной деятельности Хризиппа можно судить по тому, что, согласно преданиям, он написал 705 (!) книг, из которых 311 были посвящены вопросам логики. При раскопках Геркуланума (Италия) был найден трактат Хризиппа на тему: “Логические исследования”.
В логике Хризипп ввел принцип бивалентности для предложений, согласно которому каждое предложение может получить только одно значение истинности, - быть либо истинным, либо ложным. Данный принцип следует отличать от закона исключенного третьего Аристотеля. Излагая логику Хризиппа, Цицерон писал: “Фундаментом диалектики служит тезис, что всякое высказывание (то, что называют “аксиомой”) или истинно, или ложно”. Другими словами, принцип бивалентности гласит, что областью определения высказываний являются только истина и ложь. “Хризипп, - продолжает далее свидетельствовать Цицерон, - напрягает все силы для доказательства того, что всякая “аксиома” или истинна или ложна”.
Хризипп (наряду с Гиппархом) занялся обстоятельным изучением условных суждений. Он вычислил, что из десяти утвердительных суждений можно получить 103049, а из десяти отрицательных суждений образуется 310952 комбинаций условных высказываний.
Достаточно красноречиво определяет роль Хризиппа Диоген Лаэрций: “Если бы не было Хризиппа, то не было бы и стоической школы”.
У Хризиппа представлена теория материальной импликации. Согласно свидетельству Диогена Лаэртского, воспроизведенному Карлом Прантлем, у стоиков связь X  Y (где знак “” есть сокращение для “если..., то”) ложна, лишь если X верно, а Y (одновременно не верно). Например, ложно суждение “если земля существует, то она летает”, в то время как следующие 3 суждения истинны: (I) если земля существует, то она не летает; (II) если земля не существует, то она не летает; (III) если земля не существует, то она летает (пример Хризиппа). Итак, стоики сформулировали формальные условия для истинности сложных суждений, явно встав на путь трактовки их как истинностных функций.
Существенным моментом изложенного понимания импликации было то, что она определялась стоиками без использования модальных понятий. В этом смысле импликация Хризиппа противостоит индуктивно-модальной интерпретации условного высказывания у Диодора Кроноса.
Особого рассмотрения заслуживает модальная пропозициональная теория стоиков. Хризипп выясняет здесь основные соотношения между категориями “возможно”, “невозможно”, “необходимо” и “не-необходимо”. По свидетельству Боэция, он так определяет первые три из этих понятий: “Стоики заявляли, что имеется “возможность”, которая тяготеет к истинному утверждению, когда обстоятельства таковы, что хотя они и являются внешними по отношению к ней, но, взятые вместе, не мешают ей каким-либо образом осуществиться. “Невозможность” - есть то, что никогда не совмещается с какой-либо истиной, поскольку другие обстоятельства, независимо от своего исхода, препятствуют ей осуществиться.
Главная заслуга стоиков - это их идея об аксиоматизации логики и закладка фундамента пропозиционального исчисления. В качестве основного правила вывода они использовали modus ponens (“если есть первое, то есть и второе; но первое есть; следовательно, есть и второе”), записывая логические переменные (переменные для высказываний) при помощи порядковых числительных. Modus ponens есть первый, не подлежащий доказательству, силлогизм стоической логики. Вторым, не подлежащим доказательству силлогизмом является modus tollens (“если есть первое, то есть и второе; но второго нет; следовательно, нет и первого”). Умозаключение: “не верно, что первое и второе одновременно сосуществуют; первое есть; следовательно, нет второго” - третий недоказуемый силлогизм стоиков. На основании перечисленных аксиоматически принимаемых тезисов стоики следующим образом доказывали сложный закон транспозиции, который они формулировали в виде правила так: “Это правило сводится к аргументации, согласно второму и третьему, не подлежащим доказательству модусам, как этому можно научиться из анализа, который явится более очевидным для нас, если мы учение о модусе сформулируем так: “если первое и второе, то третье; пусть третье отрицается, однако, берется и первое; таким образом, получится отрицание второго”. Другими словами, если доказана посылка ((р  q)  r) и доказана посылка р  ( означает здесь не-r, а знак “” заменяет союз “и”), то стоики утверждают, что будет доказана и посылка не-q ( ). Доказательство стоиков таково: из посылок (р  q)  r) и по modus tollens они выводят суждение , то есть “неверно что p и q”. Затем из уже доказанного положения и посылки p по третьему не подлежащему доказательству (аксиоматическому) силлогизму выводится суждение . Именно таково доказательство стоиков в изложении Секста Эмпирика: “ибо тогда мы имеем импликацию, в которой антецедентом является конъюнкция, а именно “первое и второе”, консеквентом же является “третье”, причем у нас имеется противоположное консеквенту, то есть “не третье; присоединяется же у нас противоположное антецеденту, то есть “не оба: первое и второе” согласно второму, но подлежащему доказательству модусу. Но все это содержится в правиле потенциально, поскольку у нас посылки будут соединенные... При построении с оставшейся посылкой, а именно - с первым положением, мы будем иметь сводный вывод “следовательно, не второе, согласно третьему, не подлежащему доказательству модусу”. Анализируя это доказательство стоиков, Я. Лукасевич замечает: “Это одно из самых точных доказательств, которым мы обязаны стоикам” ... “компетентные логики 2000 лет тому назад рассуждали таким же образом, как мы это делаем сегодня”.
Современная формула закона сложной транспозиции такова:
((р  q)  )  ((р  )  ).
Анализировали стоики и умозаключения со строгими дизъюнкциями в посылках (четвертый и пятый модусы Хризиппа), а именно умозаключения: (((p q)  p)  ) и (((p q)  )  p), где “ ” есть символ строгого “или”. Любопытно, что Прантль, рассматривая эти модусы в своем обзоре стоической логики, считает их излишними, поскольку четвертое умозаключение якобы попросту повторяет третий недоказуемый силлогизм. Правыми оказались стоики, а не Прантль, который, выражаясь современным языком, ошибочно отождествил p q с отрицанием конъюнкции p  q. На самом деле, p q равнозначно с отрицанием эквивалентности p q. Что касается стоиков, то они нигде не допускали логических ошибок подобного рода. Хризиппу было известно правило, согласно которому стоики умели определять один функтор в терминах другого (других). В приведенном выше соотношении дизъюнкция выражается через импликацию, отрицание и конъюнкцию.
По преданию, Хризиип посвятил три книги разбору эвбулидова парадокса “куча”. Вместе с Филетом Косским долго бился он над решением антиномии “лжеца”. Специальному рассмотрению подвергли стоики так называемые суждения с отношениями (например: “Софрониск - отец Сократа”) и основанные на них умозаключения с отношениями.
Логики поздней стоической школы считали, что умозаключения: (I) если a присуще всякому b, а b, присуще всякому c, то a присуще всякому c, и (II) если a больше b, а b больше c, то a больше c, - оба являются частным случаем формулы: (III) если a находится в отношении R к b, а b находится в отношении R к c, то а находится в отношении R к c. Умозаключения типа (II) стоики именовали “дающими заключение не по методу, которые теперь называются несиллогистическими.
В теории отношений, рассматриваемых с содержательной точки зрения, Хризипп намечает следующие пять основных видов отношений: (1) предшествования (“X раньше Y”), (2) причинности (“голод вызывает болезни”), (3) присущности (“небо обладает голубизной”), (4) строго дизъюнктивное (“сейчас день или ночь”), (5) количественное (сюда включается, например, отношение типа равенства, сравнение предметов по их величине, и т. п.).
Во-первых, логика стоиков есть логика высказываний, в то время как логическая теория Аристотеля есть теория родовидовых отношений в поле общих терминов. Во-вторых, преимущественное внимание стоики уделяли анализу сложных (и в первую очередь условных) высказываний, тогда как Стагирита больше интересовала теория категорических простых суждений. В-третьих, если логика Аристотеля есть узкий фрагмент логики имен и предикатов, то логика стоиков является пропозициональной (логикой высказываний как целых). Наконец, в-четвертых, логика стоиков покоится на номиналистическом фундаменте, тогда как логика Стагирита явилась предпосылкой к учению о реальности понятий в средневековой схоластике.
| |
|
|
|---|
| 1. Вехи творческого пути
Хотя начатки исчисления отношений восходят еще к И. Ламберту и Г. Плукэ, однако именно английский логик и математик Де Морган может быть назван подлинным основоположником логического анализа отношений.
По происхождению шотландец, Август Де Морган родился в июне 1806 г., в Индии, в округе Мадрас. Обучался математике в качестве общника (fellow) в Тринити Колледже в Кембридже. В 1828 г. Морган становится профессором математики при только что открывшемся Лондонском университетском колледже, который является ныне частью лондонского университета. Профессура Моргана падает на время с 1828 по 1831 гг. и с 1836 по 1866 гг. Видный педагог и страстный библиограф, он с 1847 г. выполнял также обязанности секретаря королевского астрономического общества и, кроме того, явился основателем и первым президентом (1866) Лондонского математического общества. А. Морган известен и как отец Уильяма Френда Моргана (1839—1917) — английского писателя, артиста и изобретателя. Любопытно отметить, что в числе учеников А. Де Моргана была дочь Байрона леди Августа Лавлейс, автор пространных комментариев к итальянскому описанию универсальной вычислительной машины Чарльза Бэббиджа.
Длительное время (с 1846 по 1855 г.) А. Морган полемизировал с У. Гамильтоном по вопросам математической обработки дедуктивной логики (в том числе по проблеме квантификации предиката). По признанию самого Моргана, его дискуссия с Гамильтоном была похожа на “спор кошки с собакой”. Однако, учитывая слабое здоровье своего оппонента, Морган зачастую смягчал формы выражения своего полемического задора. Гамильтон, в конце концов, вынужден был капитулировать и перестал оспаривать приоритет Моргана в математической трактовке приемов классической логики. К сожалению, оба спорщика были мало осведомлены о своих предшественниках (например, о И. Ламберте и Г. Плукэ) и изображали лишь себя создателями символического языка для выражения отношений.
А. Де Морган отчетливо сознавал оперативный характер алгебраической символики и был твердо убежден в возможности построения алгебры, отличной от общепринятой. Его работа “Формальная логика или исчисление необходимых и вероятностных умозаключений” вышла в одном году с “Математическим анализом логики” Джорджа Буля. Работа содержит развитую систему исчисления отношений. Морган употребляет здесь термин “calculus of inference” как синоним для выражения “формальная логика”. Особая глава в посвящена теории логических ошибок.
Одной из причин, подготовивших оформление символической логики в Британии 40-х гг. XIX в., явилось то обстоятельство, что наиболее крупные английские логики этого периода (Дж. Буль, А. Де Морган) были математиками, работавшими в области операционного исчисления. Это формальное символическое исчисление, над разработкой которого трудились и А. Де Морган и Дж. Буль, за пределами математики не находило приложений, а в самой математике наталкивалось на ряд трудностей. Естественно предположить, что поэтому Морган и Буль и попытались найти приложение этого исчисления в логике (причем каждый из них интерпретировал в логике свой собственный вариант операционного метода). Так логика и послужила, пожалуй, опытным полем для операционного исчисления британских математиков. В дальнейшем, впрочем, логическое творчество приобрело для них и самостоятельный интерес.
2. Основоположения логики отношений
Исходным моментом в реформе Моргана классической логики явился его анализ трудностей в трактовке связки в суждениях. Согласно Моргану, связка должна рассматриваться как носитель отношений. Бесконечное множество последних не может служить препятствием для формального анализа типов выражающих их связок, для выявления общих свойств связок. Эти свойства суть свойства типа симметричности, транзитивности и т. п. Их описание (т. е. анализ видов отношений) потребовало от Моргана построения развитого символического языка, различающего объекты (обозначаются буквами X, Y, Z,...) и отношения (обозначаются буквами L, М, N...), а также знаки для логических функторов, которые в различных работах Моргана изображаются по-разному.
Алгебра отношений Моргана включала в себя следующие шесть основных операций :
(1) МN' (логическая сумма отношений М и N),
(2) МN (логическое произведение тех же отношений),
(3) п (операция получения дополнительного для N отношения; словесно: не-N; Морган именовал п “контрарным” отношением),
(4) N-1 (операция получения конверсного отношения или конверсии N),
(5) MN(операция порождения относительной суммы отношений М и N).
(6) М (N) (операция порождения относительного произведения отношений M и N или “композиции” тех же отношений).
Вот текст, где Морган вводит выражения с отношениями, необходимыми в теории силлогизма: “Мы имеем также три символа для сложных отношений; LМ, т. е. L от некоторого M; LМ', т. е. L от каждого М; L, М, т. е. L только от М. Никакие другие сложные отношения не нужны в силлогистике, за исключением того случая, когда посылки сами содержат связанные отношения”. У Моргана в некоторых его работах выражение Х.LY означает, что Х не стоит в отношении L к Y. Теперь приведем отрывок, в котором вводятся операции конверсного и дополнительного отношений: “Конверсия отношения L, а именно L-1, обычно определяется так: если Х..LY, то Y..L-1X: если Х есть L от Y, то Y есть L-1 от X. Выражение L-1Х можно прочесть так: “L — конверсия от X”.
Если Х не является каким-нибудь L от Y, то Х стоит к Y в отношении не-L; это контрарное отношение может быть обозначено через l; таким образом, если задано X. LY, то задано и X. lL. Контрарные отношения могут быть сложными. Выражение Хх, т. е. одновременно Х и не-Х, невозможно. Однако lLх, т. е. L от не-L от Х возможно. Так, может быть какой-то приверженец противников х”.
И, наконец, Морган так определяет понятие “композиции” отношений: “Когда предикат некоторого отношения сам является субъектом другого отношения, то тогда имеет место композиция отношений: итак, если X.. L(МY), причем Х есть L от М от Y, то мы можем рассматривать Х как “L от М”, выражая это обстоятельство через X..(LМ) Y или просто через X.. L М Y”.
Установив основные операции своей алгебры отношений, Морган переходит затем к формулировке ряда теорем этой алгебры. Он пишет: “Контрарные отношения от конверсных отношений суть конверсные отношения: так, не-L и не-L-1 взаимно конверсны. Ибо выражения Х..LY и Y..L-1 Х тождественны, следовательно, Х…-LY и Y.. (не-L-1) Х также тождественны как их простые отрицания; итак, не-L и не-L-1 взаимно конверсны. Конверсные отношения от контрарных отношений суть контрарные отношения: так, L-1 и (не-L)-1 взаимно конверсны. Ибо Х..LY и X.. не-LY суть простые отрицания друг друга так же, как и их конверсные отношения Y..L-1X и Y… (не-L)-1Х; итак, L-1 и (не-L)-1 взаимно контрарны. Отрицание конверсии есть конверсия отрицательного отношения: не-L-1 есть (не-L)-1. Ибо X.. LY тождественно с Y. не-L-1 Х и с Х (не-L) Y, что также тождественно с Y (не-L -1)Х”.
Итак, Морган утверждает, что: 1) отрицание взаимно конверсных отношений дает взаимно конверсные отношения, 2) конверсия взаимно дополнительных отношений дает взаимно дополнительные же отношения и 3) дополнение к конверсии есть конверсия дополнительного отношения.
Морган делит отношения, прежде всего, на два больших класса: транзитивные (переходные) и нетранзитивные (непереходные).
Дав вполне строгое определение понятия транзитивности отношения, Морган далее заключает: “Если данное отношение транзитивно, то и его конверсия также транзитивна, однако его отрицательное отношение не обязано, вообще говоря, быть транзитивным”. В самом деле, если, например, отношение “больше” транзитивно, то и отношение “меньше” также транзитивно, в то время как, например, из посылок “х не отец у” и “у не отец z” не следует, что “х не отец z”.
3. Разработка проблем и обогащение традиционной логики
Морган выступил инициатором применения логических исчислений к обоснованию теорем теории вероятностей, предварив аналогичное стремление Дж. Буля. На этом пути Морган хотел продемонстрировать работоспособность своего исчисления, понятия которого он прежде всего “переводит” на теоретико-вероятностный язык.
Моргану принадлежит также идея трактовки отрицания понятия как дополнения до существующего “универсума рассуждения” (аналог современного понятия об универсальном классе). Это последнее понятие, которое стало играть в дальнейшем столь важную роль в логических системах Дж. Буля и П.С. Порецкого, также было впервые выдвинуто Де Морганом. Дополнение к данному классу рассматривается им как совокупность предметов, не содержащихся в этом данном классе, но отграниченных вместе с последними рамками определенного универсального класса, выделяемого (посредством внелогических критериев) обычно для системы понятий некоторой научной дисциплины или ее отдельного фрагмента.
Важное место в логических исследованиях Де Моргана занимает также изучение выводов из количественно определяемых предложений, не укладывающихся в силлогистические рамки. Такие выводы анализируются Морганом вслед за И. Ламбертом. Элементарным примером этого типа умозаключений может служить следующий вывод: “большая часть М есть Р” и “большая часть М есть S”, отсюда с необходимостью вытекает, что некоторые S суть Р. Таким образом, Морган приходит к выводу об ограниченности сферы действия традиционного правила: “из частных посылок ничего не следует”. Он рассматривает комбинации из таких частных суждений, устанавливает некоторые формальные критерии для составляемых из них умозаключений и т. д. Тем самым, строится нечто вроде логики оперирования с частными посылками.
В математической логике известны законы Моргана, согласно которым конъюнктивные выражения могут быть переформулированы в эквивалентные им дизъюнктивные; равным образом и наоборот. Правда, в последующем отрылось, что эти соотношения были известны логикам еще очень отдаленного времени.
Работы Моргана не были в достаточной степени поняты его современниками. Сложная и не всегда единообразная символика отпугивала многих читателей, склонных прагматически требовать от новой теории немедленных практических приложений. Основное историческое значение системы Де Моргана сводится главным образом к тому, что она стимулировала развитие алгебры отношений Ч. С. Пирса и дала толчок Дж. Булю к созданию исчисления классов, которое у Моргана было представлено явно недостаточно.
| |
|
|
|---|
Методологические идеи Джорджа Буля
Вопрос о методологических воззрениях Дж. Буля достаточно сложен. В большинстве случаев о них судят, основываясь лишь на его ранних высказываниях. Анализируя их, обычно приходят к выводу о том, что Буля можно рассматривать как предшественника формализма гильбертовского типа, с элементами психологизма в духе Д. С. Милля. Так, немецкий исследователь его творчества Г. Шольц, в частности, замечает: “Буль предвосхищает гильбертову идею математической теории и связанное с ней понятие о математике как о чисто структурном исследовании с такой степенью точности, которая вряд ли могла быть превзойдена самим Гильбертом”. В подтверждение своей точки зрения Шольц ссылается, в частности, на следующее, принадлежащее Булю высказывание: “Тот, кто знаком с современным состоянием символической алгебры, знает, что правильность процесса анализа не зависит от интерпретации употребляемых в нем символов, но исключительно от законов их комбинирования. Каждая система интерпретации, которая не нарушает истинности предположенных отношений, равнодопустима, и благодаря этому один и тот же прием может, применительно к схеме интерпретации, представлять собой решение вопроса относительно свойств некоторых чисел, рассматриваемых одно относительно другого, если речь идет, например, о математической задаче, или же в отношении к определенному третьему объекту, если имеют в виду, например, динамические или оптические задачи”.
Полезно также обратить внимание на то, как Буль определяет замысел своих “Законов мысли”: “Цель настоящего исследования состоит в том, чтобы изучить основные законы тех операций ума, посредством которых осуществляются рассуждения; — в том, чтобы дать выражение этих законов в символическом языке логического исчисления, и на этом основании утвердить логику как науку и ее методы, — в том, чтобы сделать эти методы базисом еще более общего метода в целях приложения его к математической теории вероятностей; и, наконец, в том, чтобы, объединив различные элементы истины, проложить путь к выдвижению некоторых вероятностных указаний, касающихся природы и структуры человеческого мышления”.
Итак, превращение логики в точную науку мыслится Булем с помощью трактовки ее предмета средствами математического аппарата. Уже в своей работе “Математический анализ логики” (1847) Буль писал: “Руководствуясь принципом правильной классификации, необходимо теперь связать логику не с философией, а с математикой”.
По Булю, общие взгляды на логику должны проливать свет и на выяснение природы интеллектуальных способностей. Отсюда можно лишь заключить, что Буль не игнорировал практический аспект логических исследований. Особое значение в этом отношении приобретает, с его точки зрения, раскрытие природы умозаключения. Изложение логики в форме исчисления отнюдь нс является, по Булю, произвольным актом, а продиктовано тождеством формальных особенностей логических преобразований и математических операций. С другой стороны, неправильно мнение о том, что предмет “математики ограничивается лишь понятиями числа и количества”. Несколькими строками ниже Буль категорически заявляет: “Занятие идеями числа и количества не составляет сущности математики”.
3. Основные черты логической системы Буля
Сначала мы изложим исчисление Буля в том виде, в каком оно сформулировано им самим. Многое покажется при этом современному читателю довольно странным и искусственным. Прежде всего, удивительна та легкость, с которой Буль переносит на логику законы арифметики и правила арифметических действий. Эта легкость приводила в недоумение уже современников Буля, которых особенно удивляло при этом то обстоятельство, что Буль всегда получал правильные результаты. Для того, чтобы понять ход мысли Буля, нам представляется необходимым изложить его исчисление по возможности ближе к оригиналу.
Основными операциями в логике Буля являются:
1. Сложение, обозначавшееся у него знаком “+”, в исчислении классов булевой формуле х + у соответствует объединение классов x и y с исключением их общей части, в исчислении высказываний - так называемая строгая дизъюнкция. Через объединение (соответственно, дизъюнкцию) “v”, пересечение (соответственно, конъюнкцию) “•” и дополнение (соответственно, отрицание) “—”, булево сложение может быть выражено следующим образом:
х + у = ху v x ,
где выражение заменяет отрицание y, о чем см. дальше.
2. Умножение, обозначавшееся знаком “•” или просто записью одного выражения рядом с другим (без знаков между ними); в исчислении классов этой операции соответствует пересечение, в исчислении высказываний — конъюнкция.
Неразделительное “или” может быть выражено через булево сложение с помощью следующих двух формул: х v у = x + y + xy и х v у = х + ху.
3. Дополнение х до единицы, обозначавшееся записью “1 - x”; в исчислении классов формула 1 - х означает дополнение к классу х, в исчислении высказываний — отрицание .
Буль рассматривает также вычитание, понимая его как операцию, обратную по отношению к операции сложения. Определение вычитания таково: х - у = х (1 - у).
Основным отношением, употребляемым в логической системе Буля, является отношение равенства. Через посредство этого отношения определяются в ней другие отношения и, в первую очередь, с его помощью определяется отношение включения для классов. Буль пользуется несколькими определениями отношения включения. Одно из них гласит: (х  y)  (х (1 - y) = 0), где 0 есть символ нулевого (пустого) класса.
Буль выясняет свойства введенных им операций, устанавливая коммутативный закон умножения: ху = ух, ассоциативный закон умножения: х(уz) = (ху)z, а также аналогичные законы для операции логического сложения. Он также формулирует дистрибутивный закон умножения относительно сложения: z(х + у) = zх + zу, дистрибутивный закон умножения относительно вычитания: z(х - у) = zх - zу. Основными свойствами равенства Буль считает следующие его свойства: (т) если х = у, то zх = zу и (п) если х = у, то z + х = z + y.
Перейдем теперь к описанию булевых способов решения логических уравнений. Эти методы, по Булю, соответствуют обобщенному представлению классических логических процедур. “Наиболее общая проблема логики, — замечает он, — может быть сформулирована так: задано логическое уравнение, содержащее символы x, y, z, w. Требуется найти логически интерпретируемое выражение для выяснения отношения класса, обозначенного через w, к классам, обозначенным через x, y, z и т. д.”. В другом месте Буль формулирует ту же проблему еще более кратко так: “Задано (логическое) уравнение; найти выражение одного термина и функции остальных”.
Приведем пример того, как Буль решает логические задачи, согласно предписаниям своего метода. Например, им сформулирована такая задача: условие — ответственные существа суть такие разумные существа, которые либо обладают свободой, либо добровольно от нее отказались. Что можно сказать о разумных существах в терминах существ ответственных, обладающих свободой или добровольно от нее отказавшихся? Обозначим через х ответственные существа, у — разумные существа, z — обладающие свободой и w — добровольно от нее отказавшиеся. Условие задачи тогда можно записать уравнением: х = у(z + w). Требуется определить y в терминах х, z, w, т. е. решить исходное уравнение относительно y. Проведенные Булем преобразования требуют для понимания серьезной математической подготовки, так как они используют так называемый ряд Маклорена и потому довольно сложны; мы не будем приводить их здесь. Их итоговым результатом является выражение, y = xz + xw + , которое получено из исходного уравнения.
Ответ задачи, таким образом, гласит: разумные существа суть либо ответственные существа, обладающие свободой и не пожертвовавшие ею, либо же такие ответственные существа, которые не обладают свободой и добровольно ею пожертвовали, либо, наконец, некоторые такие неответственные существа, которые не обладают свободой и добровольно от нее не отказались.
Из других методов можно упомянуть метод элиминации (исключения), при котором исходное уравнение путем преобразований освобождается от какой-то переменной и затем итоговое выражение получает интерпретацию. Рассмотрев технические аспекты процесса элиминации, Буль считает возможным квалифицировать этот процесс как силлогистический по своей формальной природе. Однако, по его мнению, дедукция не может быть во всех случаях сведена к элиминационным процессам.
Логические достижения Буля не были в достаточно ясной степени поняты его современниками, в частности, потому, что булево определение сложения наталкивало на построение логического исчисления, подобного арифметическому. Впервые такое построение было осуществлено советским математиком И.И. Жегалкипым, который в достаточно ясной форме показал существование связи между булевой алгеброй и кольцами характеристики два.
Принципы, положенные в основу логических исчислений выдающегося ирландского математика, позволили позднее выделить целый класс подобных алгебро-логических систем. В отдельную науку это направление исследований оформилось уже в начале XX в. В настоящее время под булевыми алгебрами имеют в виду такие непустые множества, для которых определены операции: объединения, пересечения и дополнения.
Самым важным применением теории булевых алгебр считается ее использование в математических доказательствах. Булев метод позволяет проще и легче доказывать многие фундаментальные теоремы исчисления предикатов. Булевы алгебры находят также широкое применение во многих неклассических системах логики.
| |
|
|
|---|
| Одним из выдающихся продолжателей и систематизаторов результатов Буля и его школы является немецкий математик и логик Э. Шредер. В 1877 г. он опубликовал свой труд, в котором в предельно сжатой форме изложил алгебру логики и ввел в науный оборот термин “логическое исчисление”. Монументален его трактат “Лекции по алгебре логики”, опубликованный в 1890-95 гг., в котором не только продолжена разработка идей Буля, но излагаются и результаты, полученные его последователями. В отличие от Буля, взявшего за основу логического исчисления отношения равенства, Шредер построил свое исчисление на базе отношения включения класса в класс. Им введено понятие нормальной формы, открыт принцип двойственности (в логике классов). | |
|
|
|---|
| 1. Общая оценка
Заметная роль в развитии алгебры логики на рубеже ХIХ-ХХ вв. принадлежит русскому логику и математику, профессору Казанского университета Платону Сергеевичу Порецкому.
Работы П.С. Порецкого существенно обобщают и развивают достижения Буля, Джевонса и Шредера. Известный французский ученый Л. Кутюра, книга которого “Алгебра логики" вышла в свет в 1904 г., считал методы П.С. Порецкого кульминационным пунктом в развитии алгебры логики в тот период. Работы Порецкого стоят на уровне не только трудов его коллег - современников, но и в части, касающейся алгебры логики, соответствующих разделов “Principia Mathematica” Уайтхеда и Рассела.
Исследования Порецкого продолжали оказывать стимулирующее влияние на развитие алгебраических теорий логики и в последующем. Это влияние сильнее всего ощущается в докторской диссертации А. Блэйка “Канонические выражения в булевой алгебре”, защищавшейся в Чикаго в 1938 г.... Метод Порецкого оценивается А. Блэйком значительно выше методов его предшественников. Так, метод Э. Шредера неудовлетворителен в том смысле, что неполно характеризует класс всех заключений, которые могут быть выведены из данного равенства. Таблица следствий Порецкого предназначена для этой цели. Соотечественник Блэйка - логик и математик Мак-Кинси, рецензирующий диссертацию Блейка, замечает, что приемы Блэйка стимулированы “таблицей следствий Порецкого, служащей для получения всех следствий булевского уравнения”.
У части его современников труды П.С. Порецкого получили заслуженно высокую оценку. В частности, в исследовании И. И. Ягодинского мы читаем: “Из русских ученых математической логикой с большим успехом занимался Порецкий”.
Авторы, использующие канонические формы булевой алгебры, и в последующее время непосредственно обращались к работам Порецкого. Так, в книге О. Беккера “Введение в логистику. В особенности в исчисление модальностей” отображены некоторые из достижений Порецкого. В главе первой параграфе втором этой книги излагается закон форм Порецкого. Беккер отмечает, в частности, что “из закона форм Порецкого вытекают также важные соотношения для логических неравенств. Теория логических неравенств русского ученого используется в дальнейшем самим Беккером в развиваемой им форме исчисления модальностей.
Мы ставим своей целью очертить по возможности логическую доктрину Порецкого, выяснить ее значение с современной точки зрения. При этом учитывается, что стержнем логических исследований казанского математика и астронома является его замечательная теория следствий и причин логических равенств в связи с оригинальной трактовкой канонических форм для логических выражений. Эта теория Порецкого фактически имеет своей задачей полностью решить проблему разрешимости в исчислении классов посредством нахождения по возможности наиболее простого и эффективного разрешающего алгоритма.
Порецкого нельзя считать вышедшим за пределы булевско-шредеровского направления в логике. Он в целом работал в этом русле, обобщая его результаты и “много содействуя упрощению приемов Буля и Шредера своей оригинальной постановкой вопроса”. К этим словам П. Эренфеста нужно, однако, добавить, что Порецким впервые получен ряд таких результатов, которые сыграли важнейшую роль в возникновении современной формы алгебры логики и не потеряли поэтому своего значения и в наши дни. С помощью алгоритмов Порецкого очень просто решаются также и булевско-шредеровские задачи об элиминации и решении логических уравнений.
2. Методологические предпосылки
В исходных положениях теории Порецкого легко усмотреть
явную материалистическую основу. Согласно Порецкому, логика анализирует структуру умозаключений науки. При этом законы логики не являются независимыми от свойств предметной области, исследуемой той или другой наукой. Закон логики, по Порецкому, есть поэтому истина, “заключающая в себе какое-либо определенное указание на самую природу изучаемого материала”. Даже алгебраическая обработка логики не может в силу этого устранить вопроса о содержании. Будучи материалистом, Порецкий утверждал, что любая аксиоматически построенная формальная система лишь в том случае имеет право на существование, если все доказуемые в ней выражения становятся содержательно истинными в применении к какой-нибудь области или стороне объективной действительности. Не случайно поэтому первые страницы своего фундаментального труда он посвящает содержательной интерпретации некоторых аксиом собственной оригинальной теории логических равенств.
Порецкий полагал, что формальный аналитический аппарат логического исчисления хорош только в том случае, если он соответствует определенному реальному содержанию. Больше того, даже при наличии уже построенной аксиоматики содержательные соображения отнюдь не теряют смысла. Это, в частности, проявляется у Порецкого хотя бы в том, что, построив оригинальный алгоритм элиминации, он, не довольствуясь только формальной стороной дела, подкрепляет значительность своего приема глубокими аргументами, касающимися содержания проблемы.
Порецкий был далек от претензии построить универсальное логическое исчисление, “пригодное во всех возможных мирах”. В предисловии к одной из своих работ он совершенно четко заявляет, что развиваемое им исчисление представляет собой алгоритм, пригодный только для решения вопросов теории “качественных” умозаключений (термин Порецкого “качественная форма” или просто “качество” вполне соответствует современному понятию одноместного предиката). Русский ученый различает далее “формы количественные”, изучаемые алгеброй, и “формы качественные”, изучаемые логикой. В этом различении, не позволяющем непосредственно применять приемы алгебры к предмету логики, Порецкий усматривает, вместе с тем, и известное отождествление (до определенных пределов) предметов обеих наук, такое отождествление, которое объясняет возможность соответствующих модификаций и приспособления алгебраических приемов к изучению предмета логики. Если традиционная логика связана словесными выражениями, которые дают в логической форме то, что можно было бы назвать логической наглядностью, то математическая логика, не будучи связана словесным выражением и применяя математический метод, получает возможность добывать более широкие обобщения и формулировать более сложные и более специальные логические соотношения.
3. Основные понятия исчисления Порецкого
Логическое исчисление Порецкого строится, исходя из множества переменных элементарных терминов а,b,c,d ...
Кроме того, в исчислении Порецкого есть еще два постоянных термина: 1 и 0. Эти термины, интерпретируемые в предметной области исчисления классов, обозначают соответственно универсальный (“мир речи” - по терминологии Порецкого) и пустой класс. Сложные термины образуются у Порецкого из элементарных с помощью последовательности операций:
(I) двоичных, которые он обозначает знаками “x” и “+” (в логике высказываний эти знаки соответствуют конъюнкции и дизъюнкции),
(II) единичной, соответствующей образованию дополнения (в логике высказываний - отрицания), которую он в разных работах обозначает по-разному.
Алгоритм Порецкого есть исчисление логических равенств. Логическое равенство отличается от сколь угодно сложного логического класса тем, что оно выражает собой суждение и притом обязательно общее (положительное или отрицательное). Равенство друг другу данных логических классов означает, что они равнообъемные.
| |
|
|
|---|
Американский представитель математической логики Чарльз Сандерс Пирс (Charls Sanders Peirs) внес существенный вклад в разработку алгебро-логических концепций и выступил основоположником новой науки — семиотики (общей теории знаков). Пирс родился 10 сентября 1839 г., в Кембридже (США) в семье профессора Гарвардского университета. Предки Пирса были англичанами.
В 1887 г. Пирс поселился в Милфорде (штат Пенсильвания). Скончался он 19 апреля 1914 г., в нищете, забытый своими друзьями и знакомыми. Высокогорные вершины края не раз оказывали ему свой приют и защиту от докучливой общительности кредиторов.
Пирса можно рассматривать как основоположника семиотики, зачинателя логико-семантических исследований. Он разрабатывал науку, изучающую любые системы знаков, применяемые в человеческом коллективе. Пирс пытался, в частности, исследовать языки науки как частный случай знаковых систем. Предметом семиотического анализа, согласно Пирсу, являются модели отображаемых объектов, состоящие из конечного набора элементов и связывающих их соотношений.
Пирс определяет знак как такой элемент х, который заменяет субъекту (как интерпретатору знака) некоторый элемент у (денотат) по признаку (или отношению) Д. Согласно Пирсу, “наиболее общее подразделение знаков таково: изображения (icons), индексы (indices) и символы (symbols). Объектом знака является вещь. Основная функция знака, по Пирсу, состоит в квантовании (“кадрировании”) опыта. У Пирса имеется уже в зародыше моррисовское расчленение семиотики на прагматику (касается отношения знака к его использователю), семантику (выясняет отношение знака к обозначаемому им объекту) и синтактику (исследует взаимоотношения между знаками). Анализирует Пирс и семиотику восприятия знака, учитывая, в частности, существенную разницу между воспринимаемыми и передаваемыми знаковыми сообщениями. В свете своей знаковой теории рассматривает Пирс логическую проблему значения. Именно, значение описывается им как отношение между знаком и операциями познающего субъекта.
В комбинированном исчислении классов и высказываний Пирс употреблял еще в 1880 г. точные аналоги как совершенной дизъюнктивной нормальной формы (разумеется, в несколько отличных от современных обозначениях). Эти результаты допускали их простую синтаксическую интерпретацию для чистого исчисления высказываний, которое было представлено у Пирса в довольно развитой форме. Вот, в частности, некоторые переданные в современной записи законы материальной импликации, сформулированные Пирсом в его исчислении (ниже знак “-” символизирует материальную импликацию);
(1) ((x - y) - x) - x (закон Пирса),
(2) x-(y-x),
(3) ((x-y) - a)- x, где a - есть имя тождественно ложной константы.
(4) (x-(y-z)) -(y-(x-z),
(5) x-((x-y) -y)),
(6) (x-y) -((y-z) - (x-z)).
Наряду с материальной импликацией Пирс допускал еще содержательную трактовку логического следования, которая дает возможность считать Пирса в известном смысле предшественником льюисовской теории строгой импликации.
Определенное развитие получила, у Пирса и логика отношений. Он следующим образом вводит нас в круг понятий этой теории. Пусть элементы данного конечного класса {а} обозначены с помощью символов A1, A2, A3,…An-1, An. Их сумму он записывает так: а = A1+A2+A3+…+An-1+An= , где i=1…., n . Пусть а означает: “живые люди”, А1, ..., Аn — имена ныне живущих людей, р — “группа предков”. Тогда относительный термин “группа предков некоторых живых людей” Пирс передаст символикой , так как Рa = Р (А1 +А2,+А3+... + ... An-1 + Аn). Относительный термин “группа предков каждого живого человека” Пирс передал бы записью: Па(p/a), так как Ра = Р(А1 .А2 . Аn-1 + An)=рА1 . рА2.…. рAn. Легко убедиться в справедливости следующей теоремы о выполнимости такой дизъюнкции: Па Пр((Па (р/a))
Употребляя табличное задание отношений с помощью матриц, состоящих из нулей и единиц, Пирс явно упреждает соответствующие методы в алгебре отношений Эрнста Шредера. Вместе с последним он должен рассматриваться как пионер математической теории структур. Так, уже в 1870 г. Пирс дал аксиоматическое определение частично-упорядоченного множества, задав его с помощью аксиом рефлексивности, несимметричности и транзитивности. Он сформулировал также определение сумм и произведений в терминах отношения включения.
Логические и математические результаты Пирса своевременно оценены не были, а часть их увидела свет только после смерти автора. Его семиотические идеи были продолжены в работах Ч.Морриса. Для современных исследований по семиотике характерно синтезирование традиций Пирса с логическими построениями Р. Карнапа.
| |
|
Всего 94 на 10 страницах по 10 на каждой странице<< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> |
|
|
|
